張 楊，顧祥岐，楊路鋮

（1.海軍航空大學(xué)，山東煙臺(tái)264001；2.91033部隊(duì)，山東青島266000）

橢圓球面波函數(shù)（Prolate Spheroidal Wave Functions，PSWFs）集 是Bell 實(shí) 驗(yàn) 室Slepian 和Pollak 于1961年定義的一類特殊函數(shù)的集合[1]，其具有完備性、奇偶性、雙正交性、頻譜可控性以及在時(shí)頻域具有最佳能量聚集性等優(yōu)良特性[2-4]?；谏鲜鰞?yōu)良特性，PSWFs被廣泛應(yīng)用于通信系統(tǒng)[5-7]、雷達(dá)[8]、流體力學(xué)[9]、目標(biāo)探測(cè)[10]、濾波[11]等領(lǐng)域。其中，在無線電通信領(lǐng)域，專利“非正弦時(shí)域正交調(diào)制方法”公布了一種基于PSWFs的非正弦時(shí)域正交調(diào)制方法[12]，采用時(shí)域波形疊加、頻域頻譜交疊的方式，有效提高了頻帶利用率。但PSWFs 調(diào)制信號(hào)峰均功率比（Peak-to-Average Power Ratio，PAPR）較高，應(yīng)用于衛(wèi)星通信系統(tǒng)時(shí)，易受PA非線性特性影響，造成信號(hào)非線性失真，從而降低系統(tǒng)性能。

針對(duì)此問題，考慮到調(diào)制信號(hào)PAPR 與并行路數(shù)密切相關(guān)，并行路數(shù)越小，調(diào)制信號(hào)PAPR 越低；并行路數(shù)越多，調(diào)制信號(hào)PAPR 越高，本節(jié)結(jié)合PSWFs 脈沖信號(hào)的奇偶特性，提出了一種基于半符號(hào)PSWFs調(diào)制信號(hào)PAPR抑制方法。該方法在發(fā)射端僅傳輸部分波形，用以降低調(diào)制信號(hào)PAPR；在接收端，利用函數(shù)良好的奇偶特性，對(duì)信號(hào)進(jìn)行恢復(fù)，不影響系統(tǒng)誤碼性能?？导曳降萚13]基于正余弦函數(shù)的奇偶特性，提出了一種基于半符號(hào)的OFDM 調(diào)制方式：在發(fā)射端，僅發(fā)送半個(gè)周期調(diào)制信號(hào)；在接收端，利用調(diào)制信號(hào)的奇偶特性，將信號(hào)進(jìn)行恢復(fù)。但由于該方法發(fā)射端調(diào)制信號(hào)僅能為奇函數(shù)或偶函數(shù)，頻帶利用率較原方法沒有提高?，F(xiàn)在抑制PAPR 的方法有很多，但仍然存在一些問題[14-20]。

受上述方法啟發(fā)，引入半符號(hào)的思想，提出了一種基于半符號(hào)PSWFs 調(diào)制信號(hào)PAPR 抑制方法。該方法在發(fā)射端僅傳輸部分波形，有效降低了并行PSWFs信號(hào)路數(shù)，有效降低了橢圓球面波調(diào)制信號(hào)峰均功率比。在接收端，利用函數(shù)良好的奇偶對(duì)稱性，對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)、檢測(cè)和解調(diào)，保證系統(tǒng)誤碼性能與傳統(tǒng)非正弦時(shí)域正交調(diào)制方法相同。

1 基于半符號(hào)PSWFs 調(diào)制信號(hào)PAPR 抑制方法基本原理

基于信號(hào)峰均功率比與并行信號(hào)路數(shù)密切相關(guān)、橢圓球面波信號(hào)具有奇偶對(duì)稱性的特點(diǎn)，圖1 給出基于半符號(hào)PSWFs 調(diào)制信號(hào)PAPR 抑制方法基本原理框圖。在發(fā)射端，對(duì)奇對(duì)稱調(diào)制信號(hào)和偶對(duì)稱調(diào)制信號(hào)分開發(fā)送，前半周期發(fā)送奇對(duì)稱調(diào)制信號(hào)，后半周期發(fā)送偶對(duì)稱調(diào)制信號(hào)，調(diào)制信號(hào)的并行支路數(shù)降低一半。在接收端，利用調(diào)制信號(hào)奇偶性，恢復(fù)原調(diào)制信號(hào)時(shí)域波形。具體步驟如下：

1）在發(fā)射端，截取奇對(duì)稱調(diào)制信號(hào)的前T/2 周期信號(hào)，作為發(fā)射信號(hào)的前T/2 信號(hào)；截取偶對(duì)稱調(diào)制信號(hào)的后T/2 周期信號(hào)，作為發(fā)射信號(hào)的后T/2 信號(hào)，如圖1 a）所示；

2）信號(hào)經(jīng)過通信系統(tǒng)其他模塊，進(jìn)行信道傳輸；

3）在接收端，截取接收調(diào)制信號(hào)前T/2 信號(hào)，利用奇函數(shù)的對(duì)稱特性，重構(gòu)奇對(duì)稱調(diào)制信號(hào)；截取接收調(diào)制信號(hào)后T/2 信號(hào)，利用偶函數(shù)的對(duì)稱特性，重構(gòu)偶對(duì)稱調(diào)制信號(hào)，如圖1 b）所示；

圖1 基于半符號(hào)PSWFs調(diào)制信號(hào)PAPR抑制方法基本原理Fig.1 Basic principles of PAPR suppression method based on half-symbol PSWFs modulation signal

4）對(duì)重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行解調(diào)。

2 系統(tǒng)性能分析

本節(jié)從調(diào)制信號(hào)峰均功率比、系統(tǒng)誤碼性能2 個(gè)方面，對(duì)基于半符號(hào)PSWFs 調(diào)制信號(hào)PAPR 抑制方法的系統(tǒng)性能展開分析。

2.1 調(diào)制信號(hào)峰均功率比分析

根據(jù)基于PSWFs 的非正弦時(shí)域正交調(diào)制模型[1]，在發(fā)射端，對(duì)于多路疊加而成的PSWFs時(shí)域正交調(diào)制信號(hào)，在第n 個(gè)碼元時(shí)間內(nèi)生成的調(diào)制信號(hào)，可表示為：

式（1）中：Ts為碼元周期；M 為并行調(diào)制路數(shù)；φi(t)為第i 路PSWFs 脈沖；di為第n 個(gè)碼元時(shí)間內(nèi)第i 路的調(diào)制數(shù)據(jù)。

由式（1）可知，對(duì)于由多路PSWFs 脈沖信號(hào)疊加而成的調(diào)制信號(hào)，易產(chǎn)生較大峰值，調(diào)制信號(hào)PAPR較高，易受到PA非線性特性影響，導(dǎo)致PSWFs脈沖組間良好正交性下降，降低系統(tǒng)誤碼性能。

由基于半符號(hào)PSWFs 調(diào)制信號(hào)PAPR 抑制方法基本原理可知，其在第n 個(gè)碼元時(shí)間內(nèi)生成的調(diào)制信號(hào)，可表示為：

對(duì)比式（1）與式（2）可知，所提方法與原時(shí)域正交調(diào)制方法相比，調(diào)制信號(hào)的并行路數(shù)可以降低一半，這意味著這所提方法調(diào)制信號(hào)具有更低的峰均功率比。

2.2 系統(tǒng)誤碼性能分析

在接收端，利用信號(hào)奇偶對(duì)稱特性，利用半個(gè)符號(hào)周期調(diào)制信號(hào)，構(gòu)建整個(gè)符號(hào)周期的調(diào)制信號(hào)，并對(duì)調(diào)制信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)、解調(diào)。下面對(duì)奇對(duì)稱調(diào)制信號(hào)的構(gòu)建、檢測(cè)等相關(guān)問題進(jìn)行說明。重構(gòu)的奇對(duì)稱調(diào)制信號(hào)可以表示為：

式（3）中：n(t)為加性高斯白噪聲，均值為0，方差為δ2。

PSWFs脈沖間具有良好正交性，利用相干解調(diào)對(duì)信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)，則第2i-1支路檢測(cè)量可以表示為：

式（4）中，

由于不同階PSWFs脈沖間具有良好的正交性，假設(shè)PSWFs脈沖能量為ε，則式（4）可以化簡(jiǎn)為：

因此，第2i-1支路的檢測(cè)量的均值、方差為：

由式（6）、（7）可知，在接收端第2i-1 支路，所提方法與原時(shí)域正交調(diào)制方法相比，信噪比（Signal Noise Ratio，SNR）相同。那么其歸一化信噪比Eb/N0是否相同？由歸一化信噪比定義可知：

同時(shí)，由式（1）、（2）易知，所提方法與原時(shí)域正交調(diào)制方法的信號(hào)功率，存在如下關(guān)系：

式（9）中：S半為所提方法PSWFs調(diào)制信號(hào)功率；S原為原時(shí)域正交調(diào)制方法的信號(hào)功率。

通過上述分析可知，基所提方法與原時(shí)域正交調(diào)制方法的歸一化信噪比，存在如下關(guān)系：

通過上述分析可知，在理論上，所提方法與原時(shí)域正交調(diào)制方法相比，系統(tǒng)誤碼性能下降3 dB，發(fā)射功耗降低3 dB。因此，對(duì)于對(duì)系統(tǒng)誤碼性能要求較低的應(yīng)用場(chǎng)景，所提方法具有低發(fā)射功耗、低PAPR的優(yōu)勢(shì)。那么，對(duì)于對(duì)系統(tǒng)誤碼性能要求較高的應(yīng)用場(chǎng)景，應(yīng)如何提高所提方法的系統(tǒng)誤碼性能？

考慮到所提方法的系統(tǒng)誤碼性能低的原因在于發(fā)射功率的降低，同時(shí)由式（9）、（10）可知，將所提方法發(fā)射信號(hào)功率提高一倍，即可實(shí)現(xiàn)歸一化接收信噪比與原時(shí)域正交調(diào)制方法相同，即系統(tǒng)BER相同。

基于上述分析，令

對(duì)應(yīng)發(fā)射端調(diào)制信號(hào)

此時(shí)，在理論上，所提方法與原時(shí)域正交調(diào)制方法相比，系統(tǒng)誤碼性能相同，發(fā)射功耗相同，但仍然具有PAPR較低的優(yōu)勢(shì)。

3 仿真分析

在Matlab 仿真環(huán)境下，從調(diào)制信號(hào)功率、調(diào)制信號(hào)峰均功率比、系統(tǒng)誤碼性能3 個(gè)方面對(duì)所提方法與原時(shí)域正交調(diào)制方法進(jìn)行比較分析，驗(yàn)證理論分析的正確性。

3.1 仿真條件

1）調(diào)制信號(hào)：頻帶3～8 GHz，劃分為4 個(gè)子波帶，頻譜交疊度為50%，時(shí)間帶寬積c=4 Hz ?s，按能量聚集性由高到低，每個(gè)子波帶取前2 階PSWFs 脈沖，疊加生成非正弦時(shí)域正交調(diào)制信號(hào)，并對(duì)調(diào)制信號(hào)幅值進(jìn)行歸一化處理。

2）噪聲類型：加性高斯白噪聲。

3）調(diào)制方式：所提方法方案1對(duì)應(yīng)方式，所提方法方案2對(duì)應(yīng)方式。

3.2 仿真結(jié)果與分析

1）調(diào)制信號(hào)功率。圖2 為走碼個(gè)數(shù)為104個(gè)，原PSWFs時(shí)域正交調(diào)制信號(hào)與所提方法調(diào)制信號(hào)，功率比值的分布圖。從實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果可知，功率比值均大于2，說明所提方法能夠有效降低信號(hào)的發(fā)射功率（所提方法方案一）。但由于數(shù)值解法產(chǎn)生的PSWFs脈沖信號(hào)存在誤差，以及對(duì)稱點(diǎn)的選取，導(dǎo)致功率比值出現(xiàn)大于2的情況。

圖2 信號(hào)功率比值Fig.2 Signal power ratio

2）調(diào)制信號(hào)峰均功率比特性。圖3 a）為并行路數(shù)為8 路時(shí)，所提方法調(diào)制信號(hào)的互補(bǔ)累計(jì)分布函數(shù)（Complementary Cumulative Distribution Function，CCDF）特性曲線。其中，CCDF 定義為信號(hào)PAPR 超過某一門限的概率，用來衡量調(diào)制信號(hào)PAPR 統(tǒng)計(jì)特性。從實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果可知，所提方法調(diào)制信號(hào)PAPR略低于原時(shí)域正交調(diào)制信號(hào)，且隨著CCDF 的增加，PAPR抑制性能不斷提高。

圖3 調(diào)制信號(hào)CCDF特性曲線Fig.3 CCDF characteristic curve of modulation signal

當(dāng)頻帶為1～10 GHz，劃分為8 個(gè)子波帶，頻譜交疊度為50%，時(shí)間帶寬積c=4 Hz ?s，按能量聚集性由高到低，每個(gè)子波帶取前4 階PSWFs 脈沖，并行脈沖數(shù)為32時(shí)，所提方法調(diào)制信號(hào)的PAPR特性曲線可見圖3 b）。從實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果可知，較并行路數(shù)為8 時(shí)，PAPR抑制效果有所提高，表明隨著并行路數(shù)的增加，所提方法PAPR抑制能力逐漸提高。

3）系統(tǒng)誤碼性能。圖4 為所提方法調(diào)制信號(hào)，經(jīng)過AWGN信道，在接收端，采用相關(guān)解調(diào)的條件下，系統(tǒng)誤碼率特性曲線。從實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果可知，所提方法方案一的系統(tǒng)誤碼性能，與原時(shí)域正交調(diào)制方法相比，下降3 dB，但其發(fā)射功耗降低3 dB；所提方法方案二的系統(tǒng)誤碼性能，與原時(shí)域正交調(diào)制方法相同，與理論分析一致。

圖4 系統(tǒng)誤碼特性曲線Fig.4 Characteristic curve of system bit error

4 結(jié)語

針對(duì)PSWFs 調(diào)制信號(hào)PAPR 較高的問題，考慮到調(diào)制信號(hào)PAPR 與并行路數(shù)密切相關(guān)。基于PSWFs脈沖信號(hào)的奇偶特性，將半符號(hào)的思想引入到信號(hào)PAPR 抑制，本文提出了一種基于半符號(hào)PSWFs 調(diào)制信號(hào)PAPR抑制方法。該方法能夠在明顯降低系統(tǒng)誤碼性能的前提下，有效降低信號(hào)PAPR，且隨著并行傳輸PSWFs 信號(hào)路數(shù)增加，信號(hào)PAPR 降低程度不斷增加。此外，本文所提方法能夠?yàn)槠渌{(diào)制信號(hào)PAPR抑制提供一種新思路。如，正弦波信號(hào)時(shí)域波形在T/2n 周期內(nèi)對(duì)稱，即僅提取T/2n 周期內(nèi)波形進(jìn)行傳輸，在接收端利用奇偶對(duì)稱信號(hào)仍舊能夠恢復(fù)整個(gè)周期信號(hào)的調(diào)制信號(hào)，這將會(huì)更進(jìn)一步降低并行傳輸?shù)男盘?hào)路數(shù)，抑制調(diào)制信號(hào)PAPR。