趙亞亞 黃姣茹* 錢富才,2 陳超波

1(西安工業(yè)大學(xué)電子信息工程學(xué)院 陜西 西安 710021) 2 (西安理工大學(xué)自動(dòng)化與信息工程學(xué)院 陜西 西安 710048)

0 引 言

分?jǐn)?shù)階微積分是對(duì)整數(shù)階微積分的任意階次擴(kuò)展，處理的是非整數(shù)階的積分與導(dǎo)數(shù)。目前，分?jǐn)?shù)階微積分和分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)被廣泛用于各種領(lǐng)域中的系統(tǒng)建模，如分?jǐn)?shù)階PID控制器[1]、黏性阻尼器[2]、路徑跟蹤控制[3]和無(wú)人駕駛飛行器[4]等。許多研究表明，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)與經(jīng)典系統(tǒng)相比，具有更好的性能和精度?？紤]到實(shí)際系統(tǒng)中，當(dāng)系統(tǒng)受到外界隨機(jī)擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)部也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化，導(dǎo)致系統(tǒng)的輸入輸出及干擾有隨機(jī)因素，且系統(tǒng)的部分狀態(tài)變量是不可測(cè)的，又或者因?yàn)榄h(huán)境等因素不能直接測(cè)量。此時(shí)則需要通過(guò)設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)觀測(cè)器，對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)變量進(jìn)行較為準(zhǔn)確的估計(jì)。因此，對(duì)分?jǐn)?shù)階隨機(jī)系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題的研究是十分重要的。

目前，國(guó)內(nèi)外研究學(xué)者對(duì)分?jǐn)?shù)階隨機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題做了不少研究工作。文獻(xiàn)[5-6]針對(duì)受到非高斯Levy噪聲的線性和非線性分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的濾波問(wèn)題進(jìn)行了研究，提出了一種新的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展卡爾曼濾波器(EKF)設(shè)計(jì)策略，對(duì)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)。文獻(xiàn)[7]針對(duì)離散分?jǐn)?shù)階隨機(jī)系統(tǒng)，通過(guò)將非高斯Levy噪聲分解成高斯白噪聲加上某些極大值的和,然后剔除極大值的方法得到近似高斯白噪聲的Levy噪聲，提出了改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階卡爾曼濾波算法，并對(duì)分?jǐn)?shù)階的階次進(jìn)行估計(jì)。文獻(xiàn)[8]針對(duì)離散線性分?jǐn)?shù)階隨機(jī)系統(tǒng)，基于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的一種新的累積向量和擴(kuò)展矩陣形式模型，提出了一種通用的卡爾曼濾波方法。孫永輝等[9]針對(duì)帶Levy噪聲的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，提出了兩種不同的逼近方法，分別針對(duì)這兩種近似方法提出了兩種新的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展卡爾曼濾波器設(shè)計(jì)策略對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行估計(jì)。Aoun等[10]針對(duì)帶有零均值高斯白噪聲的連續(xù)時(shí)間線性分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，將經(jīng)典卡爾曼濾波器推廣到分?jǐn)?shù)階微分處理，提出了一種新的卡爾曼濾波方法，用于解決狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題。Gao[11]針對(duì)含有高斯白噪聲的連續(xù)線性和非線性分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，利用Tustin生成函數(shù)代替G-L定義法實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的離散化，提出了基于Tustin生成函數(shù)的分?jǐn)?shù)階卡爾曼濾波器和擴(kuò)展分?jǐn)?shù)階卡爾曼濾波器。Arabi[12]針對(duì)一類連續(xù)線性且?guī)в辛憔档母咚拱自肼暤姆謹(jǐn)?shù)階系統(tǒng)，基于非線性優(yōu)化的方法，設(shè)計(jì)了狀態(tài)觀測(cè)器，進(jìn)而得到系統(tǒng)最優(yōu)濾波增益。然而上述濾波方法或是針對(duì)離散化后的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)進(jìn)行研究，計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜，或是利用傳統(tǒng)的梯度迭代方法對(duì)其進(jìn)行非線性化處理，對(duì)被優(yōu)化函數(shù)的要求較高，具有一定的局限性。

基于以上分析，本文針對(duì)一類分?jǐn)?shù)階隨機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題進(jìn)行研究?？紤]與狀態(tài)變量估計(jì)誤差相關(guān)的二次型成本函數(shù)，利用分?jǐn)?shù)階微積分算子的性質(zhì)對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)，將分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線性優(yōu)化問(wèn)題，再利用蟻群優(yōu)化算法對(duì)與濾波增益相關(guān)的成本函數(shù)求最優(yōu)，得到系統(tǒng)的最優(yōu)濾波增益，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)。與傳統(tǒng)梯度迭代優(yōu)化算法相比，本文算法對(duì)被優(yōu)化函數(shù)的要求較低，誤差更小，通用性和魯棒性更好，且算法簡(jiǎn)單易操作。

1 問(wèn)題描述

考慮如下分?jǐn)?shù)階隨機(jī)系統(tǒng)：

(1)

式中：Dα是基于Caputo定義下的分?jǐn)?shù)階微分算子；α是分?jǐn)?shù)階階次且0<α<1；x∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)向量，u∈Rm是系統(tǒng)控制向量；y∈Rn是系統(tǒng)輸出向量；A、B、C是相應(yīng)維數(shù)的常數(shù)系數(shù)矩陣；w(t)和v(t)是不相關(guān)的高斯白噪聲，滿足：

E(wwT)=W≥0

(2)

E(vvT)=V>0

(3)

E(wvT)=0

(4)

式中：E(·)表示數(shù)學(xué)期望。

設(shè)計(jì)如下形式的狀態(tài)觀測(cè)器：

(5)

為了實(shí)現(xiàn)狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)，進(jìn)而得到系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)觀測(cè)器增益，需要對(duì)與狀態(tài)估計(jì)誤差相關(guān)的成本函數(shù)求最優(yōu)值。

(A-LC)h(t)+w(t)-Lv(t)

(6)

考慮如下與系統(tǒng)狀態(tài)變量估計(jì)誤差相關(guān)的成本函數(shù)：

(7)

則式(1)的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)換成如下優(yōu)化問(wèn)題:

(8)

s.t.Dαh(t)=(A-LC)h(t)+w(t)-Lv(t)

吳立表示，從國(guó)外經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，短期內(nèi)在國(guó)內(nèi)根除非洲豬瘟疫情并不現(xiàn)實(shí)，防控將是持久戰(zhàn)。中小散戶發(fā)生豬瘟疫情的概率要遠(yuǎn)大于規(guī)模化養(yǎng)殖場(chǎng)。目前國(guó)內(nèi)的生豬調(diào)運(yùn)已基本停止，且生豬調(diào)運(yùn)限制將長(zhǎng)期存在。政策導(dǎo)向上將保護(hù)種豬場(chǎng)及規(guī)模場(chǎng)，加速中小養(yǎng)殖場(chǎng)的退出。

(9)

針對(duì)式(1)中的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題，考慮與狀態(tài)變量估計(jì)誤差相關(guān)的二次型成本函數(shù)，將該系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行處理。對(duì)于這類優(yōu)化問(wèn)題，多用傳統(tǒng)的梯度迭代方法對(duì)其求最優(yōu)解，但如果被優(yōu)化函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，對(duì)其求偏導(dǎo)得到梯度值可能獲得局部最優(yōu)解，所以傳統(tǒng)的梯度迭代方法具有一定的局限性。本文采用基于蟻群算法的方法去解決該優(yōu)化問(wèn)題。

2 基于蟻群算法的狀態(tài)估計(jì)

為了實(shí)現(xiàn)狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)，利用分?jǐn)?shù)階微積分的特性[13]，對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)變量估計(jì)誤差進(jìn)行化簡(jiǎn)得到與濾波增益相關(guān)的非線性函數(shù)，再利用蟻群算法對(duì)該成本函數(shù)求最優(yōu)，進(jìn)一步得到系統(tǒng)的最優(yōu)濾波增益。

2.1 成本函數(shù)的推導(dǎo)

為了得到與濾波增益相關(guān)的h(t)，首先，根據(jù)Caputo分?jǐn)?shù)階微分算子的性質(zhì)：

n-1≤α

(10)

對(duì)式(6)進(jìn)行Laplace變換[14]：

L{Dαh(t)}=sαH(s)-sα-1h0

(11)

則:

sαH(s)-sα-1h0=(A-LC)H(s)+w-Lv

(12)

又因?yàn)?

(13)

對(duì)式(11)進(jìn)行Laplace逆變換可以表示為：

(14)

式中：Et(α,c)是Et函數(shù),與經(jīng)典的M-L函數(shù)有一些相似之處[15-16]，定義為:

(15)

式中：Γ為Gamma函數(shù)。

則系統(tǒng)的二次型成本函數(shù)重新表達(dá)如下：

(16)

2.2 基于蟻群算法的觀測(cè)器增益設(shè)計(jì)

蟻群算法的基本思想類似于粒子群優(yōu)化算法。通俗地說(shuō)，螞蟻在尋找食物的過(guò)程中，需要繞過(guò)障礙物，尋找一條最優(yōu)的路徑。螞蟻們?cè)谇斑M(jìn)的過(guò)程中，可以通過(guò)釋放的一種和路徑相關(guān)的信息素去引導(dǎo)選擇，路徑長(zhǎng)短和所釋放的濃度是成正比的。隨著最短路徑上的激素濃度越來(lái)越大，所有螞蟻?zhàn)匀欢粫?huì)轉(zhuǎn)移到較短的路徑上。在整個(gè)尋找最優(yōu)路徑的過(guò)程中，雖然單只螞蟻的能力是有限的，但是通過(guò)激素的作用，彼此互相交流信息共享，最終能找到最優(yōu)的路徑[17]。

函數(shù)優(yōu)化的問(wèn)題，一般就是函數(shù)極值尋優(yōu)的問(wèn)題。文中主要是利用蟻群算法對(duì)分?jǐn)?shù)階隨機(jī)系統(tǒng)中與狀態(tài)估計(jì)誤差相關(guān)的性能指標(biāo)求最優(yōu)(二維函數(shù))。在上述尋優(yōu)過(guò)程中，信息素更新公式如下：

(17)

狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率公式為：

(18)

式中：ρ為信息素?fù)]發(fā)系數(shù)；fitnessbest為最優(yōu)解螞蟻的信息素濃度；fitnessi為當(dāng)前螞蟻的信息素濃度。

具體優(yōu)化流程如圖1所示，在優(yōu)化的過(guò)程中，將如下與濾波增益相關(guān)的性能指標(biāo)作為算法中的適應(yīng)度函數(shù)：

(19)

圖1 基于蟻群算法的性能指標(biāo)優(yōu)化流程圖

通過(guò)利用蟻群算法對(duì)與系統(tǒng)濾波增益相關(guān)的成本函數(shù)求最優(yōu)得到最優(yōu)解L即分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的最優(yōu)濾波增益，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)，得到系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)值。

3 仿真分析

表1 兩種優(yōu)化算法的數(shù)據(jù)對(duì)比

圖2 α=0.5時(shí)x1(t)的真實(shí)值和估計(jì)值的狀態(tài)響應(yīng)曲線

圖3 α=0.5時(shí)x2(t)的真實(shí)值和估計(jì)值的狀態(tài)響應(yīng)曲線

圖4 α=0.5時(shí)基于傳統(tǒng)梯度迭代優(yōu)化算法和基于蟻群算法得到的誤差e1(t)的狀態(tài)響應(yīng)曲線

圖5 α=0.5時(shí)基于傳統(tǒng)梯度迭代優(yōu)化算法和基于蟻群算法得到的誤差e2(t)的狀態(tài)響應(yīng)曲線

分析表1數(shù)據(jù)可知，當(dāng)取誤差變量的初始狀態(tài)為[h1(0)h2(0)]=[0.5 -2]時(shí)，利用蟻群算法對(duì)與濾波增益相關(guān)的二次型成本函數(shù)求最優(yōu)，得到系統(tǒng)的成本函數(shù)為1.405 0。當(dāng)誤差變量的初始條件h0取不同值時(shí)，相比較而言，基于蟻群算法得到的二次型成本函數(shù)值比基于傳統(tǒng)優(yōu)化算法得到的二次型成本函數(shù)值更小。

由圖2和圖3可以看出，本文提出的基于蟻群算法的狀態(tài)估計(jì)策略能夠很好地估計(jì)出系統(tǒng)狀態(tài)的真實(shí)值。由圖4和圖5很明顯可以看出，系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)值與真實(shí)狀態(tài)值的誤差逐漸趨于零。與傳統(tǒng)梯度迭代優(yōu)化算法相比，基于蟻群算法的誤差值更小。所以本文設(shè)計(jì)的狀態(tài)觀測(cè)器是有效的，且結(jié)果優(yōu)于傳統(tǒng)優(yōu)化方法。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文針對(duì)一類分?jǐn)?shù)階隨機(jī)線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題進(jìn)行研究。首先，設(shè)計(jì)一種狀態(tài)觀測(cè)器，進(jìn)一步得到系統(tǒng)的誤差方程，利用分?jǐn)?shù)階微分算子的性質(zhì)將其化簡(jiǎn)得到與濾波增益相關(guān)的成本函數(shù)，并考慮從優(yōu)化角度去解決分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題。再利用蟻群優(yōu)化算法對(duì)相應(yīng)的成本函數(shù)求最優(yōu)值，即系統(tǒng)的最優(yōu)濾波增益，最終得到系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)值。通過(guò)數(shù)值例子，對(duì)比分析基于傳統(tǒng)梯度迭代優(yōu)化算法與基于蟻群算法的狀態(tài)策略，驗(yàn)證了該算法的可行性與有效性。