李樹(shù)甫，黃 勇，裴家正

（1.91049部隊(duì)，山東青島266102；2.海軍航空大學(xué)，山東煙臺(tái)264001）

在隨機(jī)有限集的理論框架中，概率假設(shè)密度（Probability Hypothesis Density，PHD）代表多目標(biāo)后驗(yàn)概率密度函數(shù)的一階矩，在指定區(qū)域內(nèi)的積分代表該區(qū)域目標(biāo)數(shù)目的估計(jì)值[1-3]。

PHD 在應(yīng)用中要求滿足目標(biāo)數(shù)目服從泊松分布的假設(shè)。否則，將會(huì)影響算法性能。為了應(yīng)對(duì)PHD的不足，Mahler 在PHD 之上引入目標(biāo)數(shù)目的勢(shì)分布函數(shù)，將勢(shì)分布函數(shù)定義為多目標(biāo)后驗(yàn)概率密度函數(shù)的高階矩[4]，推導(dǎo)出勢(shì)概率假設(shè)密度（CPHD）濾波器[5]。CPHD 未對(duì)目標(biāo)數(shù)目的分布進(jìn)行限定，在濾波過(guò)程中聯(lián)合傳遞PHD 信息和勢(shì)分布函數(shù)中的高階矩信息[6]，對(duì)于目標(biāo)數(shù)目的估計(jì)更為穩(wěn)健[7]。

PF-CPHD 算法利用粒子濾波方式進(jìn)行目標(biāo)狀態(tài)和數(shù)目估計(jì)，不用多目標(biāo)關(guān)聯(lián)，是實(shí)現(xiàn)CPHD 的常用手段。

PF-CPHD算法應(yīng)用于多目標(biāo)跟蹤過(guò)程中，目標(biāo)狀態(tài)的維數(shù)隨著目標(biāo)數(shù)目線性增長(zhǎng)，需要數(shù)目相對(duì)可觀的粒子數(shù)目，才能有利于解決多目標(biāo)跟蹤的問(wèn)題[8]，但粒子數(shù)量的增加在濾波過(guò)程中會(huì)額外造成粒子權(quán)重退化嚴(yán)重，目標(biāo)數(shù)目估計(jì)不準(zhǔn)以及計(jì)算效率下降等問(wèn)題。本文通過(guò)部署雙層粒子濾波，在常規(guī)CPHD濾波基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，提出了基于勢(shì)概率假設(shè)密度濾波的雙層粒子濾波跟蹤算法（TLPF-CPHD），考慮目標(biāo)狀態(tài)與鄰近目標(biāo)狀態(tài)之間的相互影響，對(duì)當(dāng)前目標(biāo)狀態(tài)重新計(jì)算預(yù)測(cè)，提高對(duì)目標(biāo)狀態(tài)的估計(jì)性能。仿真結(jié)果表明，TLPF-CPHD 算法相比于常規(guī)PF-CPHD 具有更好的目標(biāo)數(shù)目和狀態(tài)估計(jì)準(zhǔn)確性。

1 基于勢(shì)概率假設(shè)密度濾波的粒子濾波算法

勢(shì)概率假設(shè)密度濾波除了預(yù)測(cè)和更新目標(biāo)PHD，還在每一步狀態(tài)預(yù)測(cè)和量測(cè)更新過(guò)程中傳遞目標(biāo)數(shù)目的勢(shì)分布函數(shù)，假定k 時(shí)刻，后驗(yàn)概率假設(shè)密度和后驗(yàn)勢(shì)分布函數(shù)分別為Dk( x )和pk( n )，主要濾波步驟如下。

1.1 CPHD預(yù)測(cè)

進(jìn)行概率假設(shè)密度Dk+1|k(x)的預(yù)測(cè)[9]，

式（1）中：pS(ζ) 代表k+1 時(shí)刻目標(biāo)的存活概率；βk+1|k(x|ζ) 表示衍生目標(biāo)PHD；γk+1(x) 表示新生目標(biāo)PHD。

勢(shì)分布函數(shù)預(yù)測(cè)方程為：

式（2）中：pk( n′) 是k 時(shí)刻的勢(shì)分布函數(shù)，n′是k 時(shí)刻代表目標(biāo)數(shù)目的變量；Pbirth( n-i )表示k 時(shí)刻到k+1時(shí)刻新生n-i 個(gè)目標(biāo)的概率，n 是k+1 時(shí)刻代表目標(biāo)數(shù)目的變量；為組合數(shù)。

1.2 CPHD更新

同樣，先進(jìn)行PHD的更新運(yùn)算：

式（3）中：pD表示目標(biāo)檢測(cè)概率；gk+1(z|x)表示k+1 時(shí)刻目標(biāo)狀態(tài)的似然函數(shù)；κk+1(z)表示k+1 時(shí)刻雜波量測(cè)的PHD。

在概率假設(shè)密度濾波的基礎(chǔ)之上再進(jìn)行計(jì)算：

對(duì)勢(shì)分布函數(shù)的更新公式為：

CPHD 中，對(duì)勢(shì)分布函數(shù)的最大后驗(yàn)概率估計(jì)取整數(shù)即為該區(qū)域內(nèi)期望的目標(biāo)數(shù)目：

常規(guī)基于勢(shì)概率假設(shè)密度的粒子濾波跟蹤算法的問(wèn)題是在目標(biāo)數(shù)目較多時(shí)，算法需要較多的粒子數(shù)才能對(duì)多目標(biāo)的概率假設(shè)密度和勢(shì)分布函數(shù)具有更好的擬合，以保證對(duì)多目標(biāo)狀態(tài)的良好估計(jì)。但數(shù)量增加的粒子在計(jì)算中同樣存在弊端，粒子在濾波過(guò)程中退化更嚴(yán)重，在粒子聚類(lèi)時(shí)無(wú)法形成較好的聚類(lèi)，使得目標(biāo)數(shù)目估計(jì)不準(zhǔn)確而且還會(huì)影響計(jì)算效率。為此，本文提出一種利用雙層粒子濾波的改進(jìn)方法。

2 基于勢(shì)概率假設(shè)密度的雙層粒子濾波跟蹤算法

2.1 雙層粒子設(shè)置

在粒子采樣步驟中，由于考慮到周?chē)繕?biāo)的影響，得到對(duì)第m 個(gè)目標(biāo)的平均預(yù)測(cè)目標(biāo)狀態(tài)為：

2.2 算法具體實(shí)施步驟

本文所提出的基于勢(shì)概率假設(shè)密度的雙層粒子濾波跟蹤算法具體實(shí)施步驟如下：

假設(shè)在k 時(shí)刻一共包括Lk個(gè)存活粒子和Jk+1個(gè)新生粒子，分別利用概率密度函數(shù)qk(? |xk,Z1:k)和pk+1(? |Z1:k+1)進(jìn)行采樣，并計(jì)算存活粒子和新生粒子的權(quán)重[16]：

預(yù)測(cè)PHD可以表示為：

4）CPHD更新。對(duì)于k+1 時(shí)刻所有粒子的第2層粒子，根據(jù)下式更新權(quán)重[10]。

在此更新之外，還須要對(duì)第1 層粒子i=1,2,…,N進(jìn)行權(quán)重更新，即進(jìn)行

3 實(shí)驗(yàn)仿真驗(yàn)證

3.1 仿真場(chǎng)景設(shè)置

運(yùn)動(dòng)目標(biāo)狀態(tài)方程和量測(cè)方程如下：

式（21）～（25）中：F( k+1) 為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣；Γ( k )為過(guò)程噪聲分布陣；T 為采樣時(shí)間；v( k )為過(guò)程噪聲；W( k+1) 為量測(cè)噪聲。

表1設(shè)定了各目標(biāo)初始狀態(tài)及其起止時(shí)刻。由于缺乏觀測(cè)區(qū)域內(nèi)雜波位置分布的先驗(yàn)信息，本文假設(shè)各時(shí)刻剩余雜波點(diǎn)的位置在觀測(cè)區(qū)域內(nèi)均勻分布，而剩余雜波點(diǎn)數(shù)量服從均值為40的泊松分布，在雜波密度λc=5×10-6個(gè)/m2條件下，圖1 給出了對(duì)應(yīng)于表1 的真實(shí)軌跡，圓代表初始位置，三角代表終止位置。

表1 各目標(biāo)初始狀態(tài)及其起止時(shí)刻Tab.1 Initial state of targets and their start and end time

圖1 各目標(biāo)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)航跡Fig.1 True trajections of all targets

3.2 算法性能對(duì)比

進(jìn)行100次Monte Carlo仿真實(shí)驗(yàn)，每一次都對(duì)算法所估計(jì)的目標(biāo)數(shù)目進(jìn)行記錄，求取平均值。通過(guò)綜合分析圖2的跟蹤效果和圖3的多目標(biāo)跟蹤數(shù)目估計(jì)結(jié)果得出，二者都對(duì)目標(biāo)數(shù)目做出了較為準(zhǔn)確的估計(jì)，但在多目標(biāo)數(shù)目發(fā)生波動(dòng)時(shí)，TLPF-CPHD算法要比PF-CPHD算法更為敏感，能夠在目標(biāo)數(shù)目變化時(shí)更加及時(shí)地確定多目標(biāo)數(shù)目。另外，在仿真過(guò)程中，PFCPHD 算法對(duì)目標(biāo)數(shù)目估計(jì)有一定程度的過(guò)估計(jì)，跟蹤位置準(zhǔn)確性也欠佳。

圖2 2種算法的跟蹤效果Fig.2 Tracking effect of two algorithms

圖3 2種算法的多目標(biāo)跟蹤數(shù)目對(duì)比Fig.3 Comparision of the number of multi-target tracking of the two algorithms

進(jìn)行100次Monte Carlo仿真實(shí)驗(yàn)，每一次都對(duì)最優(yōu)子模式分配（OSPA）距離誤差進(jìn)行記錄求取平均值。OSPA距離為目標(biāo)數(shù)目估計(jì)的誤差與目標(biāo)位置估計(jì)的誤差之和[18]。本文設(shè)置OSPA誤差指標(biāo)中的截?cái)嗑嚯xc=100 m，距離參數(shù)p=1，將整個(gè)過(guò)程中每一步的100次OSPA誤差進(jìn)行算術(shù)平均，得到圖4關(guān)于目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)的OSPA距離誤差統(tǒng)計(jì)。從整個(gè)跟蹤的過(guò)程來(lái)看，TLPF-CPHD算法要比PF-CPHD算法更為穩(wěn)定，其總的OSPA 距離誤差更小，說(shuō)明對(duì)多目標(biāo)的狀態(tài)和數(shù)目的總估計(jì)更為準(zhǔn)確可靠。

圖4 2種算法的跟蹤誤差對(duì)比Fig.4 Comparision of tracking error of the two algorithms

4 結(jié)論

本文針對(duì)常規(guī)基于勢(shì)概率假設(shè)密度濾波的粒子濾波跟蹤算法在多目標(biāo)跟蹤應(yīng)用中需要粒子數(shù)目較多，粒子權(quán)重退化較為嚴(yán)重帶來(lái)運(yùn)算效率下降，目標(biāo)數(shù)目估計(jì)不準(zhǔn)等問(wèn)題，為了彌補(bǔ)單純?cè)黾恿Ｗ訑?shù)量而帶來(lái)的缺陷，部署雙層粒子，提高粒子的利用率。仿真實(shí)驗(yàn)表明，TLPF-CPHD 算法的跟蹤效果優(yōu)于PFCPHD。雖有改進(jìn)，但缺點(diǎn)還是不可避免地較常規(guī)算法具有額外的運(yùn)算負(fù)擔(dān)。下一步的研究重點(diǎn)包括解決在保證準(zhǔn)確性的前提下盡量降低計(jì)算復(fù)雜度，以及利用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)算法性能進(jìn)行驗(yàn)證。