張慶建 王鵬程 趙永 許春羚
巖石的力學(xué)性態(tài)不僅表現(xiàn)出彈性、黏性和塑性,而且具有與時間相關(guān)的性質(zhì)。工程實踐表明,建筑物的破壞和失穩(wěn),并不是在開挖后立即發(fā)生的,從開始變形到最終破壞是一個與時間有關(guān)的復(fù)雜的非線性累進過程,處于長期緩慢蠕變之中。合理地描述并揭示巖石時效力學(xué)行為具有重要意義。建立巖石三軸蠕變模型是研究并預(yù)測巖體長期運行工況下變形的重要手段,因此,準(zhǔn)確進行模型參數(shù)辨識就成為關(guān)鍵一步。
目前,已經(jīng)開展了許多關(guān)于蠕變模型的研究,對模型參數(shù)辨識方法主要有:回歸反演法、最小二乘法和解析解法。徐慧寧等[1]對粉砂質(zhì)泥巖一維西原模型參數(shù)進行辨識,但并未對其中黏滯系數(shù)取值問題作詳細說明;王怡等[2]對花崗巖建立三維廣義kelvin 模型,并導(dǎo)出了黏彈性理論解析解,給出了參數(shù)識別方法。朱杰兵等[3]利用嵌入L-M 算法的最小二乘法(LM-NLSF 法)對大理巖Burgers 蠕變模型進行了優(yōu)化辨識?;貧w反演法和最小二乘法均需通過編制程序進行計算,初始值選取不當(dāng)會導(dǎo)致迭代無法收斂。解析解法采用公式推導(dǎo),使用方便,但由于巖石間的差異性和本身的非均質(zhì)性,解析解法并不能很好地反演所有蠕變曲線,本文結(jié)合蠕變曲線提出一種模型參數(shù)辨識方法——圖解法,并將解析解法與圖解法結(jié)合,進而提出一種改進解析解法。該方法能夠依據(jù)試驗蠕變曲線準(zhǔn)確辨識模型參數(shù)。考慮到泥巖蠕變變形較大,廣義kelvin 模型無法描述蠕變特性,本文通過泥巖三軸蠕變試驗,建立三維Burgers 模型,利用改進解析解法進行參數(shù)辨識。
三軸蠕變試驗所用試樣取自某工程鉆孔泥巖樣,試驗前加工成直徑50 mm、高度100 mm 的標(biāo)準(zhǔn)圓柱體試件。試驗在中水北方勘測設(shè)計研究有限責(zé)任公司TAW-2000 多功能三軸流變試驗機上進行,圍壓為3 MPa,軸壓采用分級加載進行。各級荷載持續(xù)施加的時間由試樣的應(yīng)變速率控制,每級應(yīng)力水平下蠕變試驗穩(wěn)定標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)滿足變形增量小于0.001 mm/d,且每級荷載持續(xù)時間不宜少于7 d,直至試樣發(fā)生破壞或變形急驟增加,試驗停止。
本次蠕變試驗分5級加載,軸向應(yīng)力為4~8 MPa,級差1 MPa,圖1 為低于長期強度的軸向應(yīng)力所對應(yīng)的應(yīng)變疊加曲線。從圖1 中可以看出,該泥巖的軸向應(yīng)變可以分為兩部分:一部分是瞬時應(yīng)變,即每級應(yīng)力水平施加瞬間試樣產(chǎn)生的瞬時變形;另一部分是蠕應(yīng)變,即在恒定應(yīng)力水平作用下,試樣隨時間增長的變形。蠕應(yīng)變部分由衰減蠕變階段Ⅰ和等速蠕變階段Ⅱ組成,等速蠕變階段Ⅱ可看做是蠕變速率恒定,這兩個階段所對應(yīng)的蠕應(yīng)變正是Burgers 模型所重點描述的。
圖1 泥巖軸向應(yīng)變疊加曲線
蠕變模型是把巖石等材料抽象成一系列簡單的元件(如彈簧、阻尼器等)及其組合模型來模擬巖石的蠕變特性,并建立本構(gòu)方程。
從圖1 可知,在低應(yīng)力水平下(σ1=4 MPa),泥巖蠕應(yīng)變隨時間增加而變大,即不存在明顯的起始蠕變強度;軸向應(yīng)力處于長期強度以前,可將泥巖簡化為黏彈性材料;因此,Burgers 模型能較好地反映泥巖蠕變特性。圖2 為Burgers 模型元件組合及曲線示意圖,其中E1處彈簧為彈性元件,與蠕變曲線瞬時變形有關(guān),η1處元件為黏壺牛頓體,主要在等速蠕變階段Ⅱ發(fā)揮作用,E2和η2處黏彈并聯(lián)元件為開爾文體,主要控制衰減蠕變階段Ⅰ的變形特性。通常情況下,巖石處于復(fù)雜的三維應(yīng)力狀態(tài),考慮到本次試驗為三軸蠕變試驗(σ2=σ3),因此,建立巖石在三維應(yīng)力狀態(tài)下的蠕變本構(gòu)方程具有重要意義?;趶V義胡克定律公式,通過拉式變換[2],三維Burgers 模型本構(gòu)方程可表示為
式中K——體積模量;
G1——彈性剪切模量;
G2——黏彈性剪切模量;
η1——黏彈性黏滯系數(shù);
η2——黏彈性黏滯系數(shù)。
圖2 Burgers模型
由式 1 可知,當(dāng)t=0 時,ε1t=ε0;ε0可由試驗數(shù)據(jù)得到,結(jié)合式(3)便可求得K和G1參數(shù)。式(1)中項產(chǎn)生的變形主要在蠕變曲線中等速蠕變階段Ⅱ,η1參數(shù)與該階段蠕變曲線斜率相關(guān),通過最小二乘法擬合可獲取η1參數(shù)。由圖2 可知,令t=∞,則蠕變曲線無限接近一漸近線,漸近線可表示為
式(5)兩邊取對數(shù)
式(6)可看做是t—lnq的線性回歸問題,通過最小二乘法擬合可求得G2和η2;至此便求得三維Burgers 模型本構(gòu)方程所需的全部參數(shù)。
由式(1)和圖2 可以看出,黏壺牛頓體和開爾文體隨時間的變形共同構(gòu)成總?cè)渥兞浚槐敬稳渥冊囼炛?,在衰減蠕變階段初期,黏壺牛頓體產(chǎn)生的變形僅占開爾文體變形的4%左右,到了衰減蠕變階段末期,該比例上升至約10%,而此時開爾文體已產(chǎn)生95%左右的變形;顯然衰減蠕變主要由開爾文體變形組成,等速蠕變主要由黏壺牛頓體變形組成。
圖解法就是將模型元件和蠕變曲線根據(jù)蠕變階段進行劃分,其中K、G1和η1參數(shù)的求解與解析解法相同,求解G2和η2參數(shù)時,將Burgers 體分解為廣義開爾文體和黏壺牛頓體,如圖1 所示,廣義開爾文體產(chǎn)生的變形經(jīng)過衰減蠕變階段到達j點后收斂為虛線所示,等速蠕變階段的變形則可認為由黏壺牛頓體繼續(xù)產(chǎn)生。令t=∞,則
任一時刻t所對應(yīng)的黏滯系數(shù)為
式(7)中ε∞可由試驗數(shù)據(jù)獲得,式(8)中時間t可選取衰減蠕變階段初期。由此,G2和η2便得以求解。
為避免解析解法中t—lnq線性相關(guān)性差導(dǎo)致的參數(shù)G2擬合偏差以及圖解法中η2主觀性取值問題,本文提出一種改進解析解法。改進解析解法是將解析解法與圖解法結(jié)合,首先通過圖解法辨識參數(shù)G2,然后利用優(yōu)定截距擬合法對t—lnq線性關(guān)系進行再擬合,此時通過式(6)即可求出參數(shù)η2。
以圖1 中蠕變曲線c 為例,利用解析解法對Burgers 模型進行參數(shù)辨識,反演得到的參數(shù)如表1所示,其中t—lnq線性回歸曲線如圖3 所示。
表1 Burgers模型參數(shù)反演值
將反演得到模型參數(shù)代入到式1 中,得到本構(gòu)方程的反演蠕變曲線,圖4 給出了蠕變試驗曲線和Burgers 模型反演曲線。
圖3 t—lnq關(guān)系曲線
圖4 泥巖蠕變試驗曲線與反演曲線比較(解析解法)
從圖4 可以看出,兩曲線形狀相似,在整個蠕變階段,反演曲線應(yīng)變量較試驗曲線應(yīng)變量小。這主要是由于t—lnq關(guān)系并非絕對線性,從而導(dǎo)致參數(shù)G2擬合存在偏差。
利用改進解析解法,對t—lnq線性關(guān)系進行優(yōu)定截距擬合如圖3 所示,反演得到的改進參數(shù)G2和η2見表1。將參數(shù)代入到式(1)中,重新得到反演蠕變曲線如圖5 所示。從圖5 可以看出,通過改進解析解法得到的反演曲線與蠕變試驗曲線較吻合,反演曲線對試驗曲線的擬合優(yōu)度達99%,可見反演曲線能較好地描述衰減蠕變階段和等速蠕變階段。對比圖4 和圖5 還可知,參數(shù)G2和η2是決定反演曲線的重要參數(shù),黏彈性剪切模量G2決定衰減蠕變階段變形量大小,也影響最終蠕變量,黏彈性黏滯系數(shù)η2影響衰減蠕變階段曲率,決定達到等速蠕變階段時間的長短,η2值越小,衰減蠕變階段曲率越大,達到等速階段時間越短,反之達到等速蠕變階段時間越長。
圖5 泥巖蠕變試驗曲線與反演曲線比較(改進解析解法)
通過上述Burgers 模型參數(shù)反演,驗證了改進解析解法的適用性,也驗證了Burgers 模型描述泥巖蠕變特性的正確性和合理性,為蠕變模型參數(shù)辨識提供了新思路,以便正確認識泥巖時效變形規(guī)律。
三向應(yīng)力狀態(tài)下泥巖蠕變試驗是研究工程巖體長期運行工況時效性的基礎(chǔ),也是獲取本構(gòu)模型參數(shù)進行有限元計算的重要手段。
通過模型參數(shù)辨識,改進解析解法能較好地反演模型參數(shù),并可以直觀地了解各參數(shù)的實際意義,更是深入探究了黏彈性剪切模量G2和黏彈性黏滯系數(shù)η2的重要性。同時也驗證了Burgers 模型作為泥巖蠕變模型的合理性。