張鳳國 劉軍 何安民 王裴 王昆 周洪強(qiáng) 趙福祺

(北京應(yīng)用物理與計(jì)算數(shù)學(xué)研究所, 北京 100094)

1 引 言

沖擊載荷作用下, 反射沖擊波在靶板內(nèi)部疊加形成拉伸作用區(qū)域, 當(dāng)拉伸應(yīng)力足夠高時(shí), 延性材料內(nèi)部層裂面處經(jīng)歷孔洞的成核、增長、匯合直至材料斷裂破壞的損傷演化過程, 即層裂破壞. 包括爆轟加載、撞擊以及激光加載等均可能造成結(jié)構(gòu)材料的層裂破壞, 因而該問題的研究具有重要的實(shí)用價(jià)值. 同時(shí), 層裂屬于一維拉伸破壞問題, 應(yīng)力狀態(tài)簡單、實(shí)驗(yàn)易行, 研究層裂損傷演化過程也有助于分析材料的理論強(qiáng)度、揭示材料的損傷斷裂機(jī)理[1?3].

在層裂損傷問題的研究歷程中, 為了數(shù)值模擬分析材料的損傷演化過程及其對(duì)結(jié)構(gòu)的影響, 采用的損傷模型不斷發(fā)展完善, 從最初的瞬時(shí)斷裂模型、損傷累積模型到目前采用的耦合材料微細(xì)觀結(jié)構(gòu)信息的損傷累積模型[4?10], 使得對(duì)損傷演化過程的描述逐漸精細(xì)化, 同時(shí), 結(jié)合實(shí)驗(yàn)和理論研究深入探討損傷演化特性[11?20], 逐步加深了對(duì)材料損傷微細(xì)觀機(jī)理的認(rèn)識(shí). 在層裂損傷模型的發(fā)展過程中, 人們過多地關(guān)注如何完善損傷模型, 更好地使計(jì)算結(jié)果與材料內(nèi)部損傷狀態(tài)相符合, 而忽略損傷模型參數(shù)如何標(biāo)定這一重要問題. 對(duì)于一些損傷模型, 模型參數(shù)的改變不僅對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響很大,而且模型參數(shù)本身也可能是相關(guān)的, 同時(shí), 部分參數(shù)的選取具有一定的人為性, 這就為損傷模型的具體應(yīng)用造成了困擾, 也降低了計(jì)算結(jié)果的可信度.以目前應(yīng)用較為廣泛的孔洞增長VG模型(void growth model)[5]為例: 該模型考慮了基體材料的率效應(yīng), 并基于空心球殼得到了孔隙度α(空心球殼總體積與基體體積之比)隨時(shí)間變化的增長率與外加拉伸載荷p之間的關(guān)系為(本文中變量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)“ d /dt”均表示為“.”)

模型包含的三個(gè)基本參數(shù): 初始孔隙度α0定義為距離層裂面較遠(yuǎn)處的孔隙度, 這個(gè)定義本身具有人為性;η為剪切黏性系數(shù), 但實(shí)際應(yīng)用時(shí)作為計(jì)算參數(shù), 并根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整; 基于理論推導(dǎo),系 數(shù)αs與 基 體 材 料 的 屈 服 強(qiáng) 度Y0相 關(guān) , 即αs=2Y0/3, 而實(shí)際應(yīng)用時(shí), Johnson[5]定義其為與孔洞周圍基體材料的硬化強(qiáng)度相關(guān), 同樣也為計(jì)算參數(shù). 此外, Johnson[5]的文章中只是給出了OFHC高純銅材料的損傷模型參數(shù), 對(duì)于其他材料, 參數(shù)如何確定就值得商酌, 這極大地降低了計(jì)算結(jié)果的可信度. 同時(shí), 三個(gè)參數(shù)的改變也直接影響了損傷演化過程的宏觀外在表現(xiàn)——自由面速度變化.圖1給出了采用VG模型計(jì)算模擬的飛片撞擊靶板的自由面速度, 計(jì)算結(jié)果顯示, VG模型參數(shù)的選取不同將導(dǎo)致靶板材料發(fā)生損傷破壞(速度曲線有回跳)或沒有損傷產(chǎn)生(速度曲線沒有回跳)兩種極端情況. 因此, 需要進(jìn)一步解析損傷模型參數(shù)所包含的物理涵義, 給出參數(shù)的確定方法.

圖 1 損傷模型參數(shù)對(duì)自由面速度的影響 (a) 初始孔隙度的影響; (b) 剪切黏性系數(shù)的影響; (c) 材料硬化參數(shù)的影響Fig. 1. Influences of spall model parameters on free surface velocities: (a) Effects of initial porosity; (b) effects of shear viscosity; (c) effects of work hardening.

本文結(jié)合自由面速度曲線的斜率和回跳點(diǎn)等變化特性與層裂面處損傷演化過程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系、損傷與應(yīng)力改變之間的關(guān)聯(lián)等, 進(jìn)一步解析損傷模型參數(shù)所包含的物理涵義, 探討基于物理的損傷模型參數(shù)的確定方法, 并通過與文獻(xiàn)中不同延性金 屬材料的層裂實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較, 驗(yàn)證了該方法的合理性.

2 層裂損傷模型參數(shù)的確定方法

層裂損傷機(jī)理認(rèn)識(shí)的不斷提高得益于近年來實(shí)驗(yàn)診斷技術(shù)的進(jìn)步, 其中基于VISAR, DISAR等光學(xué)表面診斷技術(shù)獲得的自由面速度曲線是認(rèn)識(shí)層裂損傷演化規(guī)律最重要的一個(gè)窗口.根據(jù)波的相互作用理論, 層裂面處的損傷演化與自由面速度曲線的變化之間存在間接的對(duì)應(yīng)關(guān)系, 因此, 深入解讀自由面速度曲線的變化特性有助于揭示材料內(nèi)部的損傷變化機(jī)理和損傷模型的物理建模.

隨著層裂損傷研究的深入, 人們對(duì)自由面速度曲線的認(rèn)識(shí)不斷提高. 圖2顯示了2 mm飛片以185 m/s的速度撞擊 9 mm OFHC 高純銅靶板的自由面速度實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果[21]. 沖擊波達(dá)到自由面后, 速度達(dá)到峰值, 之后沖擊波在自由面反射形成卸載稀疏波, 速度曲線下降達(dá)到第一個(gè)低點(diǎn), 即回跳點(diǎn), 峰值與回跳點(diǎn)之間的速度差 ?u與靶板內(nèi)部層裂面處卸載稀疏波相互疊加引起的拉伸應(yīng)力相關(guān), 即層裂強(qiáng)度; 回跳點(diǎn)左側(cè)曲線下降斜率與拉伸應(yīng)力的增長率相對(duì)應(yīng), 而右側(cè)速度曲線上升的斜率與材料內(nèi)部損傷增長率相關(guān)[2]. 對(duì)于回跳點(diǎn)所包含的物理涵義, 近期的實(shí)驗(yàn)分析和研究表明:自由面速度曲線的回跳信號(hào)不是材料完全分離的一個(gè)標(biāo)志, 其與孔洞的成核以及早期增長相關(guān), Tonks等[6]定性給出其對(duì)應(yīng)的孔隙度近似為1.0005. 結(jié)合文獻(xiàn)關(guān)于材料彈塑性效應(yīng)對(duì)層裂損傷影響的分析[22], 可以進(jìn)一步明確回跳點(diǎn)對(duì)應(yīng)層裂面處因孔洞早期增長引起材料完全塑性變形的時(shí)刻, 此時(shí)刻的臨界孔隙度為

其中G為剪切模量, 對(duì)應(yīng)的臨界應(yīng)力-層裂強(qiáng)度的計(jì)算采用1980年Romanchenko和Stepanov[23]給出的公式:

其中,ρ0為初始基體材料密度,Cl為基體材料的縱波聲速,C0為體積聲速,h=0.5Cl·?t, 為層裂片厚度.

圖 2 自由面速度曲線典型特征Fig. 2. Characters of free surface velocity profile.

首先, 計(jì)算過程中采用的含損傷格林內(nèi)森狀態(tài)方程的微分形式可以表示為

其中Γ0為格林內(nèi)森系數(shù),E為單位初始體積內(nèi)能,體積應(yīng)變?chǔ)?ρ/ρ0?1 ,ρ為當(dāng)前基體材料密度. 對(duì)于一維層裂損傷問題, 在基體材料不可壓的假設(shè)條件下,而內(nèi)能的改變量為

將 (5)式代入 (4)式并積分 (α0到αcr), 同時(shí)考慮在孔洞早期增長過程中則有

考慮到p0=αsln[α0/(α0?1)], 代入 (6)式有:

其次, 在確定模型參數(shù)時(shí), 只需討論孔洞早期增長過程, 即則 (1)式可以近似改寫為

其中P/Y0為體現(xiàn)加載強(qiáng)度的無量綱量, 而包含材料特性的系數(shù) (α0?1)2/3Y0/η本身的量綱只與時(shí)間相關(guān), 因此, 不妨假設(shè)將其值定義為與材料無關(guān)的常數(shù), 結(jié)合 Johnson 給出的數(shù)據(jù), 即有

最后, 當(dāng)自由面速度曲線回跳時(shí), Antoun等[2]給出了其對(duì)應(yīng)層裂面處的孔隙度增長率為為拉伸應(yīng)力開始增長時(shí)的應(yīng)力率,同時(shí), 根據(jù)波的相互作用有則有

結(jié)合(1)式可以得到:

至此, 基于理論推導(dǎo), 并結(jié)合自由面速度曲線的實(shí)驗(yàn)結(jié)果, 本文給出了VG層裂損傷模型參數(shù)的確定方法: (8)式、(10)式、(12)式均對(duì)應(yīng)速度回跳時(shí)刻各物理量之間的關(guān)系, 聯(lián)立(8)式、(10)式、(12)式可以數(shù)值求解VG模型的三個(gè)參數(shù)α0,η和αs; 也可以將(8)式和(10)式代入(12)式, 利用數(shù)學(xué)軟件Mathematica中FindRoot命令求解參數(shù)α0, 然后代入(10)式和(12)式得到其他參數(shù). 同時(shí)指出, 參數(shù)α0并非實(shí)際的初始孔隙度, 而是參考初始孔隙度; 自由面速度曲線回跳點(diǎn)對(duì)應(yīng)層裂面處材料因孔洞增長達(dá)到塑性變形; 此外, VG模型雖然簡單、實(shí)用, 但因?yàn)闆]有考慮慣性和材料微結(jié)構(gòu)的影響, 模型本身并不完善, 這使得參數(shù)η和αs雖然賦予了一定的物理涵義, 而實(shí)際上屬于調(diào)整損傷增長的模型參數(shù).

3 參數(shù)確定方法的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文給出的參數(shù)確定方法的適用性, 這里采用數(shù)值方法模擬兩種典型延性金屬材料OFHC銅和鉭的層裂實(shí)驗(yàn)給出的自由面速度剖面. 延性金屬材料的層裂損傷演化屬于從微觀的孔洞成核、增長到宏觀破壞的多尺度問題, 相對(duì)而言, 基于微觀物理機(jī)理的ZA本構(gòu)方程更適合層裂損傷的計(jì)算[24,25].因此, OFHC銅本構(gòu)方程選用針對(duì)FCC材料的ZA本構(gòu)方程:

表 1 OFHC 銅和鉭的基本力學(xué)參數(shù)Table 1. Material parameters of OFHC copper and tantalum.

表 2 OFHC 銅和鉭的 ZA 本構(gòu)模型參數(shù)Table 2. Material parameters of OFHC copper and tantalum for Zerilli-Armstrong constitutive relations.

金屬鉭的本構(gòu)方程選用針對(duì)BCC材料的ZA本構(gòu)方程:

兩種金屬的基本材料參數(shù)[25,26]見表1和表2.

首先, 采用上述方法確定OFHC高純銅材料的VG層裂損傷模型參數(shù). 基于圖2給出的層裂實(shí)驗(yàn)的自由面速度曲線[21]有: 速度差 ?u= 65.2 m/s、曲線斜率根據(jù)波的相互作用, 飛片加載層裂實(shí)驗(yàn)的層裂片厚度近似為飛片厚度, 即h= 2 mm, 則由 (3)式計(jì)算得到層裂強(qiáng)度pspall= 1.682 GPa. 根據(jù) (8)式、(10)式和 (12)式計(jì)算得到:α0= 1.00048;η= 1.368 Pa·s;αs=0.193 GPa. 圖3顯示了采用VG模型原參數(shù)和本文給出參數(shù)計(jì)算得到的自由面速度曲線與實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果均符合較好. 此外, 若取α0= 1.0003, 則根據(jù) (8)式和 (10)式得到η= 1.0 Pa·s以 及αs=0.182 GPa, 這與 Johnson 給出的α0= 1.0003,η=1.0 Pa·s以及αs= 0.17 GPa 近似相同. 總體而言,對(duì)比結(jié)果表明: 1)新的參數(shù)標(biāo)定方法不僅可以還原VG層裂損傷模型的參數(shù), 而且基于實(shí)驗(yàn)和物理給出的參數(shù)也能夠很好地模擬自由面速度變化情況(對(duì)應(yīng)材料內(nèi)部的層裂損傷演化過程), 證明了本文給出的參數(shù)標(biāo)定方法的有效性; 2)從另一個(gè)角度而言, 同一個(gè)物理模型有兩套有效參數(shù), 這也說明層裂損傷模型本身還不完善.

圖 3 OFHC 銅層裂的自由面速度曲線Fig. 3. Simulated free surface velocity profile for OFHC copper.

表 3 實(shí)驗(yàn)列表Table 3. Parameters of shock experiments.

進(jìn)一步驗(yàn)證本文給出的參數(shù)確定方法合理性的關(guān)鍵是采用VG模型對(duì)其他延性金屬材料層裂實(shí)驗(yàn)結(jié)果的有效計(jì)算模擬, 這里包含兩個(gè)層次的驗(yàn)證: (10)式假設(shè)條件的成立以及參數(shù)確定方法的合理性. 金屬鉭是研究金屬材料層裂損傷機(jī)理的常用典型延性金屬之一, 表3列出了文獻(xiàn)給出的不同加載速率和不同加載飛片厚度的5發(fā)實(shí)驗(yàn): 對(duì)比實(shí)驗(yàn)1—實(shí)驗(yàn)3, 飛片和靶板厚度相同, 飛片的撞擊速度不同, 實(shí)驗(yàn)反映了加載強(qiáng)度對(duì)自由面速度(損傷)的影響; 對(duì)比實(shí)驗(yàn)5、實(shí)驗(yàn)2和實(shí)驗(yàn)4, 靶板厚度相同, 飛片的撞擊速度近似, 但飛片的厚度不同,實(shí)驗(yàn)反映了飛片厚度(即加載應(yīng)變率)對(duì)自由面速度(損傷)的影響[17]. 本文根據(jù)實(shí)驗(yàn)2的自由面速度剖面特征確定VG模型參數(shù): 層裂片的厚度近似為飛片厚度, 即 3 mm, 自由面速度曲線速度差 ?u=134.2 m/s、曲線斜率由(3)式計(jì)算得到層裂強(qiáng)度pspall= 5.18 GPa, 再根據(jù) (8)式、(10)式和 (12)式計(jì)算得到:α0= 1.00676;η= 37.23 Pa·s;αs= 0.8506 GPa. 這里可以看出:高強(qiáng)度延性金屬鉭的初始孔隙度α0遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于銅的初始孔隙度, 這與原文提到的初始孔隙度的概念相悖, 從而說明了初始孔隙度應(yīng)定義為VG損傷模型應(yīng)用時(shí)的參考初始孔隙度.

圖 4 不同飛片撞擊速度的自由面速度曲線Fig. 4. Simulated free surface velocity profiles with varied impact velocities.

圖 5 不同飛片厚度的自由面速度曲線Fig. 5. Simulated free surface velocity profiles with varied flyer thickness.

采用VG模型和本文給出的參數(shù), 圖4給出的是不同撞擊速度加載條件下層裂實(shí)驗(yàn)1—實(shí)驗(yàn)3的自由面速度觀測結(jié)果和計(jì)算模擬結(jié)果, 圖5給出的是不同飛片厚度在相近撞擊速度加載條件下層裂實(shí)驗(yàn)5、實(shí)驗(yàn)2和實(shí)驗(yàn)4的自由面速度觀測結(jié)果和計(jì)算模擬結(jié)果. 采用相同參數(shù)對(duì)不同實(shí)驗(yàn)?zāi)M對(duì)比發(fā)現(xiàn): 首先, 對(duì)于速度曲線回跳后上升的斜率,模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相差較大, 這可能是VG損傷模型本身沒有考慮慣性影響的原因[22]; 其次, 對(duì)于層裂損傷分析所關(guān)注的自由面速度回跳點(diǎn)、回跳后曲線上升的幅值以及回跳后曲線的振蕩周期 ?t,模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果均符合較好, 從而驗(yàn)證了參數(shù)確定方法的適用性; 最后, 因可以較好模擬不同加載強(qiáng)度和加載應(yīng)變率實(shí)驗(yàn)結(jié)果, 也說明本文給出的參數(shù)確定方法可以較好地適用于飛片撞擊加載的層裂損傷問題研究.

采用本文給出的參數(shù)確定方法, 通過對(duì)不同材料、不同加載環(huán)境下層裂損傷實(shí)驗(yàn)結(jié)果的有效模擬, 一方面驗(yàn)證了(10)式所給出的假設(shè)條件具有一定的合理性, 另一方面也驗(yàn)證了模型參數(shù)確定方法的適用性, 從而完善了VG損傷模型、擴(kuò)展了模型本身的適用范圍.

4 結(jié) 語

本文進(jìn)一步解析了層裂實(shí)驗(yàn)自由面速度曲線的變化特征與材料內(nèi)部損傷演化之間的相互關(guān)聯(lián),并基于自由面速度曲線實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果, 經(jīng)過理論推導(dǎo), 給出了VG層裂損傷模型參數(shù)的理論標(biāo)定方法, 相關(guān)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的有效模擬驗(yàn)證了方法的適用性, 進(jìn)而提高了計(jì)算結(jié)果的可信度. 同時(shí), 本文所采用的技術(shù)路線不僅為其他損傷模型參數(shù)的確定提供參考, 也有利于層裂損傷模型的進(jìn)一步完善和發(fā)展.