王冬陽，吳俊杰，劉英文，楊學軍

(國防科技大學計算機學院，湖南 長沙 410073)

1 引言

量子計算[1]是高性能計算的前沿研究方向。相對于經(jīng)典計算與經(jīng)典比特，量子計算以量子比特為基本單位；實驗上，常將量子比特編碼在某一物理體系上，通過對該物理體系狀態(tài)的操控，完成計算過程。量子計算因其超強的計算能力，在許多科研領(lǐng)域有著顯著的應(yīng)用，如大數(shù)質(zhì)因子分解[2 - 4]、線性方程組算法[5,6]和量子機器學習[7,8]等。但是，由于實驗技術(shù)的限制，目前量子計算的物理實現(xiàn)仍處于初級階段，核心原因是受限于可操控的量子比特的數(shù)目。

光量子計算是研究量子計算的一條重要途徑。目前實現(xiàn)量子計算的物理體系包括光子[9,10]、離子阱[11]、超導[12]、原子[13]、量子電動力學腔[14]和核磁共振[15]等，而光量子計算以光子來實現(xiàn)量子比特的編碼，通過光學元器件來操控并測量量子比特的狀態(tài)，從而實現(xiàn)量子計算的過程。相對于其它的物理系統(tǒng)，光量子系統(tǒng)的優(yōu)勢在于可以快速地傳播，相干時間長，性質(zhì)穩(wěn)定，不易受外界干擾，并且操控十分方便，因此是量子計算研究中的一個重要方向。

一套完整的光量子計算裝置分為糾纏光子源(光量子比特)的制備、操控和探測3個部分。糾纏光子源是光量子計算研究中最重要的方面，所產(chǎn)生的光量子比特的性能直接影響了光量子計算裝置的計算能力與效果。此外，通過光子與其它微觀粒子的相互作用，可以實現(xiàn)混合物理體系的量子計算。因此，糾纏光子源的制備對于光量子計算和量子計算具有重要的意義。

光量子比特用來編碼的狀態(tài)種類包括偏振、路徑、頻率、動量和時間等，而偏振是用來編碼光量子比特的一個主要自由度。目前偏振編碼的糾纏雙光子源主要以Kwiat等人[16,17]于1995年和1999年提出的自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換過程SPDC(Spontaneous Parametric Down Conversion)的方法為主。而糾纏多光子的產(chǎn)生以若干對糾纏雙光子為基礎(chǔ)，通過干涉的方式將其糾纏在一起而實現(xiàn)[18 - 22]。糾纏雙光子的質(zhì)量直接決定了糾纏多光子的質(zhì)量。

衡量糾纏光子源的2個關(guān)鍵指標是純度和亮度，前者描述了所產(chǎn)生光子的糾纏質(zhì)量，而后者描述了其產(chǎn)生效率。影響純度的一個因素是退相干現(xiàn)象，指的是所產(chǎn)生光子的各個疊加部分不再具有干涉的效果，從而使得各個部分的相干疊加性被破壞，影響糾纏性質(zhì)。實驗中與退相干相關(guān)的一個指標是純度，退相干越嚴重，純度越低。當退相干達到一定程度時，所產(chǎn)生的光子之間的糾纏作用就會被破壞。亮度反映的是最終接收到的糾纏光子的強度，如果所收集到的糾纏光子的亮度過低，將不利于光子的長距離、長時間操控。

如何提高純度和亮度一直是糾纏光子源研究的一個重點和難點，代表工作包括通過空間補償[23]和時間補償[24]來提高純度，以及通過研究晶體厚度與產(chǎn)率的關(guān)系，得到雙光子亮度的最優(yōu)解[25]。此外，糾纏光子的數(shù)目也在不斷提高，已經(jīng)達到了12光子糾纏的水平[22]。

但是，目前缺少關(guān)于糾纏光源完整的性能分析和理論模型，本文系統(tǒng)分析了基于I型SPDC的多光子糾纏光源的性能模型，設(shè)計實現(xiàn)了基于I型自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換的糾纏雙光子源，為光量子計算的研究提供了理論和實驗指導。具體貢獻為：(1)研究糾纏雙光子的純度模型，得到提高純度的方法；(2)研究糾纏雙光子的亮度模型，得到提高亮度的合理聚焦參數(shù)；(3)研究糾纏多光子的產(chǎn)生模型，得到產(chǎn)生糾纏多光子需要滿足的條件；(4)根據(jù)上述理論分析，在實驗上產(chǎn)生了高純度、高亮度的糾纏雙光子。

本文結(jié)構(gòu)如下所示：第2節(jié)簡述利用I型SPDC過程產(chǎn)生糾纏光子的原理；第3節(jié)理論分析影響糾纏光子純度和亮度的因素，以及從糾纏雙光子到糾纏多光子的干涉過程；第4節(jié)利用第3節(jié)的理論分析，通過實驗產(chǎn)生了高品質(zhì)的糾纏雙光子；第5節(jié)對工作進行總結(jié)與展望。

2 糾纏光子源的原理與結(jié)構(gòu)

根據(jù)量子光學理論，通常激光器輸出的光處于相干態(tài)，而用于光量子計算的光子源需要輸出近似確定數(shù)目的粒子數(shù)量子態(tài)。SPDC過程是實現(xiàn)這2種量子態(tài)轉(zhuǎn)換的重要方法。本節(jié)將介紹利用I型SPDC過程產(chǎn)生糾纏雙光子與多光子的原理，以及衡量糾纏源質(zhì)量的2個指標——純度和亮度。

圖1是利用I型SPDC過程產(chǎn)生偏振糾纏雙光子的過程。當一束處于水平和垂直偏振的疊加態(tài)的激光(稱為泵浦光)入射到2塊特殊設(shè)計的非線性晶體上時，水平偏振的泵浦光會在第1塊晶體上發(fā)生SPDC過程，產(chǎn)生垂直偏振的光子對，而垂直偏振的泵浦光會在第2塊晶體上產(chǎn)生水平偏振的光子對。當泵浦光處于水平和垂直偏振的疊加態(tài)時，所產(chǎn)生的光子對為2個同時垂直與同時水平的疊加態(tài)，當這2種情況無法區(qū)分時，就形成了偏振糾纏。目前實驗中主要采用偏硼酸鋇(BBO)作為非線性晶體。

Figure 1 Generating two entangled photons using type-I SPDC process. A pump photon is converted into a pair of daughter photons at the center of the crystal, which form a circle spatially, |H〉 and |V〉 represent states of horizontal and vertical polarizations 圖1 利用I型SPDC過程產(chǎn)生糾纏雙光子泵浦光會在晶體處發(fā)生轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生一對轉(zhuǎn)換光子，而轉(zhuǎn)換光子在空間中的分布為一個圓環(huán)。|H〉和|V〉分別代表水平和垂直偏振狀態(tài)

SPDC過程的發(fā)生需要滿足的2個條件就是動量守恒(不需要嚴格守恒)和能量守恒。假設(shè)泵浦光子的頻率和動量分別為ωp和kp,2個轉(zhuǎn)換光子的頻率為ωi、ki以及ωs、ks，那么能量守恒要求為：

ωp=ωi+ωs

(1)

定義動量差Δk=kp-ki-ks，根據(jù)非線性光學的理論，所產(chǎn)生的雙光子的強度正比于sinc2(ΔkL)，其中L是晶體對應(yīng)的厚度，sinc(x)≡sin(x)/x。當Δk=0時，所產(chǎn)生的雙光子的強度最大。

由于2種下轉(zhuǎn)換的過程發(fā)生在2個晶體中，因此|HH〉和|VV〉 2種情況在時間上存在一定的可區(qū)分性，這會使得兩者不再是量子疊加的狀態(tài)，而是處于部分的經(jīng)典混合。純度p定義為兩者處于量子疊加的比例，p=1對應(yīng)著完全的量子疊加，p=0對應(yīng)著完全的經(jīng)典混合。只有量子疊加的部分會存在糾纏性質(zhì)，因此純度p直接決定了糾纏的強弱。第3.1節(jié)將從理論上分析影響純度p的因素，以及如何提高純度p。

糾纏光子源的亮度指的是在單位時間內(nèi)、單位泵浦光的功率下最終收集到的糾纏光子的數(shù)目，和泵浦光的聚焦參數(shù)有關(guān)。在實驗中，為了提高SPDC的轉(zhuǎn)化效率，需要利用透鏡將泵浦光聚焦在晶體處，以達到集中能量的目的。如果聚焦的束腰過小，會使得轉(zhuǎn)換光在遠處的空間發(fā)散過快，不利于遠距離收集；而如果聚焦的束腰過大，會導致泵浦光在晶體處的能量發(fā)散，使得光子的轉(zhuǎn)換效率過低。3.2節(jié)將理論分析泵浦光束腰大小和最終亮度的關(guān)系，以及如何得到最優(yōu)的亮度值。

糾纏多光子的產(chǎn)生，以糾纏雙光子為基礎(chǔ)，通過干涉過程完成，如圖2所示。圖中的PBS為偏振分束器，偏振分束器會反射垂直偏振的光子，透射水平偏振的光子。當2對糾纏雙光子各取出一個輸入到偏振分束器上后，并在2個輸出端各探測到1個光子時，2個光子要么同時被透射(都處于水平偏振)，要么同時被反射(都處于垂直偏振)。而此時這4個光子的狀態(tài)要么同時處于水平偏振，要么同時處于垂直偏振，當滿足一定條件使得這2種情況無法區(qū)分時，這4個光子就形成了偏振糾纏。對于更多光子數(shù)的糾纏原理也是類似的。

Figure 2 Generating four entangled photons using the interference of two pairs of entangled photons圖2 利用干涉過程由2對糾纏雙光子產(chǎn)生糾纏4光子

由于動量守恒和能量守恒，SPDC過程所產(chǎn)生的雙光子在頻率和動量上都是高度關(guān)聯(lián)的，而這樣的關(guān)聯(lián)會破壞上述2種情況的不可區(qū)分性。3.3節(jié)將理論分析影響這種不可區(qū)分性的因素，得出產(chǎn)生多光子糾纏的條件。

3 糾纏光子源的性能模型

3.1 糾纏雙光子的純度模型

影響糾纏雙光子純度的因素主要包括時間可區(qū)分性和空間可區(qū)分性。目前大部分實驗采用單模光纖收集光子，所以時間可區(qū)分性為主要因素。

本節(jié)將通過計算產(chǎn)生的|H〉|H〉和|V〉|V〉 2部分對應(yīng)的波函數(shù)和時間的依賴關(guān)系，得到時間可區(qū)分性對于糾纏雙光子純度的影響。由于 2部分對應(yīng)的均為I型SPDC過程(泵浦光為e光，2個轉(zhuǎn)換光子為o光)，因此本文只計算第1塊晶體產(chǎn)生光子的波函數(shù)。

根據(jù)非線性光學的理論，所產(chǎn)生的雙光子波函數(shù)為:

fp(ωp)fs(ωs)fi(ωi)e-i(ωsτs+ωiτi)

(2)

其中,τ是轉(zhuǎn)換光子從產(chǎn)生到被探測到的時間，f(ω)是泵浦光的頻率包絡(luò)函數(shù)和濾波片的濾波函數(shù)，下標p,s和i分別代表泵浦光和2個轉(zhuǎn)換光子的函數(shù)(后面的下標含義相同)，Δk和L分別是之前定義的動量之差(這里只考慮傳播方向上的動量，而默認橫向的動量之差為0，此時動量可以看成是標量)和晶體的厚度。

為了計算波函數(shù)，需要計算各個動量以及Δk與頻率的關(guān)系。假設(shè)泵浦光和轉(zhuǎn)換光子的頻率分別為ωp=Ωp+υp，ωs/i=Ωp/2+υs/i，而由能量守恒:

υp=υs+υi

(3)

根據(jù)動量和頻率的關(guān)系，將各個動量值在各自的中心頻率處進行泰勒展開，然后得到:

(4)

(5)

其中,σ是濾波片的帶寬，σp是泵浦光的帶寬，D+和D″分別為群速度色散和群速度失配項,υ-≡υs-υi。第2塊晶體產(chǎn)生的雙光子的波函數(shù)為Ψ(τ++Δτ,τ-)，Δτ為收集到的|HH〉和|VV〉光子的時間差。

結(jié)合一套具體實驗的參數(shù)，泵浦光和轉(zhuǎn)換光子的中心波長分別為405 nm和810 nm，非線性晶體選BBO晶體，DL值設(shè)為400 fs，本文做出了不同的σp以及σ下的雙光子波函數(shù)的圖像，如圖3所示。

Figure 3 Calculated two-photon wavefunction Ψ(τ+,τ-) with different bandwiths of the filters and pump lights圖3 計算出的雙光子波函數(shù)Ψ(τ+,τ-)在不同濾波片帶寬以及泵浦光時間帶寬的情況

圖3中橫坐標為τ-，縱坐標為τ+，單位為fs。從圖3中可以看出,I型SPDC過程產(chǎn)生的雙光子在τ-方向是對稱的，但是一般情況下，在τ+方向上是不對稱的，這與II型過程產(chǎn)生的光子是相反的。而Ψ(τ++Δτ,τ-)的波函數(shù)圖像對應(yīng)于圖中Ψ(τ+,τ-)的波函數(shù)在縱軸上平移Δτ。對于圖3a，在沒有濾波且泵浦光時間帶寬較窄時,|VV〉和|HH〉重疊區(qū)域較少，即可區(qū)分性很大，這導致純度很低；當泵浦光的時間帶寬為3 ps時，對于圖3b，此時泵浦光接近于在時間上連續(xù)的激光，此時2種波函數(shù)完全重疊，純度較高；對于時間帶寬較窄的泵浦光，對于圖3c和圖3d，當濾波的帶寬變窄時，2種波函數(shù)重疊區(qū)域增加，純度提高。

因此，基于糾纏雙光子的純度模型，本文得出以下結(jié)論：如果想要在實驗中得到純度較高的雙光子，需要使用連續(xù)激光作為泵浦光，或者使用脈沖激光配合窄帶濾波片使用。此外，對于飛秒激光器，當Δτ值過大時，還需要利用補償?shù)姆椒p小Δτ的值，提高2種波函數(shù)的重疊區(qū)域，從而提高純度。

3.2 糾纏雙光子的亮度模型

影響糾纏雙光子亮度的因素包括晶體材料、模式匹配、泵浦光性質(zhì)和元器件損耗等，而當實驗器材固定時，泵浦光和轉(zhuǎn)換光子的模式和收集模式的匹配是最重要的因素。

本節(jié)將計算雙光子波函數(shù)和泵浦光束腰大小Wp以及收集轉(zhuǎn)換光子所對應(yīng)傳播模式的束腰大小Wf的關(guān)系，得到使雙光子亮度達到最大的Wp的最優(yōu)值。

為了同時考慮泵浦光子和轉(zhuǎn)換光子的空間高斯分布，根據(jù)相互作用繪景下的一階微擾理論，將SPDC過程的雙光子態(tài)表示為:

(6)

其中,i是虛數(shù)單位，?是約化普朗克常數(shù)，t表示時間，HI是系統(tǒng)的相互作用哈密頓量，可以表示為:

(7)

為了便于計算，本文選取了圖4的坐標系[25]，其中包括泵浦光和2個轉(zhuǎn)換共3個坐標系，考慮泵浦光為單色，并且因為最終用單模光纖收集轉(zhuǎn)換光子，本文忽略轉(zhuǎn)換光子電場的橫向動量分布，只考慮其頻率對于縱向動量的影響。

Figure 4 Coordinate system in SPDC process圖4 SPDC過程對應(yīng)的坐標系

在這樣的近似下，各個電場的部分表示為:

(8)

(9)

利用這樣的坐標變換關(guān)系，本文得到了最終的哈密頓量:

(10)

其中被積函數(shù)表示為:

i(kpz-(ks+ki) cosθz))

(11)

其中，函數(shù)的實部表示真實的物理量，后文類似。

利用和3.1節(jié)一樣的泰勒展開，經(jīng)過計算得到Iz的具體形式和系統(tǒng)的波函數(shù)|Ψ〉。系統(tǒng)最終的雙光子產(chǎn)率可以估計為:

R=〈Ψ|Ψ〉∝γ2(2γ2+1)-2

(12)

Figure 5 Variation of two photons’ generation rate with γ圖5 雙光子產(chǎn)率隨著γ的變化

3.3 糾纏多光子的產(chǎn)生模型

目前糾纏多光子主要是通過來自不同的糾纏光子對的光子之間的干涉[26]產(chǎn)生的。本節(jié)從來自2個光子對的雙光子HOM(Hong Ou Mandel)干涉[27]出發(fā)，指出通過干涉的方式得到多光子糾纏所需要滿足的條件。

HOM干涉是一個著名的雙光子干涉實驗?？紤]2個光子分別入射到同一個分束器的2側(cè)，它們都有一半的幾率被反射，一半的幾率被透射。而當2個光子完全不可區(qū)分時，它們要么同時被反射，要么同時被透射，也就是說無法在2個探測器同時接收到光子。

圖6是來自2個光子對的雙光子HOM干涉裝置，其中BS是光束分束器。相比于普通的HOM干涉，其發(fā)生干涉的2光子來自2個SPDC過程產(chǎn)生的光子，此時由于發(fā)生干涉的2光子(記為i光子)的可區(qū)分性有可能被對應(yīng)的s光子泄露，因此需要更為嚴格的限定條件。

Figure 6 HOM interference of two photons from different pairs圖6 來自2個光子對的雙光子HOM干涉

計算方法是類似的。本文首先考慮在4個探測器端的電場和轉(zhuǎn)換得到的4光子對應(yīng)的電場之間的關(guān)系：

(13)

其中，T和R分別代表透射率和反射率，對于一個對稱的分束器，取值均為0.5。τ代表2個s光子從產(chǎn)生到被探測的時間，δτ代表干涉的2個i光子到達分束器的時間差，下標對應(yīng)的光子參照圖6。

通過電場可以計算出對應(yīng)的4光子波函數(shù)，不失一般性，本文取脈沖型泵浦光、完美相位匹配，以及高斯型濾波片，暫時忽略泵浦光的橫向分布，進而得到4光子符合的概率為:

e-i(vi2,vi1)δτf(vs1,vi2)f(vs2,vi1)|2dvs1dvi1dvs2dvi2

(14)

其中本文取轉(zhuǎn)換光子的頻率為:

ωs=ω0+vs,

ωi=ω0+vi

(15)

對應(yīng)的聯(lián)合譜分布函數(shù)為高斯型泵浦光的譜包絡(luò)函數(shù)和濾波片的濾波函數(shù)的乘積。上述積分區(qū)域應(yīng)該是符合計數(shù)的時間窗口，若時間窗口遠遠大于光子的相干時間，積分區(qū)域可以近似為無窮。

通過計算上述積分值，本文得到最終的4光子符合概率為:

(16)

當時間差δτ=0時，符合概率值達到最小，也對應(yīng)于發(fā)生干涉的2光子的可區(qū)分性最弱。當采取濾波的帶寬σf遠遠小于泵浦光的帶寬σp時，

(17)

即2光子接近于不可區(qū)分的狀態(tài)。此時對應(yīng)于產(chǎn)生光子的相干時間遠遠大于脈沖泵浦光的脈沖持續(xù)時間。

當σp=0時，對應(yīng)于單頻連續(xù)激光器的情況，此時完全沒有對比度。所以，只能取時間窗口遠遠小于單光子的相干時間，在這樣的情況下，之前的4重積分限不能取為無窮，因此可以利用積分中心的函數(shù)值來計算，從而得到:

(18)

同樣可以達到不可區(qū)分的效果。

本文以此為基礎(chǔ)，進一步分析目前利用干涉方式由糾纏雙光子產(chǎn)生糾纏4光子的實驗裝置，計算過程是一樣的，只是要將偏振的自由度考慮進去。假設(shè)在偏振檢驗中，每一個探測器端口前放置的偏振片的設(shè)置為cosθ|H〉+sinθ|V〉，對應(yīng)于之前分析的可區(qū)分和不可區(qū)分2種情況下，4光子的符合概率P(0)分別對應(yīng)著4光子糾纏態(tài)的純度為1以及為0 2種情況。

因此，基于糾纏多光子的產(chǎn)生模型，本文得出以下結(jié)論：如果想要利用干涉的方式由糾纏雙光子得到糾纏多光子，就需要滿足達到此種類型的HOM干涉的條件。對于連續(xù)泵浦光，條件是光子相干時間大于時間窗口；對于脈沖泵浦光，條件是光子相干時間大于脈沖的持續(xù)時間，而放寬對于時間窗口的要求。

4 I型SPDC糾纏雙光子源實驗

結(jié)合之前的理論計算，本文在實驗中利用連續(xù)激光器產(chǎn)生了高純度的糾纏雙光子[28]，并且測量了雙光子的亮度和泵浦光聚焦的束腰大小之間的關(guān)系。

4.1 實驗裝置

圖7為糾纏雙光子產(chǎn)生裝置,其中，LP是長通濾波片，IF是帶通濾波片，Pol是偏振片，APD是雪崩光電二極管探測器。基于之前的理論分析，本文設(shè)計了如圖7所示的糾纏雙光子實驗裝置圖。本文采用連續(xù)激光器作為泵浦光，波長為405 nm，功率為80 mw；使用的非線性晶體為2塊粘合的BBO晶體，厚度各為0.6 mm。由于此款激光器的泵浦光頻率帶寬較窄，因此本文采取的濾波裝置為中心波長為810 nm，半高全寬為10 nm的濾波片。根據(jù)3.1節(jié)的理論計算，這種實驗參數(shù)可以消除|HH〉和|VV〉的可區(qū)分性，達到較高的純度。

Figure 7 Experiment setup of generating two entangled photons圖7 糾纏雙光子產(chǎn)生裝置

本文采用透鏡對泵浦光進行聚焦。產(chǎn)生的光子先由偏振片進行偏振檢驗，然后由光纖耦合器耦合進光纖，再由雪崩光電二極管探測器將光信號轉(zhuǎn)換成電信號，最后由符合計數(shù)系統(tǒng)[29]對電信號進行探測。為了減少光子的損耗，本文實驗中的相應(yīng)鏡片都做了相應(yīng)波長的增透鍍膜。在晶體之前，需要對泵浦光的偏振態(tài)進行初始化。根據(jù)相關(guān)理論，由2個四分之一波片和半波片組成的三明治結(jié)構(gòu)，可以制備光子的任意偏振態(tài)[30]。

實驗通過2個光子的偏振關(guān)聯(lián)來檢驗所產(chǎn)生的雙光子的純度。根據(jù)量子力學的理論，假設(shè)所產(chǎn)生的雙光子的純度，即|HH〉和|VV〉量子疊加的比例為p，那么當固定一個探測端口前偏振片的角度為45°偏振，然后觀察2光子計數(shù)隨著另一個探測端口前的偏振片角度的變化，所獲得曲線的對比度也為p。

4.2 實驗結(jié)果與分析

Figure 8 Measured correlation curve of the two photons’ polarizations圖8 測得的雙光子的偏振關(guān)聯(lián)曲線

Figure 9 Measured variation of the two photons’ count with the waist of the pump light圖9 測得的雙光子計數(shù)隨著泵浦光束腰大小變化

5 結(jié)束語

光量子計算是實現(xiàn)量子計算的一個重要途徑，而在光量子計算中，糾纏多光子的產(chǎn)生是難度最大，也是最關(guān)鍵的一部分。本文研究了由SPDC過程產(chǎn)生糾纏光子的理論模型，得出以下結(jié)論：(1)為了得到高純度的糾纏光子，需要使用連續(xù)泵浦光，或者利用飛秒泵浦光配合窄帶濾波片使用。此外，對于飛秒泵浦光來說，當2塊晶體對應(yīng)的時間差過大時，還需要利用時間補償晶體縮減時間差，進而提高純度。(2)為了得到高亮度的糾纏光子，需要將泵浦光的束腰和收集模式相匹配。(3)為了利用糾纏雙光子得到糾纏多光子，對于連續(xù)泵浦光需要使光子相干時間大于時間窗口；對于脈沖泵浦光，需要使光子相干時間大于脈沖的持續(xù)時間。

基于理論分析，本文通過實驗產(chǎn)生了純度為97.25%的糾纏雙光子，同時測量了雙光子亮度與泵浦光束腰大小的關(guān)系，結(jié)果符合理論分析的結(jié)果。由于受到實驗條件的限制，針對第3.3節(jié)理論研究的干涉與多光子糾纏的內(nèi)容，本文沒有進行實驗驗證，這一點將在后續(xù)研究中完成。