王 創(chuàng)，梁 偉，管 啟,丁德銳

(上海理工大學(xué) 光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院 上海 200093)

0 引言

微電子機(jī)械系統(tǒng)(MEMS)技術(shù)的發(fā)展使慣性傳感器行業(yè)發(fā)生了革命性的變化，這使大規(guī)模生產(chǎn)超低成本慣性傳感器成為可能。今天人們可以通過花費(fèi)十幾塊錢就能夠買到一個(gè)具有幾平方毫米的慣性測(cè)量單元(IMU)。這些低成本小尺寸的IMU，使得構(gòu)建大型的IMU陣列成為了可能，科研人員通過融合來自IMU陣列輸出的數(shù)據(jù)信息，就能獲得單個(gè)IMU不可比擬的性能，有關(guān)更多IMU陣列系統(tǒng)的具體內(nèi)容請(qǐng)參見文獻(xiàn)[1]。

低成本的MEMS 類型IMU的輸出數(shù)據(jù)通常是未經(jīng)校準(zhǔn)補(bǔ)償?shù)腫2-4]。集成電路在進(jìn)行制造和封裝過程中的缺陷，往往導(dǎo)致IMU的靈敏軸沒有完全對(duì)齊，從而產(chǎn)生了軸失準(zhǔn)誤差和比例誤差，這些誤差項(xiàng)的存在導(dǎo)致了IMU輸出數(shù)據(jù)的不準(zhǔn)確。因此在融合來自IMU的信息前，應(yīng)該對(duì)IMU進(jìn)行校正補(bǔ)償。在工業(yè)界，對(duì)IMU進(jìn)行標(biāo)定校準(zhǔn)需要昂貴的機(jī)械校正平臺(tái)[5-7]。在實(shí)驗(yàn)室級(jí)別的使用過程中，研究者們提出了不需要旋轉(zhuǎn)機(jī)的簡(jiǎn)化標(biāo)定方法[8-10]。這些方法利用重力矢量大小的先驗(yàn)知識(shí)來對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，但僅限于單個(gè)IMU的校正。

近年來，由低成本的IMU組成的慣性傳感器陣列受到越來越多的研究人員的關(guān)注。越來越多的研究人員把由低成本IMU組成的慣性傳感器陣列應(yīng)用在機(jī)器人的自主導(dǎo)航中。但是在使用由低成本IMU組成的慣性傳感器陣列進(jìn)行組合導(dǎo)航時(shí)，必須對(duì)慣性傳感器陣列進(jìn)行標(biāo)定。在對(duì)慣性傳感器陣列的標(biāo)定的過程中不僅要對(duì)組成陣列的單個(gè)IMU進(jìn)行標(biāo)定，還要對(duì)慣性傳感器陣列中IMU相對(duì)與標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系的偏角進(jìn)行標(biāo)定。對(duì)單個(gè)IMU的校正建模已經(jīng)非常成熟，但是對(duì)IMU陣列的校正模型研究比較少。

鑒于上述分析，本文首先對(duì)單個(gè)IMU的校正模型進(jìn)行了分析和建模，然后在單個(gè)IMU校正模型的基礎(chǔ)上，根據(jù)IMU陣列的特殊性建立了慣性傳感器陣列的校正模型，該模型不僅包含了單個(gè)IMU的尺度、偏置和靈敏軸誤差，還包含了慣性傳感器陣列中IMU間的坐標(biāo)系非對(duì)齊誤差。由于慣性傳感器陣列校正模型的非線性，本文構(gòu)造了基于最小二乘法的代價(jià)函數(shù)，采用L-M算法來求解校正參數(shù)。在進(jìn)行非線性求解的過程中需要足夠多的外部激勵(lì)，為此本文設(shè)計(jì)了一個(gè)具有20面的標(biāo)準(zhǔn)多面體，該20面體采用3D打印機(jī)獲取。

1 IMU的誤差模型

在理想情況下IMU的3軸加速度計(jì)和3軸陀螺儀使用了同一個(gè)正交三維坐標(biāo)系。加速度計(jì)能感知不同方向上的加速度，而陀螺儀能測(cè)量圍繞同一軸的角速度。不幸的是，由于IMU的封裝過程的不準(zhǔn)確，導(dǎo)致加速度坐標(biāo)系和陀螺儀坐標(biāo)系形成兩個(gè)不同的非正交坐標(biāo)系，見圖1。

圖1 IMU的軸失準(zhǔn)誤差

由于加速度計(jì)的3個(gè)靈敏軸和陀螺儀的3個(gè)靈敏軸與平臺(tái)坐標(biāo)軸的正交坐標(biāo)系僅相差較小的角度，則在加速度計(jì)坐標(biāo)中的比力測(cè)量可轉(zhuǎn)化為平臺(tái)坐標(biāo)中的比力估計(jì)值

(1)

式中，sp表示平臺(tái)坐標(biāo)系下的加速計(jì)受的比力或陀螺儀的角速度，ss表示加速計(jì)坐標(biāo)系下的比力或陀螺儀坐標(biāo)系下的角速度。這里βij是加速度計(jì)或陀螺儀的第i個(gè)敏感軸繞第j個(gè)平臺(tái)正交軸的微小旋轉(zhuǎn)角。

理想的平臺(tái)坐標(biāo)系是正交的，通過使平臺(tái)坐標(biāo)軸的xp和加速度計(jì)坐標(biāo)的xa靈敏軸重合，則平臺(tái)坐標(biāo)系的yp軸就會(huì)落在由xa和ya所成的平面上，那么公式(1)中角βxz、βxy和βyx變?yōu)榱?，加速度?jì)坐標(biāo)系和平臺(tái)坐標(biāo)的關(guān)系可以重新寫為如下形式：

(2)

公式(1)中的β表示加速度計(jì)和陀螺儀通用的誤差角，在公式(2)中用α表示適用于加速度計(jì)的情況。

如前所述，陀螺儀和加速度計(jì)的測(cè)量應(yīng)該共用相同的參考系，由公式(2)可以得到陀螺儀的相關(guān)表達(dá)：

(3)

其中:wp和wg分別表示平臺(tái)坐標(biāo)系下的角速度和陀螺儀坐標(biāo)系下的角速度，γij表示第i個(gè)陀螺儀敏感軸繞第j個(gè)平臺(tái)軸的微小旋轉(zhuǎn)角。

圖1中的xa,ya,za表示加速度計(jì)的敏感軸，xp,yp,zp表示理想的正交軸，理想的正交軸和加速計(jì)靈敏軸的偏角可以表示為αxy,αxz,αyx,αyz,αzx,αzy。

MEMS類型的傳感器輸出的信息是和電壓成比例的電信號(hào)，輸出電壓和作用在傳感器靈敏度軸上物理量之間的關(guān)系由制造商的數(shù)據(jù)表給出，由于MEMS傳感器的固有非線性導(dǎo)致輸出電壓和傳感器測(cè)量的信號(hào)之間的真實(shí)比例不同，我們稱此不同為刻度系數(shù)誤差或者比例誤差。此外，MEMS傳感器的輸出信號(hào)中通常會(huì)含有一個(gè)小小的偏差，具體的表現(xiàn)是，即使沒有力作用在傳感器上，傳感器也會(huì)有非零的輸出，稱該非零輸出為偏置。

對(duì)加速度計(jì)和陀螺儀都受到偏差和刻度系數(shù)誤差進(jìn)行如下的建模，其中刻度系數(shù)矩陣可以表示為：

(4)

偏置向量建模為：

(5)

針對(duì)上述的誤差進(jìn)行整體的數(shù)學(xué)建模，則完整的傳感器誤差模型可以用下式表示：

(6)

式(6)是對(duì)IMU的確定性誤差的建模，該模型適用于所有的類型的IMU。但是MEMS類型的IMU不僅包含式(6)中包含的確定性誤差，還包含由微電子結(jié)構(gòu)特性造成的隨機(jī)誤差，隨機(jī)誤差主要是指MEMS類型IMU輸出數(shù)據(jù)所包含的高斯白噪聲和bias隨機(jī)游走。本文僅僅對(duì)MEMS類型IMU陣列的確定性誤差進(jìn)行校正。

2 IMU陣列誤差模型的構(gòu)建

上一節(jié)對(duì)MEMS類型IMU的確定性誤差進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模，本小節(jié)主要對(duì)IMU陣列的確定誤差進(jìn)行了數(shù)學(xué)模型的建立。IMU陣列所包含的誤差不僅含有來自單個(gè)IMU的靈敏軸失準(zhǔn)誤差、偏置和刻度誤差，還包括IMU陣列中不同IMU之間的非對(duì)齊誤差。

(7)

通過以上對(duì)IMU陣列獨(dú)有的誤差項(xiàng)的分析，本文在單個(gè)IMU確定性誤差模型的基礎(chǔ)上建立了IMU陣列的誤差模型，在IMU陣列的誤差模型中假設(shè)陣列中第i個(gè)加速度計(jì)的輸出可以看做為第j個(gè)加速度計(jì)的輸入和參數(shù)θ(j)的函數(shù)：

(8)

其中:

(9)

根據(jù)上述對(duì)參數(shù)的物理化解釋，IMU陣列校正的參數(shù)模型表示如下：

(10)

通過觀察式(10)可以知道當(dāng)j=i時(shí)，需要估計(jì)的參數(shù)就是單個(gè)IMU校正的參數(shù)，此時(shí)的IMU陣列校正模型退化成了單個(gè)IMU校正；當(dāng)j≠i時(shí)，校正的參數(shù)是包含IMU陣列不同IMU間的非對(duì)齊誤差。

圖1 IMU陣列校正流程

3 IMU陣列校正算法設(shè)計(jì)

在上一節(jié)中本文建立了IMU陣列的誤差模型，通過公式(10)可以知道參數(shù)θ(j),j∈(1.M)包含了IMU陣列中單個(gè)IMU的軸失準(zhǔn)誤差、偏置、刻度誤差和IMU陣列中IMU間的非對(duì)齊誤差。通過建模分析可知校正的參數(shù)θ(j)的維度是15維。傳統(tǒng)的六面標(biāo)定法顯然不能夠?yàn)镮MU陣列的校正提供如此多的校正激勵(lì)，為此本文針對(duì)IMU陣列的校正設(shè)計(jì)了一個(gè)20面體校正裝置，該校正裝置能夠?yàn)镮MU陣列校正提供充足的外部激勵(lì)。

在IMU陣列誤差模型和本文所設(shè)計(jì)的校正裝置基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了如圖1所示的校正方案。

3.1 IMU陣列校正函數(shù)的構(gòu)建

(11)

式中,c代表余弦函數(shù)，s代表正弦函數(shù)，φ表示偏航角、φ表示俯仰角、ψ表示翻滾角。

(12)

式中,φn和ψn分別表示第i個(gè)IMU的俯仰角和翻滾角。g是當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取?/p>

當(dāng)IMU陣列靜止時(shí)，輸入矢量只有2自由度，而每個(gè)加速度計(jì)提供了一個(gè)在3中的重力矢量的估計(jì)值。這意味15維的校正參數(shù)通過式(12)的變換，減少了3維，只要能夠在校正過程中提供至少12個(gè)非共面的方向激勵(lì)，參數(shù)θ(j)就能夠得到估計(jì)。

假設(shè)式(8)中的測(cè)量噪聲為高斯白噪聲，且不同IMU之間的噪聲互不相關(guān)，通過求解如下代價(jià)函數(shù)最小值來得到參數(shù)θ(j)的最優(yōu)估計(jì)：

(13)

(14)

式中,[a]k,k∈(x,y,z)表示向量a中的第k個(gè)元素。

3.2 IMU陣列校正裝置的設(shè)計(jì)

通過上述的分析可以知道IMU陣列需要校正的參數(shù)有15維，經(jīng)過公式(12)對(duì)輸入的重力加速的簡(jiǎn)單變換，使IMU陣列的校正激勵(lì)輸入從15維降低到了12維。針對(duì)12維的校正激勵(lì)輸入，傳統(tǒng)的六面標(biāo)定法顯然已經(jīng)不能夠滿足IMU陣列的校正需求，這主要是由于六面法提供的激勵(lì)不能夠使方程校正方程(13)滿秩，方程不滿秩就會(huì)導(dǎo)致校正參數(shù)結(jié)果的不唯一，這顯然不是IMU陣列參數(shù)校正需要的結(jié)果。

為了保證在IMU陣列校正的過程中獲得充足的方向激勵(lì)，本文設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖2所示的正20面球體。該球體是由20個(gè)平面組成，它能夠提供20個(gè)不同方向的平面，每個(gè)平面都能為IMU陣列的校正提供方向上的激勵(lì)。

圖2 IMU陣列校正裝置

多面體的提供的方向數(shù)量決定了校正的精度，精度和校正時(shí)間符合正相關(guān)的關(guān)系。因此在標(biāo)定實(shí)驗(yàn)過程中，用戶可以根據(jù)實(shí)際的需求來選取合適的校正方向數(shù)和靜止時(shí)間。本文所設(shè)計(jì)的20面體另一個(gè)好處是它能夠平均一些隨機(jī)誤差和一些未建模的誤差。

4 IMU陣列校正試驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文所提的校正方案的有效性，本文對(duì)如圖3所示的IMU陣列進(jìn)行了校正，該IMU陣列集成了來自Invensense的32個(gè)MPU-9250型IMU和一個(gè)來自Atmel的AT32UC3C2512微控制器。

圖3 IMU陣列單元

由于選取的IMU陣列單元中的IMU個(gè)數(shù)太多，本文只對(duì)陣列中的前6個(gè)IMU的參數(shù)做了展示。表1中，刻度系數(shù)kx，ky，kz沒有單位，加速度計(jì)偏置量bax，bay，baz的單位為m/s2，IMU的安裝誤差角lyz，lzy，lzx的單位為rad，坐標(biāo)系對(duì)齊誤差ξx，ξy，ξz的單位為rad，陀螺儀偏置量bgx，bgy，bgz的單位為rad/s。表1中編號(hào)為1的IMU所在的坐標(biāo)系定義為IMU陣列的參考坐標(biāo)系。即，編號(hào)為1的IMU沒有估計(jì)IMU之間額外對(duì)齊誤差。通過分析表1中的校正均值校正結(jié)果的量程值表明，校正結(jié)果的一致性。

為了說明校正參數(shù)的準(zhǔn)確性，本文參考了Invensense公司的MPU-9250技術(shù)手冊(cè)，并使用了第一個(gè)IMU估計(jì)參數(shù)的結(jié)果和官方所給的參數(shù)進(jìn)行了比較，結(jié)果如表2和表3所示。

表1 數(shù)據(jù)表

IMUlzylzxξxξyξzbgxbgybgz1-0.003 66-0.005 34000-0.509 62-0.390 780.182 87622.23E-050.005 440.001 538-0.002 66-0.003 75-0.190 83-0.532 95-1.121 763-0.001 18-0.002 39-0.004 960.001 218-0.002 171.385 679-0.076 150.129 85240.002 520.000 8970.000 9610.001 83-0.005 22-0.699 93-0.462 8-0.407 5350.002 1450.003 183-0.002 690.002 1730.000 744-1.311 58-0.655 980.840 20860.008 1060.025 504 20.000 5810.002 468-0.007 394-0.183 961.006 5840.126 783

表2 加速度計(jì)比例因子誤差

表3 敏感軸失準(zhǔn)誤差

表4 加速計(jì)和陀螺儀的偏置

表2和表3的左邊是經(jīng)過所提校正方案得到的校正結(jié)果，右邊是MPU-9250技術(shù)手冊(cè)提供的加速度計(jì)的比例因子誤差和敏感軸失準(zhǔn)誤差的范圍，由于MEMS類型的傳感器受環(huán)境溫度的影響，不同的校正環(huán)境的溫度會(huì)導(dǎo)致不同的校正結(jié)果，但是兩者的校正的數(shù)量級(jí)還在同一個(gè)級(jí)別，這證明了所提校正方法的有效性。

對(duì)于MEMS型的IMU，它的加速度計(jì)和陀螺儀的偏置是隨機(jī)游走的，還不能針對(duì)長(zhǎng)時(shí)間的偏置給出一個(gè)長(zhǎng)時(shí)間的標(biāo)定輸出，表4僅僅給出了在室溫為25 ℃的環(huán)境下，對(duì)加速計(jì)和陀螺儀的偏置的標(biāo)定結(jié)果。

5 結(jié)束語

本文首先分析了單個(gè)IMU的確定性誤差，并對(duì)單個(gè)IMU的確定性誤差建立了數(shù)學(xué)模型。然后在單個(gè)IMU誤差數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，考慮到IMU陣列的特殊性，設(shè)計(jì)了一套基于IMU陣列確定性誤差的標(biāo)定方案。該標(biāo)定方案主要是利用當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣茸鳛樾Ｕ^程的系統(tǒng)輸入，并利用該輸入構(gòu)造了關(guān)于IMU陣列校正參數(shù)最小二乘問題，由于在求解過程中需要外接提供充足的方向激勵(lì)，本文又設(shè)計(jì)了20面球體，如圖2所示。該20面球體不僅能夠?yàn)镮MU陣列的校正提供充足的外部激勵(lì)還能夠平均一些隨機(jī)誤差和非建模的誤差。為了測(cè)試標(biāo)定的實(shí)驗(yàn)結(jié)果本文采用了由32個(gè)IMU組成的IMU陣列作為標(biāo)定對(duì)象，標(biāo)定結(jié)果見表一。把經(jīng)過標(biāo)定的結(jié)果和Invensense公司的MPU-9250技術(shù)手冊(cè)所提供的標(biāo)定結(jié)果進(jìn)行了比較，結(jié)果表明本文所提的標(biāo)定方案能夠提供一個(gè)較好的標(biāo)定結(jié)果。本文所提的標(biāo)定方案不僅適合于IMU陣列的標(biāo)定，同時(shí)也適合單個(gè)IMU的標(biāo)定。