車兵輝，尹欣繁，彭先敏，章貴川

(中國空氣動力研究與發(fā)展中心，四川 綿陽 621000)

0 引言

天平是用于風(fēng)洞試驗中的具有多分量的力傳感器，在使用之前必須對其進(jìn)行校準(zhǔn)和標(biāo)定，獲取其計算公式。天平的靜校是在實驗室內(nèi)模擬天平使用時的受力狀態(tài)，通過在各分量上單獨加載或組合加載不同的載荷，獲取天平的對應(yīng)輸出電壓值，然后通過插值擬合、解方程等方法獲取輸入和輸出量之間的對應(yīng)函數(shù)。目前普遍采用線性插值擬合的方法獲取天平公式[1]，然而多分量天平各分量之間存在干擾，在擬合公式是要考慮干擾項，通常二次干擾和組合干擾會出現(xiàn)非線性特性，采用線性擬合方法會產(chǎn)生較大誤差。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有很強(qiáng)的非線性映射和泛化功能，能夠較好地描述非線性系統(tǒng)和不確定系統(tǒng)。目前神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在多領(lǐng)域獲得了極其廣泛的應(yīng)用，尤其是BP網(wǎng)絡(luò)，即反向傳播網(wǎng)絡(luò)，使用最為廣泛。BP網(wǎng)絡(luò)是利用非線性可微分函數(shù)進(jìn)行權(quán)值訓(xùn)練的多層網(wǎng)絡(luò)，在函數(shù)逼近、多維插值、模式識別等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[2]。在系統(tǒng)辨識、傳感器非線性修正、傳感器校準(zhǔn)等方面也有廣泛應(yīng)用。多分量天平是一個典型的多變量傳感器，輸入輸出關(guān)系是一個典型的多輸入多輸出系統(tǒng)，因此本文針對多分量天平的特點，采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對多分量天平公式擬合方法進(jìn)行研究，通過算例驗證此方法的應(yīng)用效果。

1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

1.1 BP網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

BP網(wǎng)絡(luò)(Back-Propagation Network)又稱反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，是一種多層的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，他是一種具有3層或3層以上的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，由輸入層、中間層、輸出層組成，中間層可以是1個也可以是多個，典型的3層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1所示，信號從輸入層進(jìn)入順序經(jīng)過中間層節(jié)點處理，最后傳到輸出節(jié)點，同一層內(nèi)節(jié)點互不相連，且每一層節(jié)點都與相鄰層所有節(jié)點相連，因此每一層節(jié)點只對下一層節(jié)點產(chǎn)生影響[3-6]。其主要的特點是：信號是前向傳播的，而誤差是反向傳播的。

圖1 典型的3層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

BP網(wǎng)絡(luò)采用的傳遞函數(shù)是非線性變換函數(shù)——Sigmoid函數(shù)(又稱S函數(shù))，即：

(1)

式中，xi為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中第i個輸入，wij為前一層節(jié)點i至該層節(jié)點j之間的權(quán)值，輸出層傳遞函數(shù)為線性傳遞函數(shù)。

由于BP網(wǎng)絡(luò)采用誤差梯度最快下降法，在計算誤差梯度時需要對傳遞函數(shù)求偏導(dǎo)，S函數(shù)本身及其導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的，因而在處理上十分方便。

1.2 BP網(wǎng)絡(luò)算法原理

BP網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)算法的基本原理是梯度最速下降法，他的主要思想是調(diào)整網(wǎng)絡(luò)連接權(quán)值,使網(wǎng)絡(luò)總誤差最小，也就是采用梯度搜索原理，尋找合適的連接權(quán)值，使網(wǎng)絡(luò)的實際輸出值與期望輸出至誤差均方差最小。網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過程是一種誤差不斷向后傳播不斷修正權(quán)系數(shù)的過程。這種學(xué)習(xí)過程以一種訓(xùn)練過程，是網(wǎng)絡(luò)各神經(jīng)元連接方式、連接權(quán)值和閾值的調(diào)整尋優(yōu)過程，更是參數(shù)辨識過程。學(xué)習(xí)的方法是使誤差達(dá)到設(shè)定值，從而獲得輸入輸出數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。

BP網(wǎng)絡(luò)所有的連接權(quán)值和閾值都可以通過學(xué)習(xí)調(diào)節(jié)。多層網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)過程包含正向和反向傳播兩個階段，第一階段是信號的前向傳播，輸入信息從輸入層經(jīng)過中間層逐層處理，并傳到輸出層，每層神經(jīng)元的輸出只影響下一層神經(jīng)元的狀態(tài)。如果輸出層不能得到期望輸出，則進(jìn)入第二階段反向傳播，誤差信號從輸出層到中間層，最后到輸入層，依次調(diào)節(jié)中間層到輸出層的權(quán)重和閾值，輸入層到中間層的權(quán)重和閾值。重復(fù)以上兩個階段，直到系統(tǒng)整體誤差最小。

根據(jù)以上分析，多層BP網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的具體過程和步驟如下：

1)初始化參數(shù)，給權(quán)值和閥值賦予(0,1)區(qū)間的隨機(jī)數(shù)。

2)選取一組輸入和目標(biāo)樣本。

3)用輸入樣本、權(quán)值、閥值逐層計算輸出值，并與期望目標(biāo)比較，當(dāng)誤差滿足時結(jié)束，否則進(jìn)行下一步。

4)根據(jù)誤差修正權(quán)值和閥值，公式如下：

(2)

其中：v為中間層至輸出層連接權(quán)值，w為輸入層至中間層的連接權(quán)值，γ和θ分別是輸出層閥值和中間層閥值，d為輸出層各節(jié)點誤差，b為中間層節(jié)點輸出，e為中間層各節(jié)點誤差，x為輸入層節(jié)點輸入，λ和β為學(xué)習(xí)參數(shù)，取之范圍為(0,1)區(qū)間。

5)返回步驟2)重復(fù)，直到所有樣本學(xué)習(xí)完為止。

網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練完成后可以獲得v，w，γ，θ參數(shù)的值，則網(wǎng)絡(luò)可表示為：

(3)

式中,N為中間層節(jié)點數(shù)，F(xiàn)i(i=1，…，6)為輸出信號，g為輸出層節(jié)點傳遞函數(shù)，f為中間層節(jié)點傳遞函數(shù)，Sm(m=1，…，6)為輸入信號。根據(jù)上式即可計算出給定輸入值對應(yīng)的輸出值。

2 天平校準(zhǔn)數(shù)據(jù)處理方法

2.1 多項式擬合方法

天平的靜校是在實驗室內(nèi)模擬天平使用時的受力狀態(tài)，對天平施加靜態(tài)載荷，通過靜校求出天平使用公式、精度和準(zhǔn)度[7]。

天平加載得到一組施加載荷和相應(yīng)的電壓值輸出，設(shè)Fi(i=1，…，6表示6個分量)為加載的載荷，Si(i=1，…，6表示6個分量)為輸出電壓值，則天平公式可表示為：

(4)

式中,ai，bi，…，fi(i=1…27)分別為Fi(i=1…6)分量的27個校準(zhǔn)參數(shù)。以上關(guān)系建立在參數(shù)ai，bi，…，fi(i=1…27)為線性條件下，加載載荷Fi和電壓輸出值Si(i=1…6)為已知量，參數(shù)ai，bi，…，fi通過曲線擬合獲得[8-9]。

將上式簡寫為：

[F]=[K][S]

(5)

則系數(shù)矩陣[K]可表示為：

[K]=[[S]T[S]]-1[S]T[F]

(6)

根據(jù)上式可計算出天平公式中的系數(shù)矩陣，從而獲得天平計算公式。

以上分析是建立在系數(shù)矩陣為線性的，如果系數(shù)矩陣具有非線性特性，通過上述方法擬合出的計算公式會有較大的誤差。

2.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合方法

天平校準(zhǔn)是根據(jù)加載已知載荷作為天平系統(tǒng)的輸入，獲得的各分量應(yīng)變計輸出電壓為輸出。天平系統(tǒng)模型是載荷到電壓值之間的映射關(guān)系，然而在使用時天平所加載的載荷是未知數(shù)，可獲取的是各分量應(yīng)變計電壓值，需要根據(jù)電壓值求取載荷值，因此需要獲取電壓值到載荷值之間的映射關(guān)系，是天平系統(tǒng)模型的反函數(shù)，天平公式的擬合就是求取天平系統(tǒng)模型的反函數(shù)，圖2給出了天平公式擬合原理。

圖2 天平公式擬合原理

根據(jù)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有極強(qiáng)的輸入-輸出非線性映射能力的特點，以天平校準(zhǔn)獲得的各分量應(yīng)變計輸出電壓值數(shù)據(jù)集Si(i=1…6)為輸入樣本，對應(yīng)的加載載荷Fi(i=1…6)為輸出樣本，對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，逐層計算輸出，并與目標(biāo)值比較，獲取誤差e，根據(jù)誤差修正各層權(quán)重矩陣，使得擬合誤差滿足要求，完成訓(xùn)練過程，得到各層的連接權(quán)重矩陣。在使用時，根據(jù)獲得的天平各分量的電壓值，采用式(3)即可計算出對應(yīng)的載荷值。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中間層節(jié)點數(shù)可自由設(shè)定，研究表明一個三層網(wǎng)絡(luò)可實現(xiàn)以任意精度近似任何連續(xù)函數(shù)。因此采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為天平公式模型是可行的。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練時加載輸入端的數(shù)據(jù)太大，會使參數(shù)收斂速度慢。此外，由于在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中采用S型函數(shù)，輸出范圍為[0，1]，因此在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練前對數(shù)據(jù)進(jìn)行變換，使其在區(qū)間[0，1]，變換公式如下：

(7)

式中,xi為輸入或輸出數(shù)據(jù)，xmin為數(shù)據(jù)樣本中的最小值，xmax為數(shù)據(jù)樣本中的最大值。

建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)天平公式模型的步驟如下:

1)獲取天平校準(zhǔn)原始數(shù)據(jù)。表1給出了天平校準(zhǔn)時的部分加載載荷數(shù)據(jù)(各分量的最大、最小值和零載荷)，每個分量的加載載荷在量程范圍內(nèi)等間隔選取，六各分量共計81個樣本，表2給出了對應(yīng)的天平輸出電壓值。

表1 部分典型加載載荷 kg、kg·m

2)由式(7)將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化，得到訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入輸出樣本。

3)確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入輸出端數(shù)量、各層節(jié)點輸、λ和β的值。網(wǎng)絡(luò)輸入端數(shù)量與輸入層節(jié)點數(shù)量相同，輸出端數(shù)量與輸出層節(jié)點數(shù)相同，均等于天平的份量個數(shù)(一般為6)。中間層節(jié)點數(shù)根據(jù)擬合精度確定，精度要求高時，取較大值，反之亦然。中間層數(shù)量、λ和β的值的確定需要結(jié)合精度要求、訓(xùn)練效果等確定。根據(jù)所確定的輸入輸出數(shù)量建立的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

4)將訓(xùn)練樣本輸入構(gòu)建好的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，直到達(dá)到要求的精度為止，保存獲得的連接權(quán)重和閾值。

5)將獲得的連接權(quán)重和閾值帶入式(3)即可獲得天平載荷計算公式。

3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法實現(xiàn)及應(yīng)用

采用c語言實現(xiàn)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練，將訓(xùn)練樣本讀入程序，實現(xiàn)自動學(xué)習(xí)，并保存訓(xùn)練后的結(jié)果。

3.1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法實現(xiàn)

根據(jù)第1節(jié)中描述的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練步驟編寫程序，圖3給出了軟件實現(xiàn)的流程圖。

首先建立網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)并初始化變量，網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如下：

typedef struct BPNet{

int LayerNum;//中間層數(shù)量

double **v;//中間層權(quán)矩陣

double **w;//輸出層權(quán)矩陣

double StudyRate;//學(xué)習(xí)率

double *bi;//中間層閥值

double *bo;//輸出層閥值

double Accuracy;//精度控制參數(shù)

int MaxLoop;//最大循環(huán)次數(shù)

}BPNet;

表2 對應(yīng)的天平輸出電壓值(單位：10 μV)

圖3 軟件實現(xiàn)的流程圖

變量主要有中間層權(quán)重矩陣V和閾值bi、輸出層權(quán)重矩陣W和閾值bo，其中V為m×n的二維數(shù)組，W為n×r的二維數(shù)組，bi為n個元素的一維數(shù)組，bo為r個元素一維數(shù)組，m為輸入層個數(shù)，n為中間層個數(shù)，r為輸出層個數(shù)。將這些變量初始化為(0，1)范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。

訓(xùn)練過程實現(xiàn)如下：

讀取樣本并根據(jù)式(7)歸一化樣本數(shù)據(jù)，初始化學(xué)習(xí)率StudyRate、精度Accuracy等參數(shù)；

E=0；//初始化誤差

While E>Accuracy do

{

For i=1 to SamplesNumber

{

For k=1 to n//計算中間層輸出

{

}

For t=1 to r//計算輸出層輸出

{

}

計算輸出誤差e；

按照式(2)修正權(quán)重矩陣和閥值；

}

E=E+e；

}

保存得到的權(quán)值矩陣和閥值向量；

訓(xùn)練結(jié)束。

3.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法應(yīng)用

采用某天平的校準(zhǔn)數(shù)據(jù)，共81個樣本。選用以下參數(shù)對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練:輸入層節(jié)點數(shù)6，分別為天平6個分量(3個力和3個力矩)的電壓值，中間層節(jié)點數(shù)為10，輸出層節(jié)點數(shù)6，分別為天平6個分量的載荷，學(xué)習(xí)率λ和β取0.001，目標(biāo)精度0.001。將樣本歸一化后輸入網(wǎng)絡(luò)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)16 700次達(dá)到精度要求，圖4給出了訓(xùn)練收斂特性。

圖4 訓(xùn)練收斂特性

從圖中可以看出訓(xùn)練過程能夠很好地收斂，訓(xùn)練次數(shù)越多精度越高，增加訓(xùn)練次數(shù)可近一步提高訓(xùn)練精度。中間層的節(jié)點數(shù)關(guān)系到網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練性能，圖中也給出了中間層節(jié)點數(shù)為15、20、30時的收斂特性，節(jié)點數(shù)增加時收斂速度會加快，當(dāng)節(jié)點數(shù)為30時過程中出現(xiàn)波動，收斂速度的沒有明顯變化，因此節(jié)點數(shù)的選擇不是越大越好，對于輸入向量數(shù)較少的網(wǎng)絡(luò)中間層數(shù)量不宜選擇過大，需根據(jù)訓(xùn)練結(jié)果綜合考慮。

為了檢驗神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練效果，選取訓(xùn)練樣本中的一部分作為檢驗樣本，將輸入值進(jìn)行歸一化后，根據(jù)式(3)計算電壓值對應(yīng)的載荷值，通過網(wǎng)絡(luò)計算出的載荷值為歸一化后的數(shù)據(jù)，要獲取實際載荷值，需要采用訓(xùn)練時的歸一化參數(shù)進(jìn)行反歸一化，反歸一化公式如下：

(8)

圖5 兩種方法計算的誤差

4 結(jié)束語

本文通過對天平校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的處理和公式擬合方法進(jìn)行了研究，提出了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擬合方法，建立了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的天平輸入輸出模型，通過校準(zhǔn)數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行訓(xùn)練。這種方法充分利用了神經(jīng)網(wǎng)路的非線性特性、學(xué)習(xí)能力，通過樣本訓(xùn)練逼近系統(tǒng)的輸入輸出特性，有效地克服了系統(tǒng)的非線性誤差。結(jié)果表明，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的天平公式擬合和采用多項式擬合方法相比，天平公式的計算精度平均提高了67%，取得了很好的效果。該方法為天平或其他多變量傳感器的校準(zhǔn)提供了新的思路。