高濤 何秀麗

0 引言

圖像去噪是圖像處理中的基本問題,其目標是從含噪的觀測圖像中估計出理想圖像.通常這是一個不適定的反問題,大量文獻對該問題進行了深入的研究,但主要針對的是高斯白噪聲[1].然而,如CCD(電荷耦合元件)固態(tài)光電檢測器陣列、天文成像、計算X 射線成像(CR)、熒光共焦顯微成像等,獲取的圖像往往受到量子噪聲的污染,量子噪聲一般為非高斯白噪聲,而是服從于泊松分布的泊松噪聲y～P(y):

(1)

其中,P(y)為泊松噪聲的概率密度函數(shù)．另外,式(1)還體現(xiàn)出泊松噪聲強度與方差是信號依賴的.統(tǒng)計上,亮度大的像素受到更多的干擾,因此去除泊松噪聲是一個困難的任務(wù)．迄今為止,有許多學者在灰色圖像的泊松去噪方面做出了大量工作[2]．但是,針對彩色圖像(RGB)的泊松去噪研究至今很少.

小波分析作為近年來發(fā)展起來的一種新的信號分析方法,兼有時域分析和頻域分析的特點,在分析信號的去噪方面有其獨特的優(yōu)點．小波變換以其特有的多分辨率性、去相關(guān)性和選基靈活性等特點,使得它在圖像去噪方面大有可為．圖像信號與噪聲信號經(jīng)過小波變換后,在不同的分辨率下呈現(xiàn)出不同規(guī)律.在不同的分辨率下,設(shè)定閾值門限,調(diào)整小波系數(shù),就可以達到小波去噪的目的．小波去噪的方法有很多種,本文選用的是小波閾值去噪．特別的,本文選擇小波緊框架[3],因為它的多分辨率特性和冗余有助于算法的實現(xiàn)和圖像的稀疏表示[4-5].

本文基于Goldstein等[6]的研究工作,提出了一種基于小波緊框架的彩色圖像泊松去噪模型．該模型是由保真項和正則項構(gòu)成的最小凸問題．基于泊松噪聲的概率密度函數(shù)特征,保真項為賦權(quán)的二范數(shù)項,與此同時,本文在正則項中引入小波緊框架,從而更好地保持了圖像的棱角細節(jié)．緊接著,本文又提出了解決上述模型的重新賦權(quán)的split Bregman 算法．在本文最后,又給出了該算法的數(shù)值實驗結(jié)果,結(jié)果顯示該算法具有一定的實用性和應(yīng)用推廣價值.

1 背景知識

圖像去噪需要較好地保持圖像邊界等細節(jié)信息．本文將含有噪聲的彩色圖像看作一個M維的向量f∈RM,具體表達形式如下:

f=u+ε,

(2)

其中,u為干凈彩色圖像,ε是噪聲干擾項．f=(f1,f2,f3),u=(u1,u2,u3)分別代表了RGB 3個通道．并且,對于所加的白高斯噪聲,方差為σ2的獨立正態(tài)分布．采用經(jīng)典的最大后驗概率P(u|f)估計,圖像去噪的變分模型通常是保真項和正則項之和的最小化:

其中,λ是一個正數(shù),用于平衡保真項F(u)和正則項G(u)．保真項是關(guān)于噪聲的特性,由似然函數(shù)得到,數(shù)據(jù)的保真項可以保持修復(fù)后的圖像u與觀察的圖像f足夠接近,否則有用的信息可能在求解模型時丟失．正則項G(u)是基于u的先驗假設(shè)得出的,而懲罰項l1的標準解代表了小波變換的系數(shù)[7]．因此,下面的變分模型主要研究高斯白噪聲圖像恢復(fù):

這里‖.‖1表示l1范數(shù),W是一個小波變換[7].

假定觀察數(shù)據(jù)f∈RM含有泊松噪聲,即

f～P(u+c),

給定u,可以得到觀測數(shù)據(jù)f的概率：

這里,ui表示u的第i行元素．根據(jù)泊松噪聲的性質(zhì),可以得出f的期望和方差：

E(f|u)=var(f|u)=u.

2 泊松去噪的加權(quán)最小二乘法

2.1 小波框架

小波框架是一族冗余的具有多分辨率分析(MRA)的系統(tǒng),它在圖像處理等領(lǐng)域已經(jīng)有很好的應(yīng)用．小波框架的構(gòu)造可通過 UEP(不等差錯保護)方法來生成[8].

通過小波緊框架系統(tǒng)的濾波器,可以生成快速緊框．矩陣W由J+1個子濾波器W0,W1,…,WJ構(gòu)成．其中,W0是低通濾波器,其余的均是高通濾波器．相應(yīng)地,由統(tǒng)一展成原則,WT是快速緊框架重構(gòu)算子,且WTW=I對任何圖像u均有WTWu=u.

2.2 模型和算法

根據(jù)式(2),可以得到泊松噪聲的表達式如下:

ε=f-u.

假設(shè)給定u,可以得出期望E(ε|u)=0和方差var(ε|u)=u.

接下來,用高斯噪聲[9]近似估計泊松噪聲ε,即ε服從正態(tài)分布N(0,u):

P(ε|u)

(3)

其中,∑是協(xié)方差矩陣．由于每個像素上的噪聲是相互獨立的,因此可以得到

∑=diag(u),

其中,diag(u)是對角矩陣．運用極大似然估計,取式(3)的負對數(shù),得到保真項為

(4)

(5)

通過假設(shè)u>0,所以∑-1是正定的．式(5)可以作為偏差原理去選擇正則化參數(shù)λ．然而,由于保真項中含有一個未知的權(quán)重u,所以該問題十分難解．因此需要近似u[10].

最簡單的做法是將觀察到的數(shù)據(jù)f來近似未知的權(quán)重u,從而得到如下表達式:

但是,這種近似是粗糙的或者是不精確的．本文提出一種重新賦權(quán)的split Bregman算法可以更精確地求解未知量u.

結(jié)合框架的稀疏化和非負性的約束,可以得到彩色圖像的泊松去噪模型:

其中

這一方法可以直接應(yīng)用到求解非線性最小二乘法的稀疏正則化問題,為此平滑的正則化項l1范數(shù)可以通過計算梯度獲得．筆者感興趣的是可以用加權(quán)最小二乘結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢,并利用提出的高效稀疏正規(guī)化方案,例如split Bregman方法[11]來實現(xiàn)．假設(shè)有一個迭代算法可以求解上式,并且求得的結(jié)果是序列uk．如果uk收斂到u*,通過固定u*可以解決下列最小化問題:

(6)

為了接近先前的迭代而使結(jié)果穩(wěn)定,可以在u和d的更新中增加一個鄰近項．給定γ1,γ2,具體步驟如下:

(7)

當γ1=γ2=0時,它就是之前的式(6).

算法1更詳細地描述了式(7)．另外,需特別注意的是,第一步可通過梯度方法投影到非負象限解決．在實踐中,多幾次迭代足以獲得一個合理的結(jié)果.

3 數(shù)值實驗

下面,將泊松噪聲模型數(shù)值試驗結(jié)果與未加噪聲的原始圖像進行比較從而證明算法的合理性．其中在干凈的圖像中添加泊松噪聲使用的是Matlab中的‘poissrnd’命令．所有的實驗選擇分段線性B樣條．對應(yīng)的濾波器離散形式[12]如下:

圖1是試驗圖像進行算法執(zhí)行的結(jié)果,上層是原始圖像,中間是加泊松噪聲后的圖像,下層為算法迭代20次恢復(fù)的圖像．圖2是試驗迭代次數(shù)與對應(yīng)的PSNR的值.

由圖1可以直觀地看出,本文所做的3組數(shù)值實驗的去噪效果均非常好．彩色圖像中的具體細節(jié)得到了有效的保持.

由圖2可以看出,算法的PSNR值均在迭代10次左右達到最大,最大值均接近27．由此可以看出,算法不但去噪效果好,而且去噪效率極高,從而在具體的生產(chǎn)實際中有著重要的推廣價值.

算法1 泊松噪聲去噪的重新賦權(quán)l(xiāng)2范數(shù)split Bregman算法初始化:u0=0,d0=Wf,b0=0,k=1,0是初始的協(xié)方差矩陣.當 ‖uk-2-uk-1‖2>δ或k=1運行,uk+1=argminu≥012‖u-f‖2-1k-1+μ2‖Wu-dk-1+bk-1‖22+γ12‖u-uk-1‖22,dk=sign μ(Wuk+bk-1)+γ2dk-1μ+γ2 ·maxμ(Wuk-1+bk-1) +γ2dk-1-λ/(μ+γ2),0 ,bk=bk-1+Wuk-dk,∑k=diag(uk),k=k+1.結(jié)束

4 結(jié)語

本文提出了一種基于小波緊框架的彩色圖像泊松去噪模型．該模型是由保真項和正則項構(gòu)成的變分問題．基于泊松噪聲的概率密度函數(shù)特征,保真項為賦權(quán)的二范數(shù)項,與此同時,本文在正則項中引入小波緊框架,從而更好地保持了圖像的棱角細節(jié)．緊接著,本文又提出了解決上述模型的重新賦權(quán)的split Bregman算法．最后,又給出了該算法的數(shù)值實驗結(jié)果,結(jié)果顯示該算法具有一定的實用性和應(yīng)用推廣價值.