韓偉民， 閆相禎*， 閆怡飛

(1.中國石油大學(華東)儲運與建筑工程學院， 青島 266580； 2.中國石油大學(華東)機電工程學院， 青島 266580)

川東北某氣田的四十臂井徑儀檢測結(jié)果顯示，30口井均出現(xiàn)了套管變形現(xiàn)象[1]，且這些套損段集中位于三疊系嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層。雖然針對該地層的鹽巖和膏巖的巖石力學性質(zhì)已有單獨研究[2-3]，但由于該地層地質(zhì)特征復(fù)雜，多種巖石夾層共生，無法準確將各特定巖石種類進行分層處理，因此可考慮將嘉陵江嘉四段—嘉五段地層視為統(tǒng)一體，目前針對該地層整體力學特性仍鮮有研究。準確地獲取地層巖石力學性質(zhì)對分層地應(yīng)力求取、井壁穩(wěn)定性分析、鉆井液設(shè)計、壓裂設(shè)計及套管強度設(shè)計等方面都具有非常重要的意義，尤其是套損現(xiàn)象普遍出現(xiàn)的嘉陵江嘉四段—嘉五段地層。

常規(guī)的地層巖石力學性質(zhì)分析，通常是在室內(nèi)試驗的基礎(chǔ)上對結(jié)果采用隨機統(tǒng)計法進行分析，利用巖石力學參數(shù)的平均值、標準差及變異系數(shù)反映地層特性[4]。江權(quán)等[5]針對室內(nèi)試驗得到的特定種類巖石力學參數(shù)樣本進行了假設(shè)檢驗和擬合優(yōu)度分析，確定了各特定種類巖石力學參數(shù)的最優(yōu)概率分布形式。由巖體本身非均質(zhì)結(jié)構(gòu)引起的材料性質(zhì)的不確定性、地層邊界的不確定性、地層中應(yīng)力狀態(tài)的不確定性等都會造成巖石力學參數(shù)的隨機性和不確定性[6]，且室內(nèi)試驗得到的數(shù)據(jù)量通常較少，采用平均值對巖石力學性質(zhì)進行描述會導(dǎo)致結(jié)果缺乏規(guī)律性的整體認識和大量誤差的存在。而利用油氣井聲波測井資料則可以獲得隨深度變化的連續(xù)巖石力學參數(shù)，采用概率統(tǒng)計方法對其隨機性和不確定性進行分析，則能更合理、更準確地對巖石力學性質(zhì)進行描述，以便更有效地分析巖石的變形破壞特征和地層的力學特性。Deo等[7]、Simangunsong等[8]和Nejati等[9]認為由于天然材料的不確定性和可變性，儲層巖石力學性質(zhì)的確定性分析是不合理的，并采用多元線性回歸方法和Monte Carlo模擬對儲層巖石動態(tài)彈性力學參數(shù)的不確定性和可靠性進行了分析。但上述研究對象為儲層巖石的動態(tài)彈性力學參數(shù)，并未針對靜態(tài)彈性力學參數(shù)及強度參數(shù)進行分析，且未考慮測井資料解釋得到的巖石力學參數(shù)同樣存在的離散性導(dǎo)致的誤差。

鑒于此，以川東北某氣田三疊系嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層的巖石力學參數(shù)為研究對象，首先通過該地層多口井的聲波測井資料得到彈性模量、泊松比、單軸抗壓強度、內(nèi)聚力等巖石力學參數(shù)大樣本數(shù)據(jù)，采用隨機-模糊統(tǒng)計法對其進行分析以剔除異常值，得到具有真實性和代表性的樣本數(shù)據(jù)，進而采用假設(shè)檢驗的方法，對嘉陵江嘉四段—嘉五段地層彈性模量、泊松比、單軸抗壓強度和內(nèi)聚力等巖石力學參數(shù)的隨機分布特征和最優(yōu)概率密度函數(shù)進行研究。

1 巖石力學參數(shù)樣本的獲取

巖石力學參數(shù)的獲取途徑主要有室內(nèi)物理試驗和聲波測井解釋兩種方法。在不同應(yīng)力路徑加載下對巖心進行多組試驗以獲得其應(yīng)力-應(yīng)變曲線及破壞特征，該方法成本相對較高且獲得的樣本數(shù)量相對較少，由于巖石的固有屬性導(dǎo)致巖心試驗得到的數(shù)據(jù)帶有顯著的離散性，并不能準確地反映具有一定厚度的地層力學特性。而聲波測井解釋方法可以通過測井資料計算得到大量連續(xù)的巖石力學參數(shù)，可以很好地反映連續(xù)深度地層的力學特性[10]。

1.1 巖石動態(tài)彈性參數(shù)

假定地層巖石為均質(zhì)和各向同性的線彈性體，則依據(jù)牛頓第二定律和胡克定律，聲波速度在巖石介質(zhì)中傳播的運動方程為

(1)

對式(1)中的X、Y、Z求偏導(dǎo)數(shù)并進行整理可得：

(2)

求解可得巖石介質(zhì)中的縱波和橫波的傳播速度VP和VS：

(3)

(4)

根據(jù)彈性力學參數(shù)K、G、Ed之間的關(guān)系，推導(dǎo)可得聲波速度與巖石動態(tài)楊氏模量、動態(tài)泊松比之間的關(guān)系式為

(5)

(6)

(7)

(8)

式中：Ed為巖石動態(tài)楊氏模量；λd為巖石動態(tài)泊松比；ΔtS為橫波時差；ΔtP為縱波時差。

1.2 巖石動靜態(tài)彈性參數(shù)的關(guān)系

石油工程實際應(yīng)用中普遍采用巖石的靜態(tài)彈性參數(shù)，巖石的礦物組成、應(yīng)力環(huán)境和溫度等決定了巖石靜力學參數(shù)的波動性和不連續(xù)性。而通過上述理論分析可以得到隨深度變化的大量連續(xù)的巖石動力學參數(shù)，因此有必要研究巖石動靜態(tài)彈性系數(shù)的變化規(guī)律及動靜態(tài)彈性系數(shù)間的相互關(guān)系。鐘自強等[11]進行室內(nèi)力學試驗得到某地區(qū)礫巖的靜態(tài)巖石力學參數(shù)，通過將測井數(shù)據(jù)與其統(tǒng)計擬合構(gòu)建了巖石力學參數(shù)的測井預(yù)測模型；李凱等[12]通過對巖心進行力學測試，結(jié)合巖石刻度測井建立了川西須二段地層的動靜態(tài)巖石彈性參數(shù)轉(zhuǎn)換模型；徐浩等[13]對川西須五段的砂、泥巖進行了巖石力學測試，并利用測井數(shù)據(jù)擬合給出了巖石彈性參數(shù)的動靜轉(zhuǎn)換公式。綜合考慮前人研究成果并參考川東北某氣田嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層巖石室內(nèi)試驗結(jié)果，確定的巖石動靜態(tài)彈性參數(shù)間的轉(zhuǎn)換關(guān)系式為

Es=0.522 3Ed+6.390 7

(9)

λs=1.279 1λd-0.175 2

(10)

式中：Es為巖石靜態(tài)楊氏模量；λs為巖石靜態(tài)泊松比。

1.3 基于測井資料的巖石力學參數(shù)解釋

測井結(jié)果顯示，三疊系嘉陵江組為海相沉積地層，碳酸鹽巖與膏鹽地層組合。其中嘉陵江嘉四段—嘉五段巖性以灰白色硬石膏巖、白色鹽巖、灰白色膏鹽巖為主，夾灰色灰質(zhì)白云巖、深灰色、灰色白云巖、膏質(zhì)灰?guī)r、泥灰?guī)r。表1為該地層段A1井部分深度的測井資料。利用式(5)～式(8)給出的測井資料與巖石動態(tài)彈性參數(shù)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，對A1井的嘉陵江組嘉四段—嘉五段4 528～4 786 m地層測井數(shù)據(jù)進行計算，得到該地層段動態(tài)巖石力學參數(shù)，而后再利用式(9)、式(10)計算得到該地層段的靜態(tài)巖石力學參數(shù)，如表2所示。圖1為A1井嘉陵江組嘉四段—嘉五段4 528～4 786 m地層彈性參數(shù)解釋成果。

表1 A1井嘉陵江組嘉四段—嘉五段部分深度測井資料

表2 A1井嘉陵江組嘉四段—嘉五段部分深度動靜態(tài)巖石力學參數(shù)

由于地質(zhì)構(gòu)造復(fù)雜，嘉陵江組嘉四段—嘉五段厚度分布不均勻，為了能夠?qū)υ摰貙訋r石力學性質(zhì)進行全面分析，利用同樣方法對同屬于該地層段的A2井4 606～4 990 m、A3井4 789～5 280 m、A4井3 983～4 196 m和A5井4 064～4 539 m測井資料同時進行計算，得到嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層的彈性模量、泊松比、單軸抗壓強度和內(nèi)聚力等巖石力學參數(shù)大樣本。圖2為A2、A3、A4、A5井的嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層不同靜態(tài)彈性參數(shù)隨深度變化趨勢。

2 基于隨機-模糊統(tǒng)計法的樣本分析

由于數(shù)據(jù)的離散性和隨機性會導(dǎo)致異常值的出現(xiàn)，嚴重影響統(tǒng)計結(jié)果的準確性，使概率分布特征失去代表性和真實性，因此有必要對大樣本數(shù)據(jù)進行粗差處理，得到平均值、標準差、變異系數(shù)和修正系數(shù)描述樣本數(shù)據(jù)離散程度等基本特征。對于巖石力學指標，常用的粗差處理方法有：隨機統(tǒng)計法、3σ(σ為樣本標準差)法、Grubbs法和隨機-模糊法。孫立川等[14]認為傳統(tǒng)的統(tǒng)計方法不適于處理巖石力學參數(shù)樣本的模糊性，而隨機-模糊統(tǒng)計方法考慮了數(shù)據(jù)的空間變異性，在保留了全部試驗數(shù)據(jù)信息的基礎(chǔ)上，不會被少數(shù)異常值所干擾，更加適合處理巖石力學參數(shù)的大樣本數(shù)據(jù)，以剔除數(shù)據(jù)中的異常值。

圖1 A1井嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層彈性參數(shù)解釋Fig.1 Logging interpretation of Jia-4—Jia-5 Interval of Jialingjiang Formation of well A1

(11)

巖石力學參數(shù)樣本的方差表達式為

(12)

式(12)中：σ2為巖石力學參數(shù)樣本的方差；g2為權(quán)值；

圖2 A2井、A3井、A4井和A5井的嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層靜態(tài)彈性參數(shù)隨深度的變化趨勢Fig.2 The variation trends of static elastic parameters with depth in Jia-4—Jia-5 interval of Jialingjiang formation of well A2, well A3, well A4 and well A5

變異系數(shù)δ的表達式為

(13)

式(13)中：δ為巖石力學參數(shù)樣本的變異系數(shù)；σ為巖石力學參數(shù)樣本的標準差。

統(tǒng)計修正系數(shù)rs表達式為

(14)

式(14)中：rs為巖石力學參數(shù)樣本的統(tǒng)計修正系數(shù)。

巖石力學參數(shù)的標準值fk的表達式為

(15)

式(15)中：fk為巖石力學參數(shù)樣本的標準值。

利用式(11)～式(15)，對圖1、圖2中給出的嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層彈性模量、泊松比、單軸抗壓強度和內(nèi)聚力大樣本數(shù)據(jù)進行隨機-模糊統(tǒng)計分析，結(jié)果如表3所示。

從表3可以看出，各參數(shù)樣本值都具有明顯的離散性，其中單軸抗壓強度的離散程度最高，超過了0.3；內(nèi)聚力次之，泊松比的離散程度最小，分布最為集中。

表3 嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層巖石力學參數(shù)隨機-模糊統(tǒng)計分析結(jié)果

3 巖石力學參數(shù)的不確定性分析

3.1 假設(shè)檢驗

通常情況下巖石力學參數(shù)近似服從于某一種經(jīng)典概率分布形式，但是根據(jù)已有的樣本信息無法準確斷定最優(yōu)概率分布形式。巖石力學參數(shù)主要的分布形式有：正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布，正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布這3種概率分布形式基本囊括了含有不確定因素的各種概率運算形式[16]，具體如表4所示。

表4 3種經(jīng)典概率分布形式

為了確定各巖石力學參數(shù)最優(yōu)的概率分布形式和概率密度函數(shù)，采用假設(shè)檢驗方法來考察各巖石力學參數(shù)對于上述三種經(jīng)典概率分布形式的擬合優(yōu)良程度，常用的分布假設(shè)檢驗方法包括：χ2檢驗、Kolmogorov-Smirnov(K-S)檢驗、Anderson-Darling(A-D)檢驗和Cramer-von Mises(C-M)檢驗等[17]。其中單樣本K-S檢驗是用來研究樣本觀察值的經(jīng)驗分布形式與設(shè)定的理論分布形式之間的差異程度是否顯著的擬合優(yōu)度檢驗方法，它主要用于有計量單位的連續(xù)和定量數(shù)據(jù)，不用對數(shù)據(jù)進行分組而直接對原始的n個觀測值進行檢驗，對數(shù)據(jù)的利用更為完整，對尺度化不敏感且適用范圍非常廣泛。K-S 檢驗方法的具體步驟為：①提出假設(shè)H0:Sn(x)=F0(x)，其中Sn(x)為隨機樣本觀察值的累積概率分布函數(shù)，F(xiàn)0(x)為設(shè)定的理論累積概率分布函數(shù)；②計算Dn=|Sn(x)-F0(x)|，Dn為兩條曲線之間的距離，即兩組數(shù)據(jù)間的偏離程度；③在顯著性水平α下，若Dn,max=max{|Sn(x)-F0(x)|}

圖3 K-S假設(shè)檢驗原理Fig.3 Principle of K-S hypothesis test

3.2 結(jié)果分析

彈性模量和泊松比是反映巖石變形能力的基本彈性參數(shù)，抗壓強度、抗剪強度、內(nèi)聚力是反映巖石承受載荷特性的基本強度參數(shù)。由于嘉陵江組嘉四段-嘉五段地層巖性的復(fù)雜性，其彈性參數(shù)和強度參數(shù)存在較大的離散性。因此對其進行概率統(tǒng)計分析掌握其總體分布形式，對于井壁穩(wěn)定性分析或鉆井設(shè)計都有重要意義。

基于上述各巖石力學參數(shù)樣本的隨機-模糊統(tǒng)計分析結(jié)果，在顯著性水平為α=0.05即置信水平95%條件下，進一步采用K-S假設(shè)檢驗方法分別對正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布這3種分布形式進行擬合優(yōu)度檢驗，檢驗結(jié)果如表5所示。

表5 巖石力學參數(shù)K-S假設(shè)檢驗結(jié)果

3.2.1 彈性參數(shù)假設(shè)檢驗結(jié)果分析

由表5可知，嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層的彈性參數(shù)對正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布均不接受假設(shè)，只接受威布爾分布，因此其彈性參數(shù)最優(yōu)概率分布形式為威布爾分布。嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層巖石彈性參數(shù)的統(tǒng)計直方圖及其概率分布形式如圖4、圖5所示。

圖5 泊松比統(tǒng)計直方圖及概率分布形式Fig.5 Statistical histogram and probability distribution of Poisson’s ratio

擬合得到的嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層巖石彈性模量和泊松比的累積概率分布函數(shù)(cumulative distribution function，CD)表達式分別為式(16)、式(17)所示：

(16)

(17)

3.2.2 強度參數(shù)假設(shè)檢驗結(jié)果分析

由表5可知，嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層的強度參數(shù)對正態(tài)分布、威布爾分布均不接受假設(shè)，只接受對數(shù)正態(tài)分布，因此其強度參數(shù)最優(yōu)概率分布形式為對數(shù)正態(tài)分布。嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層巖石強度參數(shù)的統(tǒng)計直方圖及其概率分布形式如圖6、圖7所示。

圖6 單軸抗壓強度統(tǒng)計直方圖及概率分布形式Fig.6 Statistical histogram and probability distribution of uniaxial compressive strength

圖7 內(nèi)聚力統(tǒng)計直方圖及概率分布形式Fig.7 Statistical histogram and probability distribution of cohesion

擬合得到的嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層巖石單軸抗壓強度和內(nèi)聚力的CDF表達式分別為式(18)、式(19)：

R2=0.999 3

(18)

R2=0.999 4

(19)

圖4～圖7中兩條虛線之間的范圍即為置信水平為95%的巖石力學參數(shù)分布區(qū)間。其中95%置信水平下的嘉陵江嘉四段—嘉五段地層彈性模量分布區(qū)間為[18.35 GPa，47.68 GPa]，泊松比分布區(qū)間為[0.168，0.332]；95%置信水平下的嘉陵江嘉四段—嘉五段地層單軸抗壓強度分布區(qū)間為[10.74 MPa，33.28 MPa]，內(nèi)聚力分布區(qū)間為[4.67 MPa，10.31 MPa]。通過對取自該地層的巖心進行室內(nèi)試驗得到的巖石彈性模量為 19.16 GPa，泊松比為0.260，單軸抗壓強度為 16.5 MPa，內(nèi)聚力為 7.49 MPa，均在置信水平為95%的分布區(qū)間，也驗證了該分布區(qū)間的合理性。置信水平越高，可靠度越高，但是相應(yīng)的分布區(qū)間就越大。根據(jù)巖石室內(nèi)試驗數(shù)據(jù)對不確定性分析結(jié)果進行校準可以有效降低巖石力學參數(shù)的不確定性水平，從而提供更加可靠的地層力學特性。通過本文方法計算得到的巖石力學參數(shù)概率分布區(qū)間，更為準確地描述了嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層的力學性質(zhì)，比采用單一的平均值進行分析更接近實際情況；同時也使后續(xù)進行的鉆井設(shè)計、套管強度設(shè)計和地應(yīng)力分析等工作更加靈活，從而降低該地層套管變形損壞的風險。

4 結(jié)論

(1)嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層的彈性模量、泊松比、單軸抗壓強度和內(nèi)聚力都具有明顯的離散性，其中單軸抗壓強度的離散程度最高，超過了0.3；內(nèi)聚力次之，泊松比的離散程度最小，分布最為集中。

(2)嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層的彈性模量、泊松比、單軸抗壓強度和內(nèi)聚力大樣本的最優(yōu)概率分布形式并不一致，分別為威布爾分布、威布爾分布、對數(shù)正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布。

(3)得到了嘉陵江嘉四段—嘉五段地層置信水平95%的彈性模量、泊松比、單軸抗壓強度和內(nèi)聚力的分布區(qū)間，為鹽膏巖地層鉆井設(shè)計、地應(yīng)力分析、套管可靠度計算及井壁穩(wěn)定性研究等提供了數(shù)據(jù)支持。

(4)僅以嘉陵江嘉四段—嘉五段地層為例進行了地層巖石力學參數(shù)的不確定性分析，對于其他儲層或不同區(qū)塊地層，仍然需要依據(jù)測井資料重新對試驗樣本進行計算，并根據(jù)室內(nèi)試驗數(shù)據(jù)對不確定性分析結(jié)果進行校正，以保證地層力學性質(zhì)的可靠性。