紀(jì)偉杰

(云南省設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司， 昆明 650228)

樁基礎(chǔ)承載力高并能夠顯著減小沉降，是目前常見(jiàn)的基礎(chǔ)形式[1-3]。工程中以往采用的多是等截面樁[4-5]，研究表明楔形樁的楔形側(cè)面能夠提高樁-土之間的摩擦力，從而提高樁基礎(chǔ)的承載力[6-9]。近年來(lái)，在楔形樁的基礎(chǔ)上，工程中開(kāi)發(fā)出了一種新型樁——楔形管樁，該樁型結(jié)合了預(yù)制管樁[10]和楔形樁兩者的優(yōu)勢(shì)，樁身質(zhì)量易于控制、沉樁方便、節(jié)約材料且能夠顯著提高側(cè)摩阻力，因此在地基處理等工程中具有廣闊的應(yīng)用前景。孔綱強(qiáng)等[11]通過(guò)透明土模型試驗(yàn)研究了樁端擴(kuò)大頭對(duì)擴(kuò)底楔形管樁沉樁位移場(chǎng)的影響規(guī)律；曹兆虎等[12]基于透明土和PIV(particle image velocimetry)圖像處理技術(shù)開(kāi)展了楔形管樁沉樁及樁端后注漿的可視化模型試驗(yàn)；何杰等[13]采用PFC(particle flow code)2D軟件模擬楔形管樁在黏土中的靜壓沉樁，分析了沉樁過(guò)程中樁周土徑向位移及孔壓的變化規(guī)律；陳昱錦[14]通過(guò)模型試驗(yàn)探究了楔形管樁的承載特性，發(fā)現(xiàn)楔形管樁的極限承載力較等截面管樁更大，且適當(dāng)增大楔角可顯著提高楔形管樁的極限承載力。

上述研究[11-14]較深入地揭示了楔形管樁的沉樁效應(yīng)及承載特性，但目前而言，尚未有開(kāi)展楔形管樁動(dòng)力特性的研究報(bào)道，這也在一定程度上限制了楔形管樁的應(yīng)用。

事實(shí)上，圍繞等截面管樁的動(dòng)力特性已開(kāi)展了較多研究，并發(fā)展出一系列樁-土動(dòng)力相互作用模型。丁選明等[15]采用Voigt模型模擬土體，研究了低應(yīng)變條件下變阻抗薄壁管樁的動(dòng)力響應(yīng)；官文杰等[16]基于廣義Voigt模型研究了低承臺(tái)管樁的自由振動(dòng)；王士革等[17]采用分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)黏彈性模型模擬樁周土體，建立了管樁豎向振動(dòng)的頻域解；吳文兵等[18]采用Rayleigh-Love桿模型模擬管樁，基于平面應(yīng)變模型研究了考慮橫向慣性效應(yīng)時(shí)管樁的動(dòng)力響應(yīng)；崔春義等[19]基于平面應(yīng)變模型分析了樁身缺陷對(duì)管樁振動(dòng)特性的影響規(guī)律；有學(xué)者[20-23]采用更為嚴(yán)格的三維軸對(duì)稱(chēng)模型建立了管樁振動(dòng)的頻域響應(yīng)解析解。

為研究楔形管樁的動(dòng)力特性，促進(jìn)楔形管樁在工程中的應(yīng)用，采用Laplace變換和阻抗函數(shù)遞推的方法，建立楔形管樁縱向振動(dòng)頻域響應(yīng)解析解。由于特殊的樁身結(jié)構(gòu)，楔形管樁在沉樁過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生較等截面管樁更為強(qiáng)烈的擠土效應(yīng)，從而使得樁周土呈現(xiàn)明顯的徑向非均質(zhì)性。針對(duì)這一問(wèn)題，將樁周土劃分為一系列環(huán)形圈層，通過(guò)圈層間剪切復(fù)剛度的傳遞得到樁-土界面的動(dòng)力相互作用。根據(jù)所建立的理論解答，分析一系列樁身參數(shù)及擠土效應(yīng)對(duì)低頻范圍內(nèi)楔形管樁縱向振動(dòng)復(fù)阻抗的影響。

1 數(shù)學(xué)模型

t為時(shí)間；r和z分別表示徑向和豎向兩個(gè)方向圖1 樁-土動(dòng)力相互作用模型Fig.1 Soil-pile dynamic interaction model

其中Gsb、μsb和vsb分別為樁底土的剪切模量、泊松比和剪切波速，dp為樁端的直徑。將樁-土體系沿豎向劃分為n段，自下而上分別標(biāo)記為1，2，…，i，…，n；每一段均近似認(rèn)為是均勻截面管樁，第i段樁內(nèi)半徑可表示為rci=(2i-1)Hptanθ/(2n)+rcb，該處理方法的精度可在劃分?jǐn)?shù)目n足夠大時(shí)得以滿(mǎn)足。同時(shí)，每一層樁周土均沿徑向劃分為m個(gè)環(huán)形圈層，自?xún)?nèi)而外分別為1，2，…，j，…，m，以考慮沉樁擠土導(dǎo)致的土體徑向非均質(zhì)性，同一土層各圈層內(nèi)部土體近似認(rèn)為徑向均質(zhì)，但不同圈層土體的性質(zhì)可以不同，當(dāng)圈層劃分?jǐn)?shù)目m足夠大時(shí)可以滿(mǎn)足精度要求。

2 方程的建立與求解

基于平面應(yīng)變模型[25]的樁周土縱向振動(dòng)平衡方程可表示為

(1)

設(shè)第i段楔形管樁的豎向位移為upi=upi(z,t)，則樁的縱向振動(dòng)平衡方程可表示為

(2)

式(2)中：Epi、Api和ρpi分別為樁的彈性模量、橫截面積和密度；upi為樁的豎向位移；fi(z,t)為樁周土對(duì)樁身側(cè)壁的摩阻力。

2.1 邊界條件和初始條件

楔形管樁頂部和底部的邊界條件分別為

(3)

(4)

相鄰樁段接觸面上的位移連續(xù)條件和應(yīng)力平衡條件可分別表示為

upi|z=hi=up(i+1)|z=hi

(5)

(6)

式中：hi為第i段樁底部與樁頂?shù)木嚯x。

樁-土體系的初始條件可表示為

upi|t=0=0

(7)

(8)

2.2 土體振動(dòng)方程求解

求解式(1)可得：

Wij(r)=AijK0(ηijr)+BijI0(ηijr)

(9)

式(9)中：I0(ηijr)和K0(ηijr)為零階修正Bessel函數(shù)；Aij和Bij為待定系數(shù)，可由邊界條件確定。

樁周土相鄰圈層間的剪應(yīng)力可表示為

τij(rij)=-Gsij(1+iDsij)ηij[AijK1(ηijrij)-BijI1(ηijrij)]

(10)

樁周土相鄰圈層間的剪切復(fù)剛度可表示為

(11)

根據(jù)式(9)，以及徑向無(wú)窮遠(yuǎn)處土體位移為零的邊界條件，可得

Bim=0

(12)

由式(11)、式(12)可得

(13)

式(13)中：rim為第i層第m圈層土體的內(nèi)半徑。

由式(11)及相鄰圈層接觸面上剪切復(fù)剛度相等的邊界條件，可得

Ki(j+1)I0[ηijri(j+1)]}{2πri(j+1)Gsij(1+

iDsij)ηijK1[ηijri(j+1)]+Ki(j+1)K0[ηijri(j+1)]}

(14)

式(14)中：j= 1, 2, …,m-1；ri(j+1)為第i層第j+1 圈層土體的內(nèi)半徑。

將式(14)代入式(11)中，可得Kij與Ki(j+1)之間的迭代關(guān)系，進(jìn)而可遞推得到樁-土界面的剪切復(fù)剛度Ki1。

2.3 楔形管樁振動(dòng)方程求解

式(2)中樁-土界面的摩阻力可表示為

fi(z,t)=Ki1upi

(15)

對(duì)式(2)進(jìn)行Laplace變換，并結(jié)合初始條件式(7)、式(8)和式(15)，可得

(16)

式(16)中：vpi為第i段樁的縱波速；Upi為upi的Laplace變換形式。

式(16)的通解可表示為

(17)

第i段楔形管樁頂部的位移阻抗可表示為

(18)

式(18)中：φi=arctan[Zp(i-1)ti(ρpiApivpiλi)-1]，Zp(i-1)為第i-1段樁頂部的位移阻抗。

在此基礎(chǔ)上，結(jié)合相鄰樁段之間的邊界條件進(jìn)行阻抗函數(shù)遞推，可得到樁頂位移阻抗為

(19)

Zpn可進(jìn)一步表示為

(20)

式(20)中：Kp和Cp分別為Zpn的實(shí)部和虛部，表示樁頂動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼。

3 參數(shù)分析

根據(jù)所建立的理論解答，分析一系列樁身參數(shù)(楔角、內(nèi)半徑、壁厚、樁長(zhǎng)、縱波速)及擠土效應(yīng)(擠土范圍和程度)對(duì)楔形管樁縱向振動(dòng)阻抗的影響。如無(wú)特別說(shuō)明，樁-土參數(shù)取值如下：楔形管樁的長(zhǎng)度、壁厚、楔角、樁端位置內(nèi)半徑、密度、縱波速分別為Hp=10 m、bp=0.1 m、θ=1°、rcb=0.15 m、ρp=2 500 kg/m3、vp=3 600 m/s；樁底土的密度、剪切波速、泊松比分別為1 800 kg/m3、100 m/s和0.4；樁周土的密度為1 800 kg/m3，剪切波速在最外圈層(未擾動(dòng)區(qū)域)及靠近樁身的位置分別為100、150 m/s，在受擾動(dòng)區(qū)域線(xiàn)性變化，擠土擾動(dòng)范圍rd=0.1 m。

3.1 對(duì)比驗(yàn)證

令楔形管樁內(nèi)半徑為零，則本文解可退化為實(shí)心楔形樁的解，將退化解與吳文兵等[26]的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖2所示，由圖2可知，兩者吻合較好。

令楔角θ=0°，本文解可退化為等截面管樁解，將退化解與翟志明[27]的解答進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖3所示。由圖3可知，兩者吻合較好。通過(guò)上述對(duì)比，證明了本文解的合理性和精確性。

3.2 楔形管樁樁身參數(shù)的影響

分析楔形管樁的楔角、內(nèi)半徑、壁厚、樁長(zhǎng)、縱波速等樁身參數(shù)對(duì)樁頂復(fù)阻抗的影響，結(jié)果如圖4～圖8所示。

圖2 與實(shí)心楔形樁解的對(duì)比[26]Fig.2 Comparison with the solution for the tapered pile[26]

圖3 與等截面管樁解的對(duì)比[27]Fig.3 Comparison with the solution for the equal-section pipe pile[27]

圖4 楔角對(duì)楔形管樁樁頂復(fù)阻抗的影響Fig.4 Influence of the cone-angle on the complex impedance at the head of the tapered pipe pile

楔角對(duì)楔形管樁樁頂復(fù)阻抗的影響如圖4所示。樁頂動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼均隨著楔角的增大而增大，但增大程度逐漸減小(尤其是動(dòng)剛度)。上述規(guī)律表明，適當(dāng)增大楔形管樁的楔角能夠增強(qiáng)樁-土體系抵抗豎向變形和振動(dòng)的能力，對(duì)工程是有利的，這也與靜力分析的結(jié)論[14]相一致。

內(nèi)半徑對(duì)楔形管樁樁頂復(fù)阻抗的影響如圖5所示，分析過(guò)程中，管樁壁厚和楔角保持不變，以樁端位置內(nèi)半徑的變化反映楔形管樁內(nèi)半徑的變化。樁頂動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼均隨著楔形管樁內(nèi)半徑的增大而增大，且這一規(guī)律在高頻段更為明顯。

圖5 內(nèi)半徑對(duì)楔形管樁樁頂復(fù)阻抗的影響Fig.5 Influence of the inner radius on the complex impedance at the head of the tapered pipe pile

壁厚對(duì)楔形管樁樁頂復(fù)阻抗的影響如圖6所示，分析過(guò)程中樁的外半徑保持不變。由圖6可知，在低頻范圍內(nèi)，樁頂動(dòng)剛度隨著管樁壁厚的增大而逐漸增大，其增大速度逐漸減小，但在高頻范圍內(nèi)則隨著壁厚的增大而逐漸減小，且樁身壁厚越大，動(dòng)剛度由增大轉(zhuǎn)至減小的界限頻率則越小。相比較而言，樁頂動(dòng)阻尼的變化規(guī)律則比較簡(jiǎn)單，其隨著管樁壁厚的增大而逐漸增大，且增大趨勢(shì)逐漸趨緩。上述規(guī)律表明，當(dāng)楔形管樁的壁厚達(dá)到一定程度后，通過(guò)繼續(xù)增大壁厚來(lái)增強(qiáng)楔形管樁抵抗豎向變形和振動(dòng)能力的效果有限。

圖6 壁厚對(duì)楔形管樁樁頂復(fù)阻抗的影響Fig.6 Influence of the wall thickness on the complex impedance at the head of the tapered pipe pile

圖7 樁長(zhǎng)對(duì)楔形管樁樁頂復(fù)阻抗的影響Fig.7 Influence of the pile length on the complex impedance at the head of the tapered pipe pile

樁長(zhǎng)對(duì)楔形管樁樁頂復(fù)阻抗的影響如圖7所示。由圖7可知，樁長(zhǎng)的增大可導(dǎo)致楔形管樁動(dòng)剛度及動(dòng)阻尼的顯著增大，且動(dòng)剛度的增大程度較動(dòng)阻尼更為明顯；在一定情況下，可通過(guò)適當(dāng)增大樁長(zhǎng)的方式來(lái)提高楔形管樁抵抗豎向變形和振動(dòng)的能力。

圖8 樁身縱波速對(duì)楔形管樁樁頂復(fù)阻抗的影響Fig.8 Influence of the longitudinal wave velocity on the complex impedance at the head of the tapered pipe pile

樁身縱波速對(duì)楔形管樁樁頂復(fù)阻抗的影響如圖8所示。由圖8可知，樁身縱波速的增大會(huì)導(dǎo)致樁頂動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼的增大；其中，動(dòng)剛度的增大在中間頻率段表現(xiàn)較為明顯，動(dòng)阻尼的增大則隨著頻率的增大而越加明顯。圖8也表明，通過(guò)采用高標(biāo)號(hào)混凝土來(lái)提高樁身縱波速，并不能明顯增強(qiáng)樁身抵抗豎向變形和振動(dòng)的能力。

3.3 擠土效應(yīng)對(duì)楔形管樁縱向振動(dòng)特性的影響

楔形管樁在沉樁過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生明顯的擠土效應(yīng)，從而導(dǎo)致樁周土的徑向非均質(zhì)性。分析擠土效應(yīng)對(duì)樁頂復(fù)阻抗的影響，結(jié)果如圖9、圖10所示。

擠土范圍對(duì)楔形管樁樁頂復(fù)阻抗的影響如圖9所示。較大的擠土范圍對(duì)應(yīng)較大的樁頂動(dòng)剛度及動(dòng)阻尼，且動(dòng)阻尼所受影響更為明顯，表明擠土效應(yīng)對(duì)提高樁-土體系抵抗豎向變形和振動(dòng)的能力是有利的。

圖9 擠土范圍對(duì)楔形管樁樁頂復(fù)阻抗的影響Fig.9 Influence of the compacting range on the complex impedance at the head of the tapered pipe pile

擠土程度(即靠近樁身的土體剪切波速與最外圈層未擾動(dòng)區(qū)域土體剪切波速的比值)對(duì)楔形管樁樁頂復(fù)阻抗的影響如圖10所示，分析過(guò)程中擠土范圍取0.1 m。楔形管樁樁頂?shù)膭?dòng)剛度和動(dòng)阻尼均隨著擠土程度的增大而增大，表明樁-土體系抵抗豎向變形和振動(dòng)的能力隨之增強(qiáng)。

圖10 擠土程度對(duì)楔形管樁樁頂復(fù)阻抗的影響Fig.10 Influence of the compacting degree on the complex impedance at the head of the tapered pipe pile

4 結(jié)論

基于考慮土體徑向非均質(zhì)性的剪切復(fù)剛度傳遞模型建立了楔形管樁縱向振動(dòng)頻域響應(yīng)解析解，通過(guò)與已有解答的對(duì)比驗(yàn)證了解的合理性和精確性，在此基礎(chǔ)上，分析了一系列樁身參數(shù)及擠土效應(yīng)的影響。得出主要結(jié)論如下。

(1)適當(dāng)增大楔形管樁的楔角能夠顯著增強(qiáng)樁-土體系抵抗豎向變形和振動(dòng)的能力。

(2)隨著楔形管樁內(nèi)半徑、壁厚、長(zhǎng)度及縱波速的增大，樁頂動(dòng)剛度(對(duì)壁厚而言在低頻段滿(mǎn)足)和動(dòng)阻尼逐漸增大，但單純通過(guò)增大楔形管樁壁厚、提高混凝土標(biāo)號(hào)以增大管樁縱波速等方式來(lái)增強(qiáng)樁-土體系抵抗豎向變形和振動(dòng)能力的效果有限。

(3)擠土效應(yīng)能夠增強(qiáng)楔形管樁抵抗豎向變形和振動(dòng)的能力，且增強(qiáng)效果隨著擠土范圍和擠土程度的增大而更加明顯。