徐芳芳

2019年高考后，一則關(guān)于浙江大學近兩萬名學生搶著報名“高等數(shù)學先修課”的新聞火了。浙江大學數(shù)學科學學院副院長盛為民介紹，這門課的授課教師都是有著一二十年教學經(jīng)驗的浙大教授。課程平臺上還有專門的討論區(qū)供學生提問，老師答疑區(qū)的發(fā)帖數(shù)量已經(jīng)多達200條，大部分同學提出的問題都收到了回復。

原來，數(shù)學也可以很“時髦”！

中國在成為數(shù)學強國的路上，“明日之星”的加盟固然重要，學術(shù)氛圍、國際交流和知識累積的代際傳遞也至關(guān)重要?；貞涍^往，可以說，盛為民的經(jīng)歷正是過去30年來我國數(shù)學科研工作者學術(shù)歷程的真實寫照。

從二維到高維——結(jié)緣微分幾何

從1994年博士畢業(yè)到現(xiàn)在，盛為民已經(jīng)在浙江大學工作了26年。從數(shù)學系講師，到副教授、教授，再肩負從院長助理到副院長等行政職務(wù)，他已經(jīng)與浙江大學數(shù)學系融為一體。而在26年的科學研究中，盛為民也在高階Yamabe問題、一般預定曲率方程的內(nèi)部正則性估計、平均曲率流等方面取得了重要成果，論文發(fā)表在Duke Math J、JDG等國際權(quán)威刊物上。

但說起他的專業(yè)選擇，還有一個小插曲。1982年，盛為民考取徐州師范學院。因為喜歡物理且成績優(yōu)異，高考時盛為民第一志愿填報的是物理，第二志愿才是數(shù)學。但是當年江蘇高考物理特別難，他的強項沒有發(fā)揮出來，反而成績一直穩(wěn)定的數(shù)學取得了更高的分數(shù)。入學時，盛為民被數(shù)學專業(yè)錄取了。

沒能進入喜歡的專業(yè)，盛為民不甘心，好幾次提出轉(zhuǎn)系，都沒有成功。而后，他卻意外發(fā)現(xiàn)了幾何學科與理論物理非常接近，“就是從兩個不同的角度去看同一個問題”。盛為民開始對數(shù)學產(chǎn)生了興趣，并發(fā)揮其分析能力、抽象能力、空間想象力的強項，“這個專業(yè)與個人優(yōu)勢相關(guān)，更符合科研的選擇”。

4年后，已經(jīng)“鉆進去”的盛為民喜歡上了微分幾何這門學科。當時，杭州大學（后并入浙江大學）的“微分幾何”師資實力非常強，于是，他報考了該校研究生，并接著在本校攻讀了博士學位，從此開啟了微分幾何的研究生涯。

“其實，現(xiàn)代微分幾何的許多研究工作就在于如何把二維結(jié)果推廣到高維。例如龐加萊猜想、Yamabe問題、Calabi猜想等，以及為解決這些問題而提出的各種理論。對于給定的一個流形，在上面尋求好的度量時，問題通常化為在這個流形上求解一個偏微分方程，如尋求常數(shù)量曲率的Yamabe問題，尋求常Ricci曲率的（Kaehler-）Einstein方程及向量叢上常中曲率的Hermitian-Yang-Mills方程等?！笔槊窠榻B，微分幾何的一個基本問題是研究流形上是否存在好的度量，從而判斷出流形具有怎樣的幾何性質(zhì)或拓撲結(jié)構(gòu)。一個最經(jīng)典的結(jié)果是二維曲面的單值化定理：任何二維閉曲面都具有典范度量結(jié)構(gòu)，并且任何二維可定向閉曲面都可分解成球面和若干個環(huán)面的連通和。這就是二維閉曲面分類定理。

1904年，法國數(shù)學家亨利·龐加萊提出了一個拓撲學的猜想：“任何一個單連通的、閉的三維流形一定同胚于一個三維的球面?！边@就是克雷數(shù)學研究所懸賞的7個千禧年大獎難題之一的龐加萊猜想。

簡單地說，一個閉的三維流形就是一個無邊有界的三維空間；單連通就是這個空間中每條封閉的曲線都可以連續(xù)的收縮成一點，或者說在一個封閉的三維空間，假如每條封閉的曲線都能收縮成一點，這個空間就一定是一個三維球面。后來，這個猜想被推廣至三維以上的空間，被稱為“高維龐加萊猜想”。

盛為民介紹，近40年來，幾何分析學家提出了用演化方程（即幾何流）的方法來解決相應的問題。而微分幾何中的另一類幾何流，則是研究黎曼流形中超曲面（或子流形）在某種曲率為速度沿法向方向的形變。

“這里的曲率往往是由超曲面（或子流形）的主曲率（關(guān)于某個法向的第二基本形式的特征值）的函數(shù)定義。著名的例子有平均曲率流和Gauss曲率流，以及逆平均曲率流等?！笔槊窠榻B，以歐氏空間的超曲面為例，這些曲率流都是來自自然或工程技術(shù)領(lǐng)域。

其實，就像他的研究對象一樣，盛為民的學術(shù)之路，也經(jīng)歷了從二維到高維的不斷進階的歷程。

不斷進階的學術(shù)歷程

“讀碩士的時候，我讀了一點流形幾何方面的論文之后，寫了一篇關(guān)于復射影空間中凱勒超曲面的Ogiue猜想的文章，我的導師沈一兵教授覺得可以投稿，后來發(fā)表在復旦大學主辦的《數(shù)學年刊》的英文版上。在他的鼓勵下，我繼續(xù)讀了白先生的博士生。”盛為民所說的白先生，就是在射影微分幾何、大范圍微分幾何、黎曼幾何等方面頗有建樹的白正國教授，他是蘇步青先生在老浙大時候的弟子，在他的鼓勵下，盛為民在學術(shù)上繼續(xù)鉆研深造，也成了他的第四名博士生。沈一兵老師是白先生在20世紀60年代的研究生，“文革”結(jié)束后一直協(xié)助白先生一起培養(yǎng)研究生。他們共同培養(yǎng)的博士生有36人、碩士生有46人之多。

“當時，我們另一位導師沈一兵教授問我想做哪方面的研究。他問我是跟師兄、師姐一塊做調(diào)和映射方面的問題，還是做其他的？我考慮師兄師姐在調(diào)和映射方向已經(jīng)做得很好了，想比他們做得更好，需要花很大的力氣，所以我挑了一個新的方向?！笔槊窕貞洠敃r沈一兵教授推薦了漢密爾頓在1982年所寫的一篇Ricci流的文章。

R i c c i流是以意大利數(shù)學家里奇（Gregorio Ricci）命名的一個方程。用它可以完成一系列的拓撲手術(shù)，構(gòu)造幾何結(jié)構(gòu)，把不規(guī)則的流形變成規(guī)則的流形。當年，看過漢密爾頓的文章后，丘成桐先生曾說：“可以用這個結(jié)果來證明龐加萊猜想，以及三維空間的大問題?！?/p>

其實，盛為民接觸漢密爾頓這篇文章的時候已經(jīng)是1991年，盡管文章發(fā)表于1982年，但其在國內(nèi)的傳播尚不廣泛。加之文章中有很多分析上的技巧和方法，而此前主要做流形研究的盛為民用分析的理論很少，尤其是方程方面就更少了。所以，盛為民花了很大力氣解讀，還有很多地方看不懂。為此，盛為民還邀請了數(shù)學系做分析、做方程的專家一起討論。就這樣，30多頁的文章，他花了半年的時間終于“啃”下來了。緊接著，盛為民又讀了一篇1984年發(fā)表的同樣是30多頁的文章，就這樣理論體系和分析方法已經(jīng)構(gòu)建起來了。

但這時盛為民有點慌：“如果我按這個思路做下去，在推進解決龐加萊猜想的過程中，很難得到完整的結(jié)果。”就在這時，他看到一位德國數(shù)學家Huisken用Ricci流的方法研究超曲面，便有了新的靈感：“如果把他的方法用到歐氏空間的超曲面，討論曲率流的問題，是不是能得到比較完整的結(jié)果？”

瞄準了方向，盛為民就一頭扎進去演算。博士論文他做的是超曲面的曲率流方面的研究，與偏微分方程密切相關(guān)。而此前他的研究方向則是比較純粹的流形幾何。盛為民坦言，博士畢業(yè)后的幾年時間里，他處于學術(shù)上的彷徨期?！拔蚁胱鲞@個方面的問題，但好像使不上勁兒。”

伴隨著千禧年的鐘聲，我國數(shù)學領(lǐng)域也開啟了迅猛的發(fā)展階段。2000年，盛為民到德國基爾大學訪問半年，在與國外數(shù)學家接觸中，盛為民不僅自己斬獲了全新的思路，也啟發(fā)了國外同行Christoph Boehm博士。他們經(jīng)常在一起討論Ricci流的最新進展。2006年Boehm與Wilking合作的論文解決了正曲率算子的漢密爾頓猜想，由Wilking在當年的國際數(shù)學家大會上作特邀報告。

也是在2000年年底，沈一兵教授帶盛為民參加了南開大學的一個學術(shù)會議。在那，盛為民遇到了汪徐家，兩人交談片刻便覺相見恨晚。這次相遇，成了他們至今20年友誼與學術(shù)合作的緣起，用盛為民的話說——“意義非常重大！”

2001年暑假，盛為民應汪徐家之邀來到澳大利亞國立大學做學術(shù)訪問。兩個月的時間里，他向汪徐家學習偏微分方程的知識。“汪老師說做偏微分方程，特別是橢圓方程、拋物方程，先要做的就是先驗估計——假設(shè)這個方程是有解的，然后看這個解及其導數(shù)應該滿足什么條件，通過迭代的方法推出解的高階導數(shù)的性質(zhì)?！痹谶@種思路啟發(fā)下，盛為民發(fā)現(xiàn)，他所考慮的問題實際上關(guān)鍵是做一個二級導數(shù)估計?！拔覀兛梢园堰@個問題轉(zhuǎn)化為一個幾何的問題，然后算幾何中的曲率量，把這個量控制住了，那么解的二級導數(shù)就控制住了。”

運用這個思路，盛為民與汪徐家、Urbas共同合作了一篇文章，發(fā)表在《杜克數(shù)學雜志》上。

“到現(xiàn)在，他一直是我的老師和朋友。每次他回國都會來找我，而且我們兩家人也親密無間，一起吃飯時也會談數(shù)學，導致我們的夫人、孩子也跟著問——今天又談了哪個數(shù)學家的故事？”盛為民笑道。

其實，盛為民在采訪中提起了許多人——他的師長、他的合作伙伴、他的領(lǐng)導和同事……他們共同見證了他學術(shù)道路上每一個階段的成長，也建立起了亦師亦友的情誼。

不斷進階的學術(shù)歷程中，友情讓數(shù)學家不再孤單。

“時髦”學科期待“明日之星”

扎根學科多年，盛為民在基礎(chǔ)數(shù)學，特別是微分幾何和幾何分析領(lǐng)域，尤其是近年來聚焦具有一定幾何或物理背景的微分幾何和偏微分方程，包括預定曲率問題、高階Yamabe問題，以及曲率流問題等，取得了一系列成績。

盛為民曾先后參加國家自然科學基金多項重點項目、主持國家自然科學基金面上項目。其中包括國家自然科學基金面上項目“與曲率有關(guān)的若干幾何分析問題”“曲率流及其在微分幾何中的應用”，以及浙江省自然科學基金面上項目“曲率流在微分幾何中的應用”。此外，他還參加了國家自然科學基金重點項目“流形上的幾何與分析”和“流形上的典則結(jié)構(gòu)及在幾何拓撲中的應用”。

目前，盛為民正在負責的國家自然科學基金面上項目“幾何流及其在凸幾何、復幾何以及數(shù)學廣義相對論中的應用”。

“流形上的一類完全非線性偏微分方程”，致力于研究以高階Yamabe問題為中心的幾何中的一類非線性問題，以及它們在幾何與物理中的應用?！拔覀冎攸c研究黎曼幾何中帶邊流形的k-Yamabe問題的存在性和解集的緊性和CR幾何中的k-Yamabe問題的解的存在性，共形幾何中的預定k-曲率問題，包括緊致無邊流形和帶邊界的Plateau問題，以及完備非緊流形的Bernstein型問題?！?/p>

盛為民介紹，他與汪徐家和著名數(shù)學家Trudinger合作，完全解決了具有變分結(jié)構(gòu)的高階Yamabe問題，簡稱為k-Yamabe問題。特別是完全解決了k=2的情形，以及流形是局部共形平坦的情形，論文發(fā)表在《微分幾何雜志》（JDG）上。他和汪徐家及他們的學生李奇睿，用幾何流的方法研究并解決了歐氏空間中關(guān)于預定Gauss曲率測度和預定對偶Gauss曲率測度的凸超曲面的Aleksandrov問題和對偶Minkowski問題。此外，他與他的博士生王坤博也很好地解決了CR流形上CR-Yamabe常數(shù)為大于0時在實際三維情形的CR Yamabe流的解的收斂性；在CR-Yamabe常數(shù)小于0時，CR Yamabe流的解以指數(shù)方式收斂于一個平坦的厄米特度量。

采訪中，記者發(fā)現(xiàn)，只要談起數(shù)學及這些項目的進展和突破，盛為民就會十分健談。如今，也肩負著行政工作的他，更加覺得做一個“純粹的數(shù)學家”是多么幸福的一件事?！拔矣X得做數(shù)學挺享受的?，F(xiàn)在我也帶學生，我非常感謝我的學生，因為他們會給我一些壓力——我必須讓他們學到東西。這種壓力逼著我每個星期都要跟他們討論一些數(shù)學問題，也逼著我不斷學習新東西。 ”

盛為民說，雖然做數(shù)學看起來很抽象、很純粹，但實際上數(shù)學非常有用，比如用幾何分析的方法可以研究人工智能方面的問題。而這些年，數(shù)學也越來越成為“時髦”的學科，許多高考成績優(yōu)異的“明日之星”選擇了這個專業(yè)。

“中國成為數(shù)學強國是遲早的事情！我們能夠把最優(yōu)秀的學生送到國際上最好的機構(gòu)，跟隨數(shù)學大家學成歸來，他們將成為中流砥柱；與此同時，保持學術(shù)界的開放和學術(shù)交流的暢通，都將為我國數(shù)學學科的國際化鋪路。”

在耳濡目染下，盛為民的兒子也已是一名數(shù)學領(lǐng)域的在讀博士。盛為民說，現(xiàn)在能令他感到更快樂的事，就是看到自己的兒子和學生取得更大的成就。他們是數(shù)學的未來！