原博

（山西工程職業(yè)學(xué)院，山西太原 030009）

生物數(shù)學(xué)領(lǐng)域目前對于病原體毒性適應(yīng)性進(jìn)化的一個比較合理的解釋是病原體毒性與病原體誘導(dǎo)的宿主死亡率之間存在一定的權(quán)衡關(guān)系。目前，對于單同態(tài)病原體毒性進(jìn)化機(jī)制有了較為深入的研究，但是對于雙同態(tài)病原體毒性進(jìn)化機(jī)制的研究還較少，因此有必要建立一個具體的SI1I2模型來研究雙同態(tài)病原體毒性的適應(yīng)性進(jìn)化機(jī)制。利用適應(yīng)動力學(xué)的方法來研究模型能否出現(xiàn)進(jìn)化穩(wěn)定共存的進(jìn)化效果。同時，利用進(jìn)化入侵分析的方法研究雙同態(tài)病原體毒性特征在進(jìn)化穩(wěn)定共存之后是停止進(jìn)化變成兩種具有不同毒性的病原體，還是其中一支進(jìn)化滅絕。

1 雙同態(tài)病原體的進(jìn)化穩(wěn)定策略分析

1.1 死亡率具有密度依賴的雙同態(tài)SI1I2模型

一旦病原體的毒性特征進(jìn)化到進(jìn)化分支點(diǎn)附近時，變異病原體與原駐病原體在進(jìn)化分支點(diǎn)附近可能共存并發(fā)散進(jìn)化。這種情況下，被雙同態(tài)病原體感染的宿主的種群動力學(xué)模型就是直接在單重感染的SI模型中加入被帶有毒性v2的病原體感染的感染者I2，因此可以得到模型I。

該模型中，b表示宿主的出生率，v1表示被帶有毒性v1的病原體感染的感染者的因病死亡率，v2表示被帶有毒性v2的病原體感染的感染者的因病死亡率，不同的病原體因?yàn)槎拘詖不同，相應(yīng)的傳染率β（v）也就不同。同時假設(shè)死亡率m（N）=m0+m1N仍然是線性密度依賴函數(shù)。

令模型I的右端等于零，并且令

當(dāng)滿足條件d1＞0,d2＞0,d3＞0時，可得模型Ⅰ唯一的正平衡點(diǎn)如下：

1.2 模型Ⅰ正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

由Routh-Hurwitz定理可得：所有的3×3矩陣的根都在負(fù)半平面的充要條件是當(dāng)且僅當(dāng)其跡和特征值都是負(fù)的，且M·trA-DetA＜0，其中M為A的主子式之和[1]。通過直接計(jì)算，可以得到：

1.3 雙同態(tài)病原體的進(jìn)化動力學(xué)模型

在模型Ⅰ正平衡點(diǎn)存在并且穩(wěn)定的條件下，考慮v1和v2可以共存，討論雙同態(tài)病原體毒性特征最終的進(jìn)化情況。即接下來要考慮的是兩種病原體毒性的特征v1，v2都為正的情形。當(dāng)突變是稀少的并且突變很小時，假設(shè)突變可能在任何時間出現(xiàn)在這兩種病原體中的任意一種之中，但是不能出現(xiàn)兩種病原體毒性都發(fā)生突變的情況。當(dāng)帶有突變毒性vm的病原體以較低的密度出現(xiàn)時，可得變異病原體的入侵適合度為：

帶有變異毒性vm的病原體命運(yùn)將由入侵適合度s（vm,v1,v2）來決定，毒性特征v1和毒性特征v2的進(jìn)化方向?qū)⒂删植窟x擇梯度g（v1,v2）和g2（v1,v2）來決定，其中g(shù)1（v1,v2）和g2（v1,v2）的形式如下：

由參考文獻(xiàn)[3]相關(guān)結(jié)果可知，雙同態(tài)病原體的毒性特征（v1,v2）將一步一步地進(jìn)化，當(dāng)入侵適合度大于零時，變異的病原體可以入侵并替代原駐病原體。

當(dāng)突變是稀少的且突變很小時，可知毒性特征v1和v2的進(jìn)化動力學(xué)模型如下：

其中τ代表的是進(jìn)化時間尺度，g1（v1,v2）和g2（v1,v2）分別代表相應(yīng)的局部選擇梯度，n1（v1,v2）和n2（v1,v2）分別表示毒性特征v1和v2的進(jìn)化速率，其描述了變異的過程如何影響進(jìn)化的速度。具體的來說

其中μ1和μ2表示單位時間內(nèi)每個被帶有相應(yīng)毒性的病原體感染的感染者出生的個體發(fā)生突變的概率；σ21和σ22表示被帶有相應(yīng)毒性的病原體感染的感染者的表型效應(yīng)方差；代表模型Ⅰ在正平衡態(tài)處被帶有相應(yīng)毒性的病原體感染的感染者的種群密度[4]。為了研究雙同態(tài)病原體毒性進(jìn)化的最終結(jié)果，采取以下策略。

1.4 雙同態(tài)病原體的進(jìn)化奇異策略

首先要確定出現(xiàn)雙同態(tài)的進(jìn)化奇異策略的權(quán)衡函數(shù)所滿足的條件。

因?yàn)樾甭师?（vi）,（i=1,2）既依賴于v1也依賴于v2，從條件Ⅷ可以看出，任意一個權(quán)衡函數(shù)要存在雙同態(tài)的進(jìn)化奇異策略的條件是必須在兩個不同的點(diǎn)處有相同的斜率，所以對于權(quán)衡函數(shù)是全局凹的情況和全局凸的情況下都不可能存在雙同態(tài)的進(jìn)化奇異策略。把模型Ⅰ的正平衡點(diǎn)代入條件Ⅷ，可以得到要求的兩個點(diǎn)的斜率為

1.5 雙同態(tài)病原體進(jìn)化奇異策略的收斂穩(wěn)定性和進(jìn)化穩(wěn)定性

1.5.1 進(jìn)化奇異策略的收斂穩(wěn)定性

當(dāng)滿足條件Ⅱ時，模型Ⅰ的正平衡點(diǎn)是存在并且是局部漸近穩(wěn)定的，此時如果則雅可比矩陣J的行列式值是正的，并且J的跡卻是負(fù)的[8]，所以（v1*,v2*）是局部收斂穩(wěn)定的。因此如果權(quán)衡函數(shù)在v1*和v2*兩點(diǎn)處是局部凹的，那么雙同態(tài)的奇異策略是局部收斂穩(wěn)定的。

1.5.2 進(jìn)化奇異策略的進(jìn)化穩(wěn)定性

當(dāng)滿足條件

從定理1可以看出，如果權(quán)衡函數(shù)是凹-凸-凹形式的，并且在奇異策略處的凸性比臨界函數(shù)更弱，那么進(jìn)化分支現(xiàn)象是可能出現(xiàn)的，當(dāng)進(jìn)化分支發(fā)生以后，如果存在一個雙同態(tài)的進(jìn)化奇異策路是收斂穩(wěn)定的，那么通過進(jìn)化分支出現(xiàn)的雙同態(tài)是一個穩(wěn)定共存的雙同態(tài)，這兩種不同毒性的病原體可以長期進(jìn)化穩(wěn)定共存。因此最終的進(jìn)化結(jié)果包含兩種不同毒性的病原體，且這兩種病原體是可以長期穩(wěn)定共存的。

1.6 雙同態(tài)病原體進(jìn)化穩(wěn)定共存的例子

為了驗(yàn)證模型Ⅵ可能出現(xiàn)的雙同態(tài)病原體的進(jìn)化穩(wěn)定共存的現(xiàn)象，假設(shè)宿主死亡率是密度依賴的線性函數(shù)，并取權(quán)衡函數(shù)為：

并且必須保證權(quán)衡函數(shù)β（v）是隨著v單調(diào)增加的，同時β（v）還滿足條件Ⅱ。這時候權(quán)衡函數(shù)是凹-凸-凹形式的，且此時在奇異策略A處凸性比臨界函數(shù)更弱，從圖1a可以發(fā)現(xiàn)奇異策略A=0.360是收斂穩(wěn)定，但不是進(jìn)化穩(wěn)定的，因此在凸區(qū)域的部分會出現(xiàn)進(jìn)化分支的現(xiàn)象。進(jìn)化分支出現(xiàn)以后，依賴于初始特征值，這兩種病原體的毒性特征將會按照模型Ⅵ進(jìn)化。通過數(shù)值模擬，可以在特征空間中找到2個進(jìn)化奇異策略E1和E2（如圖1a）。因此由定理1可以看出雙同態(tài)的進(jìn)化奇異策略E1和E2都是收斂穩(wěn)定且是進(jìn)化穩(wěn)定[9]。

典型的特征進(jìn)化圖如圖1a所示，奇異策略A=0.360是收斂穩(wěn)定但不是進(jìn)化穩(wěn)定的。因此，在A的附近，進(jìn)化分支會在灰色的區(qū)域發(fā)生。進(jìn)化分支發(fā)生以后，毒性特征只依賴于分支時的初始特征值，進(jìn)化收斂到一個雙同態(tài)的進(jìn)化奇異策略E1和E2。相應(yīng)的模擬特征進(jìn)化樹的圖如圖1b所示。當(dāng)初始特征值v=0.35時，在奇異策略A的附近，原駐毒性的病原體分支成2種不同毒性的病原體，其中一支的毒性特征從初始值開始增加，而另一支的毒性特征從初始值開始減小，并最終收斂到進(jìn)化穩(wěn)定的平衡點(diǎn)（v2*，v2*）=（0.22,0.46）。黑色實(shí)線代表毒性特征v1的等斜線；黑色虛線代表毒性特征v2的等斜線，而且當(dāng)毒性的特征發(fā)生進(jìn)化時，被相應(yīng)毒性的病原體感染的感染者的種群密度在圖1c中表示出來，圖1d中表示的是當(dāng)毒性特征進(jìn)化時的易感者在平衡態(tài)處的種群密度。由此，可以看到雙同態(tài)的病原體可以長期進(jìn)化并穩(wěn)定共存。

圖1 雙同態(tài)病原體進(jìn)化穩(wěn)定共存實(shí)例

2 結(jié)論

本文主要研究了雙同態(tài)病原體毒性特征的進(jìn)化機(jī)制，首先建立了雙同態(tài)病原體的種群動力學(xué)模型，并證明了模型正平衡點(diǎn)存在和穩(wěn)定的條件；在此條件下進(jìn)一步推導(dǎo)出雙同態(tài)病原體的進(jìn)化動力學(xué)模型，得出雙同態(tài)病原體穩(wěn)定共存的條件，通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了本文給出的權(quán)衡函數(shù)的條件下雙同態(tài)病原體進(jìn)化穩(wěn)定共存的進(jìn)化現(xiàn)象。