宋 璐 衛(wèi)亞博 馮艷平

（1.陜西中醫(yī)藥大學(xué)醫(yī)學(xué)技術(shù)學(xué)院 咸陽 712046）（2.平頂山學(xué)院 平頂山 467000）（3.鄭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 鄭州 450121）

1 引言

振動(dòng)的合成，由于是研究聲波、光波和電磁波合成的基礎(chǔ)，所以它是大學(xué)物理教學(xué)中一個(gè)非常重要的內(nèi)容。而兩個(gè)相互垂直的簡諧振動(dòng)在合成的時(shí)候，振動(dòng)結(jié)果是兩個(gè)分振動(dòng)的疊加，在不同情況下形成各種各樣的李薩如圖形，所以其合成的過程比一維振動(dòng)復(fù)雜的多［1～3］。在傳統(tǒng)課堂教學(xué)中，由于合成的圖形較為抽象，學(xué)生很難理解李薩如圖形的合成過程，需要進(jìn)行隨堂演示。在各種實(shí)現(xiàn)李薩如圖形的方法中，使用最為廣泛的就是利用示波器，但是對于傳統(tǒng)的示波器來說，不僅受到顯示原理的限制，很難觀測到初相位變化時(shí)的李薩如圖形，而且由于體積較大，非常不便于攜帶，所以使用起來有一定的局限性［4］。文獻(xiàn)［5］給出了一種使用AVR 單片機(jī)實(shí)現(xiàn)的李薩如圖形合成器的方法，合成效果良好，但是由于儀器本身的限制，不便于教師和學(xué)生隨時(shí)隨地的使用。文獻(xiàn)［2］給出了一種使用Matlab程序法實(shí)現(xiàn)的李薩如圖形合成方法，但由于對編程基礎(chǔ)有一定的要求，所以也無法推廣到?jīng)]有任何編程經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生中去。

為此，設(shè)計(jì)了基于GUI 的Matlab 程序，不僅能夠?qū)崿F(xiàn)各種李薩如圖形的仿真，用戶還可根據(jù)需要任意修改參數(shù)，使系統(tǒng)的可操作性大大提高，除此之外，基于Matlab 程序的可移植性，可以將設(shè)計(jì)好的程序在任何一個(gè)計(jì)算機(jī)中運(yùn)行，可供用戶隨時(shí)隨地的使用，有助于提高學(xué)生對李薩如圖形的理解。

2 李薩如圖的形成原理

李薩如圖是由兩個(gè)相互垂直的簡諧振動(dòng)所合成的，形狀取決于兩個(gè)簡諧振動(dòng)頻率和初相位之間的關(guān)系。一般情況下，合振動(dòng)的軌跡不能形成穩(wěn)定的圖案，但若兩個(gè)分振動(dòng)頻率成整數(shù)比，則合成振動(dòng)的軌跡就為穩(wěn)定的曲線，曲線的花樣和分振動(dòng)的頻率比、初相位有關(guān)，得出的圖形叫李薩如圖［7～9］。假設(shè)兩個(gè)相互垂直的簡諧振動(dòng)分別用x和y來進(jìn)行表示，則：

當(dāng)兩個(gè)分振動(dòng)的振幅和頻率均相等時(shí)，合成的結(jié)果為橢圓，橢圓的形狀由兩振動(dòng)的相位差所決定；當(dāng)兩個(gè)分振動(dòng)的頻率為任意值時(shí)，合成的結(jié)果就是不穩(wěn)定且較為復(fù)雜的不閉合曲線；而當(dāng)兩個(gè)振動(dòng)的頻率為整數(shù)比時(shí)，合成的結(jié)果就為穩(wěn)定的、閉合的曲線圖形，稱為李薩如圖形［10～11］。

3 李薩如圖程序和Simulink實(shí)現(xiàn)方法

Matlab 矩陣實(shí)驗(yàn)室是美國MathWorks 公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，廣泛的應(yīng)用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算的高級技術(shù)計(jì)算語言和交互式環(huán)境。它以矩陣作為基本數(shù)據(jù)單位，提供了眾多的工具箱，是通用的科學(xué)計(jì)算、數(shù)值仿真及數(shù)據(jù)可視化的重要工具［12～15］。

李薩如圖程序?qū)崿F(xiàn)方法，指的是利用Matlab的.m 文件編程實(shí)現(xiàn)李薩如圖形的仿真。假設(shè)兩路振動(dòng)參數(shù)分別為振動(dòng)1 振幅為1V，頻率100Hz，初相位0°；振動(dòng)2 振幅為1V，頻率200Hz，初相位0°，設(shè)計(jì)的程序如下：

clear

k=2； %設(shè)定頻率的比

w1=2*100*pi； %設(shè)定振動(dòng)1頻率為100Hz

w2=k*w1； %設(shè)定振動(dòng)2頻率為200Hz

t=0：0.0001：6.28；

fa=0；

A1=1； %設(shè)定振動(dòng)1振幅

A2=1； %設(shè)定振動(dòng)2振幅

x=A1*sin（w1*t）； %定義振動(dòng)1

y=A2*sin（w2*t+fa）； %定義振動(dòng)2

plot（x，y）

xlabel（‘x’）；

ylabel（‘y’）；

運(yùn)行后，兩個(gè)相互垂直的簡諧振動(dòng)的合成結(jié)果如圖1所示。

圖1 李薩如的程序?qū)崿F(xiàn)

或者也可以采用Matlab 中所提供的Simulink仿真工具箱，設(shè)計(jì)一個(gè)如圖2 所示的Simulink 仿真框圖，分別設(shè)定兩個(gè)分振動(dòng)的參數(shù)，點(diǎn)擊運(yùn)行仿真按鈕，即可實(shí)現(xiàn)不同參數(shù)情況下李薩如圖形的合成。

圖2 李薩如的simulink實(shí)現(xiàn)框圖

設(shè)定參數(shù)分別為振動(dòng)1 的振幅為1V，頻率500Hz，初 相 位0rad；振 動(dòng)2 的 振 幅 為1V，頻 率300Hz，初相位0rad，點(diǎn)擊運(yùn)行仿真按鈕，仿真結(jié)果如圖3（a）所示；若將頻率分別改為500Hz 和400Hz，合成的李薩如圖形如圖3（b）所示。

圖3 李薩如Simulink合成結(jié)果

可以看出，當(dāng)頻率之比為無理數(shù)時(shí)，其合成的為不穩(wěn)定且較為復(fù)雜為不閉合的曲線，而當(dāng)它們的頻率之比為有理數(shù)時(shí)，得到的是一閉合曲線，即為李薩如圖形，與理論分析結(jié)果一致。

使用程序法或者是Simulink 仿真法都可以獲得各種情況下的李薩如圖形，但當(dāng)需要頻繁修改參數(shù)時(shí)，使用這兩種方法實(shí)現(xiàn)仿真就會(huì)變得非常復(fù)雜，對使用者的要求提高，使得學(xué)生這樣的初學(xué)者難以獨(dú)立完成。所以，如果能針對此開發(fā)出通用的圖形用戶交互界面，用戶只需輸入一些參數(shù)，就可以獲得各種情況下的李薩如圖形，對于學(xué)生來說，將會(huì)非常有意義。

4 基于GUI李薩如圖的實(shí)現(xiàn)方法

基于Matlab GUI的李薩如圖形實(shí)現(xiàn)界面如圖4所示，用戶可以根據(jù)需要輸入合適的參數(shù)，點(diǎn)擊執(zhí)行仿真按鈕，即可查看不同情況下的合成結(jié)果。

圖4 基于GUI的李薩如圖形的實(shí)現(xiàn)

在設(shè)計(jì)好的GUI軟件中，輸入不同情況下的各個(gè)參數(shù)，點(diǎn)擊執(zhí)行仿真按鈕，即可實(shí)現(xiàn)各種李薩如圖形的仿真。假設(shè)兩振動(dòng)頻率相同而相位差不同，具體的參數(shù)和仿真結(jié)果如圖5 所示，可以看出當(dāng)頻率相同時(shí)，兩個(gè)相互垂直的振動(dòng)合成結(jié)果為一橢圓，橢圓的形狀由相位差所決定，與理論分析結(jié)果一致。

圖5 頻率相同相位差不同的李薩如圖

假設(shè)當(dāng)兩振動(dòng)相位相同而頻率不同時(shí)，具體的參數(shù)和仿真結(jié)果如圖6 所示，相位不同頻率也不同的情況如圖7 所示?？梢钥闯觯?dāng)兩個(gè)分振動(dòng)的頻率為任意值時(shí)，合成的結(jié)果就不穩(wěn)定且較為復(fù)雜的不閉合曲線；而當(dāng)兩個(gè)振動(dòng)的頻率為整數(shù)比時(shí)，合成的結(jié)果就為穩(wěn)定的、閉合的曲線圖形，與程序法分析結(jié)果一致。

圖6 相位為0°頻率不同的李薩如圖

圖7 相位不同頻率不同的李薩如圖

從以上各種情況下的李薩如仿真結(jié)果可以看出，該系統(tǒng)運(yùn)行穩(wěn)定，相較于采用程序設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)李薩如的方法，基于GUI 的方法具有操作簡單，結(jié)果直觀清晰的優(yōu)點(diǎn)。

5 結(jié)語

采用Matlab GUI作為仿真平臺，實(shí)現(xiàn)了不同參數(shù)情況下的李薩如圖形實(shí)現(xiàn)方法。通過對不同情況的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象和仿真結(jié)果的比較，可以看出該系統(tǒng)運(yùn)行結(jié)果與李薩如圖形形成理論相符，具有響應(yīng)速度快，操作簡單，結(jié)果直觀形象等特點(diǎn)，使得不具備編程能力的學(xué)生也可以獨(dú)立操作。除此之外，該系統(tǒng)不受儀器和場地的限制，通過改變一些參數(shù)即可獲得不同條件下的李薩如圖形，使得理論課堂教學(xué)變得生動(dòng)形象，對促進(jìn)學(xué)生對振動(dòng)波動(dòng)的學(xué)習(xí)有積極的意義，實(shí)現(xiàn)了大學(xué)物理教學(xué)的現(xiàn)代化。