顧 倩，夏 恒，何 軍

(上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海 200240)

生命線工程系統(tǒng)是對(duì)維系城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展和社會(huì)生活具有重大影響的基礎(chǔ)性工程設(shè)施系統(tǒng)，如交通、通訊、供水、供電、煤氣和輸油等工程系統(tǒng)。根據(jù)網(wǎng)絡(luò)理論，生命線工程系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)模型由四個(gè)要素構(gòu)成，即節(jié)點(diǎn)、線路、流量和賦權(quán)形式。而根據(jù)網(wǎng)絡(luò)賦權(quán)形式的不同，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可分為邊權(quán)網(wǎng)絡(luò)(只考慮邊型生命線構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的地震失效)、點(diǎn)權(quán)網(wǎng)絡(luò)(只考慮節(jié)點(diǎn)型生命線構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的地震失效)和一般賦權(quán)網(wǎng)絡(luò)(同時(shí)考慮邊型和節(jié)點(diǎn)型生命線構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的地震失效)。

在生命線地震工程中，將系統(tǒng)的抗震可靠度定義為地震作用下生命線系統(tǒng)拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)中源點(diǎn)到終點(diǎn)的連通可靠度。一般的生命線工程系統(tǒng)往往具有多個(gè)源點(diǎn)和多個(gè)終點(diǎn)，如上海供水管網(wǎng)系統(tǒng)包含多個(gè)水廠和多個(gè)用戶端。對(duì)于這一問題，可通過設(shè)置一個(gè)單向聯(lián)結(jié)各源點(diǎn)或各終點(diǎn)的虛擬節(jié)點(diǎn)的辦法將其轉(zhuǎn)化為兩終端問題[1]。此時(shí)，兩虛擬節(jié)點(diǎn)的連通可靠度即為原多源多匯系統(tǒng)的連通可靠度。為了簡(jiǎn)化分析過程，本文僅考慮單源點(diǎn)到單終點(diǎn)的兩終端生命線系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)連通可靠度問題。生命線工程網(wǎng)絡(luò)模型規(guī)模龐大、類型多樣，導(dǎo)致其具有很大的復(fù)雜性。另外，地震作用下生命線工程還具有失效相關(guān)性，包括兩個(gè)方面：第一，地震動(dòng)的空間相關(guān)性，即同一地震輸入對(duì)不同元件的破壞是具有相關(guān)性的；第二，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式導(dǎo)致的失效相關(guān)性，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)的失效會(huì)引起此節(jié)點(diǎn)相聯(lián)邊的失效，反之，與一節(jié)點(diǎn)相聯(lián)的所有邊的失效也相當(dāng)于此節(jié)點(diǎn)的失效。因此，要進(jìn)行生命線工程網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)抗震可靠度估計(jì)的研究，難點(diǎn)就在于其計(jì)算復(fù)雜性和失效相關(guān)性。

一方面，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可靠度的計(jì)算問題是典型的NP-Hard 問題，計(jì)算量呈現(xiàn)非多項(xiàng)式增長(zhǎng)的趨勢(shì)。在過去的幾十年中，國(guó)內(nèi)外學(xué)者圍繞著如何降低網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可靠度的計(jì)算量問題展開了一系列的研究，由此產(chǎn)生的方法主要可分為隨機(jī)模擬法和概率解析法。早期的Monte Carlo 隨機(jī)模擬方法，在大型失效獨(dú)立網(wǎng)絡(luò)可靠性分析中，往往能取得較好的效果。但是，這一算法在計(jì)算工作量和算法收斂性方面存在一定的局限性[2?3]。概率解析算法是通過應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)分析技術(shù)，建立精確或近似的數(shù)學(xué)模型。在概率解析算法中，較為成熟的方法有不交積之和算法[4?5]、因子分解定理算法[6?8]、二分決策圖算法[9?10]以及最小路遞推分解算法[1]。這些算法在應(yīng)用中有各自的適用范圍，且求解效率不盡相同。本文的研究將以遞推分解思想為基礎(chǔ)。該思想最早于1979 年由Dotson 等[11]提出，對(duì)降低網(wǎng)絡(luò)算法的空間復(fù)雜性研究起到了巨大的推動(dòng)作用。后續(xù)又經(jīng)過了一系列的發(fā)展，2002年，李杰和何軍[1,12?13]正式提出了遞推分解算法(RDA)，有效地降低了網(wǎng)絡(luò)算法的復(fù)雜性，并且能夠用于大型網(wǎng)絡(luò)的可靠度估計(jì)。RDA 算法的詳細(xì)介紹，將在本文第1 節(jié)中給出。

另一方面，系統(tǒng)中元件失效具有相關(guān)性。在生命線工程系統(tǒng)抗震可靠度的研究中，要考慮元件失效相關(guān)的情況，需要解決的是不交最小路(或不交最小割)事件的聯(lián)合失效概率的計(jì)算問題。解決這類問題的思路是，在已知基本隨機(jī)變量數(shù)值特征的基礎(chǔ)上，結(jié)合結(jié)構(gòu)功能函數(shù)，計(jì)算相關(guān)失效系統(tǒng)的可靠度。Copula 是建立多維隨機(jī)變量聯(lián)合分布的有效方法[14]，Gumbel Copula 就是工程中常用的一種阿基米德型Copula。1981 年，Ang[15]提出了概率網(wǎng)絡(luò)估算技術(shù)(PNET 方法)，該方法將所有主要失效模式按彼此相關(guān)系數(shù)的大小分成若干組，在每一組中選出一個(gè)失效概率最大的失效模式作為代表模式，然后假定各代表失效模式相互獨(dú)立，再來估算網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的失效概率。2000 年，Philippe[16]提出串聯(lián)系統(tǒng)可靠度的一階矩方法，該方法采用Cholesky 分解方法把結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的基本隨機(jī)變量進(jìn)行分解，結(jié)果表明Maincon 算法的分析結(jié)果精度較高。2013 年，Won-Hee Kang 等[17]提出了SCM 算法，該算法是一種快速可靠性評(píng)價(jià)算法，主要由“與”合并和“或”合并兩種運(yùn)算組成，通過這兩種運(yùn)算將網(wǎng)絡(luò)化簡(jiǎn)直至合并為一個(gè)點(diǎn)[18]，從而由最終化簡(jiǎn)得到的節(jié)點(diǎn)可靠度估計(jì)系統(tǒng)可靠度。

本文基于原RDA 算法，先對(duì)原來分別按照邊權(quán)、點(diǎn)權(quán)和一般賦權(quán)，需要運(yùn)用對(duì)應(yīng)程序去計(jì)算系統(tǒng)可靠度的情況進(jìn)行整合簡(jiǎn)化，發(fā)展出同時(shí)適用于三種賦權(quán)形式的統(tǒng)一RDA 算法。進(jìn)一步在統(tǒng)一RDA 算法的基礎(chǔ)上，引入SCM 和Gumbel Copula函數(shù)兩種方法分別計(jì)算RDA 算法中不交最小路和不交最小割的聯(lián)合失效概率，發(fā)展出相依失效生命線工程系統(tǒng)抗震可靠度估計(jì)的統(tǒng)一RDA 算法。最后，以一假想電力系統(tǒng)為例，將其簡(jiǎn)化為一36 節(jié)點(diǎn)格柵型拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)，估計(jì)該網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)相依失效的動(dòng)力抗震可靠度，從而驗(yàn)證本文方法的有效性。

1 統(tǒng)一RDA 算法

本文以文獻(xiàn)[1]提出的RDA 算法為基礎(chǔ)，該算法通過引入結(jié)構(gòu)函數(shù)遞推分解的概念，采用實(shí)時(shí)不交化的研究方法，能夠有效降低網(wǎng)絡(luò)算法的復(fù)雜性。然而，對(duì)于邊權(quán)、點(diǎn)權(quán)和一般賦權(quán)三種不同賦權(quán)形式的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，RDA 算法的推導(dǎo)過程有所區(qū)別，實(shí)際計(jì)算時(shí)也需要對(duì)不同形式的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)采用相應(yīng)的算法程序，過程稍顯繁瑣。本章先對(duì)原RDA 算法的推導(dǎo)過程進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹，在此基礎(chǔ)上，將其三部分程序整合化簡(jiǎn)，發(fā)展出統(tǒng)一RDA 算法。最后，通過簡(jiǎn)單算例，驗(yàn)證統(tǒng)一RDA算法的正確性。

1.1 原RDA 算法簡(jiǎn)介

一般來說，生命線工程系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)分析模型是一個(gè)兩狀態(tài)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)，即元件和系統(tǒng)只有安全和失效兩個(gè)狀態(tài)，用系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)φ(G)來表示，φ(G)=1 表示系統(tǒng)處于安全狀態(tài)，φ(G)=0則表示系統(tǒng)處于失效狀態(tài)。

1.1.1 邊權(quán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

定義系統(tǒng)G=(V,E)中從一起始點(diǎn)到一終止點(diǎn)的所有最小路中路徑最短的一條為系統(tǒng)G=(V,E)安全的一個(gè)基本事件A1=a1,1a1,2···a1,m1，則系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)：

式中：Ak為系統(tǒng)的第k條最小路；K為系統(tǒng)的所有最小路數(shù)；a1,m1為A1中第m1條邊。

由布爾運(yùn)算有：

由互斥和公式：

將式(3)代入式(2)中，由布爾簡(jiǎn)化得到：

式中，Gi為從網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)G=(V,E) 中去掉邊a1,i后得到的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)圖，即由a1,1a1,2···1,i決定的系統(tǒng)子圖。

繼續(xù)對(duì)各連通子圖分別尋找最短最小路，并按上述格式分解，運(yùn)用布爾運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)與歸并，則在最終分解完畢，不再存在連通子圖時(shí)，有：

式中：ci為第i個(gè)連通子圖結(jié)構(gòu)函數(shù)前的系數(shù)；Ai為 第i個(gè) 連 通 子 圖 的 一個(gè)最短最小路；mnc為系統(tǒng)所有連通子圖數(shù)；Li(i=2,3,···,mnc)為歸并運(yùn)算后的不交最小路。

若令L1=A1，則式(5)可以寫為更為一般的形式：

1.1.2 點(diǎn)權(quán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

點(diǎn)權(quán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的RDA 算法與邊權(quán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的推導(dǎo)過程大致相同，但在最小路的生成和遞推生成子系統(tǒng)圖時(shí)有所區(qū)別。RDA 算法采用寬度優(yōu)先搜索生成系統(tǒng)或各子系統(tǒng)的最小路，此時(shí)的最小路為頂點(diǎn)最小路。在點(diǎn)權(quán)網(wǎng)路系統(tǒng)中，此時(shí)寬度優(yōu)先搜索生成的最小路就是真實(shí)的點(diǎn)最小路，不需要再對(duì)其進(jìn)行吸收歸并運(yùn)算。

遞推分解生成點(diǎn)的不交最小路后，點(diǎn)權(quán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可靠度為：

因此，點(diǎn)權(quán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)除了網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可靠度和網(wǎng)絡(luò)失效概率表達(dá)式與邊權(quán)有所不同，其余均與邊權(quán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)一致。

1.1.3 一般賦權(quán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

一般賦權(quán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的RDA 算法比邊權(quán)和點(diǎn)權(quán)更為復(fù)雜。在一般賦權(quán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，頂點(diǎn)和邊可以同時(shí)存在失效狀態(tài)。網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)頂點(diǎn)的失效，將導(dǎo)致與此頂點(diǎn)相聯(lián)的邊失去連接功能，實(shí)際上相當(dāng)于此頂點(diǎn)的相連邊也發(fā)生了失效；反過來，與一頂點(diǎn)相連的所有邊的失效也相當(dāng)于此頂點(diǎn)的失效。反映在不交最小路和不交最小割上，頂點(diǎn)和邊的狀態(tài)為相依隨機(jī)事件,不交最小路和不交最小割事件的發(fā)生概率不能再采用元件失效獨(dú)立假定下的計(jì)算公式，而是需要計(jì)算相依隨機(jī)事件的聯(lián)合失效概率。

一般賦權(quán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的RDA 算法采用了Torrieri[19]在1994 年提出的一種計(jì)算一般賦權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)不交最小路發(fā)生概率的方法，該方法把頂點(diǎn)可靠度嵌入邊中，使一般賦權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)等價(jià)變換為獨(dú)立失效的邊權(quán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，通過計(jì)算獨(dú)立失效邊權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)不交邊最小路的發(fā)生概率，得到一般賦權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)不交最小路的發(fā)生概率，從而避免了聯(lián)合失效概率的計(jì)算。

因此，對(duì)于一個(gè)一般賦權(quán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，先采用獨(dú)立邊權(quán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的遞推分解算法找到所有的不交最小路和不交最小割，再對(duì)于每一條不交最小路和不交最小割，用Torrieri 提出的方法計(jì)算發(fā)生概率，最后得到系統(tǒng)可靠度，具體過程如下。

1.2 統(tǒng)一RDA 算法

原RDA 算法的推導(dǎo)過程表明：系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)不必通過求出系統(tǒng)所有最小路來建立，而是可以通過系統(tǒng)的一個(gè)最小路分解，來遞推下一個(gè)互斥最小路，并且由過程中產(chǎn)生的不連通子圖，可以給出互補(bǔ)結(jié)構(gòu)函數(shù)，從而利用概率不等式計(jì)算給出的系統(tǒng)可靠度的上、下界，實(shí)時(shí)估計(jì)系統(tǒng)連通可靠度的近似值。進(jìn)一步地，結(jié)合計(jì)算機(jī)編程，可以大幅降低大型網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可靠度計(jì)算的復(fù)雜性。

生命線工程網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)存在單向邊和雙向邊，區(qū)別在于該邊的兩個(gè)頂點(diǎn)是否有向。在網(wǎng)絡(luò)圖建模時(shí)，以鄰接向量矩陣作為網(wǎng)絡(luò)圖的存貯方式，將雙向邊拆分成兩條單向邊，此時(shí)單向邊或雙向邊就可以在鄰接向量矩陣中進(jìn)行區(qū)分。

由于三種賦權(quán)形式的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的RDA 算法推導(dǎo)過程有所不同，原RDA 算法的計(jì)算程序也分成三部分，在計(jì)算時(shí)，三種賦權(quán)形式的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)需要輸入的條件也不同：邊權(quán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)由于頂點(diǎn)永遠(yuǎn)安全，默認(rèn)各頂點(diǎn)失效概率為0，只需要輸入各邊可靠度以及網(wǎng)絡(luò)的鄰接向量矩陣；同理，點(diǎn)權(quán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)默認(rèn)各邊失效概率為0，只需要輸入各節(jié)點(diǎn)可靠度以及網(wǎng)絡(luò)的鄰接向量矩陣；一般賦權(quán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)則需要輸入各邊可靠度、各節(jié)點(diǎn)可靠度以及網(wǎng)絡(luò)的鄰接向量矩陣。

為了簡(jiǎn)化實(shí)際運(yùn)用中的計(jì)算過程，希望將三部分程序合為一個(gè)。根據(jù)三種賦權(quán)形式網(wǎng)絡(luò)的特點(diǎn)，本文在原RDA 算法的基礎(chǔ)上，發(fā)展出統(tǒng)一RDA 算法。

以一般賦權(quán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的RDA 算法程序?yàn)檩d體，將邊權(quán)和點(diǎn)權(quán)的計(jì)算程序歸并入一般賦權(quán)程序中，操作方法如下：在計(jì)算邊權(quán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可靠度時(shí)，采用一般賦權(quán)程序，其中各邊可靠度和網(wǎng)絡(luò)鄰接向量矩陣的輸入與邊權(quán)的輸入相同，各節(jié)點(diǎn)可靠度均取為1，表示此時(shí)各節(jié)點(diǎn)是絕對(duì)安全的，這樣也符合邊權(quán)系統(tǒng)的定義。同理，用一般賦權(quán)程序計(jì)算點(diǎn)權(quán)系統(tǒng)時(shí)，各節(jié)點(diǎn)可靠度和網(wǎng)絡(luò)鄰接向量矩陣的輸入與點(diǎn)權(quán)的輸入相同，各邊可靠度均取為1。

1.3 算例驗(yàn)證

為了驗(yàn)證統(tǒng)一RDA 算法的正確性，采用下圖1所示網(wǎng)絡(luò)，分別計(jì)算邊權(quán)程序、點(diǎn)權(quán)程序和一般賦權(quán)程序退化的邊權(quán)、點(diǎn)權(quán)系統(tǒng)的可靠度結(jié)果，見表1，對(duì)比驗(yàn)證。

圖1 17 節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 17-node network structure

表1 17 節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)可靠度計(jì)算結(jié)果Table 1 Reliability calculation results of 17-node network system

該系統(tǒng)有17 個(gè)節(jié)點(diǎn)，32 條邊，系統(tǒng)的源點(diǎn)和終點(diǎn)分別為1 和17，邊或節(jié)點(diǎn)的可靠度均取為0.9。

程序計(jì)算結(jié)果表明：由統(tǒng)一RDA 算法退化的邊權(quán)、點(diǎn)權(quán)與原邊權(quán)、點(diǎn)權(quán)算得的可靠度結(jié)果完全一致，但不交最小路數(shù)與不交最小割數(shù)不同，而與一般賦權(quán)一致。其中，統(tǒng)一RDA 算法退化的點(diǎn)權(quán)算得的不交最小路數(shù)與不交最小割數(shù)與原點(diǎn)權(quán)算法相差較大，而統(tǒng)一RDA 算法退化的邊權(quán)算得的不交最小路數(shù)與不交最小割數(shù)與原邊權(quán)算法相近，統(tǒng)一RDA 算法的計(jì)算量略有增大。

綜上所述，原RDA 算法以邊權(quán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)為主要研究對(duì)象，進(jìn)行了詳細(xì)的遞推分解過程的推導(dǎo)，給出完整的可用于計(jì)算邊權(quán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可靠度的算法。而點(diǎn)權(quán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)和一般賦權(quán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的RDA 算法均以邊權(quán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)為基礎(chǔ)，結(jié)合自身特點(diǎn)略有改動(dòng)。而由于三種賦權(quán)形式網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)RDA算法的區(qū)別，與之對(duì)應(yīng)的計(jì)算程序也分成三個(gè)。為了簡(jiǎn)化計(jì)算過程，以一般賦權(quán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的RDA算法程序?yàn)檩d體，將邊權(quán)和點(diǎn)權(quán)的計(jì)算程序歸并入一般賦權(quán)程序中，又將三部分整合為一體，發(fā)展出統(tǒng)一RDA 算法，不僅使用更加方便，也使RDA 算法程序更加完整緊湊。

2 相依失效工程網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)抗震可靠度估計(jì)的RDA 算法

在同一震源下，由于生命線工程結(jié)構(gòu)各設(shè)備間往往存在相互連接的關(guān)系，因此實(shí)際上工程網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)是失效相關(guān)的。本章研究相依失效工程網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)抗震可靠度的估計(jì)問題，在統(tǒng)一RDA 算法的基礎(chǔ)上，實(shí)際上就是研究不交最小路和不交最小割的聯(lián)合概率計(jì)算問題，其求解過程包含系統(tǒng)元件(結(jié)構(gòu))極值響應(yīng)邊緣分布模型估計(jì)[20?21]和極值響應(yīng)聯(lián)合分布模型估計(jì)兩部分。

為了有效解決不交最小路(割)的聯(lián)合概率計(jì)算問題，本文先引入移位廣義對(duì)數(shù)正態(tài)分布(Shifted Generalized Lognormal Distribution，簡(jiǎn)稱SGLD)模型建立結(jié)構(gòu)荷載效應(yīng)的邊緣分布函數(shù)，再分別采用SCM 和Gumbel Copula，建立結(jié)構(gòu)荷載效應(yīng)的聯(lián)合分布函數(shù)，計(jì)算聯(lián)合失效概率。最后，將算得的不交最小路和不交最小割的聯(lián)合概率嵌入統(tǒng)一RDA 算法，從而有效估計(jì)相依失效生命線工程網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的可靠度。

2.1 基于SGLD 模型的邊緣分布函數(shù)

SGLD 是一種四階矩概率模型，不僅具有確定的概率密度函數(shù)表達(dá)式和累積分布函數(shù)表達(dá)式，而且具備較廣的偏態(tài)系數(shù)-峰度系數(shù)空間[22]，因此，可用來模擬大多數(shù)的函數(shù)類型?；赟GLD模型，可給出地震作用下結(jié)構(gòu)響應(yīng)邊緣分布的尾部估計(jì)。

SGLD 的累積分布函數(shù)的理論表達(dá)式為：

2.2 基于SCM 的不交最小路(割)的聯(lián)合概率計(jì)算

SCM 是多維正態(tài)分布的一種新的計(jì)算方法，其基本思想是把N維正態(tài)分布函數(shù)看成由N個(gè)具有邏輯關(guān)系的事件組成的系統(tǒng)的可靠概率，通過依次把兩個(gè)具有邏輯關(guān)系的事件組合成一個(gè)復(fù)合事件，最終將整個(gè)系統(tǒng)復(fù)合成一個(gè)總事件，通過總復(fù)合事件的可靠度指標(biāo)來計(jì)算多維正態(tài)分布的聯(lián)合概率函數(shù)值。

SCM 的計(jì)算步驟如下：

2.3 基于Gumbel Copula 的不交最小路(割)的聯(lián)合概率計(jì)算

本文采用單一參數(shù)多變量Gumbel Copula，主要需要估計(jì)其參數(shù)θ?；趦伤疁?zhǔn)方法估計(jì)參數(shù)時(shí)的反應(yīng)樣本，由矩方法的基本思想，讓基于樣本的Kendall’s tau 和基于總體的Kendall’s tau 相等，先得到等級(jí)相關(guān)系數(shù)Kendall’s tau，進(jìn)而再計(jì)算得到參數(shù)θ。

對(duì)于n維Gumbel CopulaCθ(u)，u=(u1,u2,···,un)，其樣本一致性系數(shù)Kendall’s tau 的計(jì)算公式為：

2.4 相依失效生命線工程系統(tǒng)抗震可靠度估計(jì)的統(tǒng)一RDA 算法

對(duì)于相依失效生命線工程系統(tǒng)的可靠度估計(jì)問題，先由統(tǒng)一RDA 算法找到所有的不交最小路和不交最小割，再對(duì)于每一條不交最小路和不交最小割，考慮相依失效，采用SCM 或Gumbel Copula計(jì)算聯(lián)合失效概率，最后回到統(tǒng)一RDA 算法，估計(jì)整個(gè)系統(tǒng)的抗震可靠度。同時(shí)，結(jié)合本文第二章，此方法也可退化應(yīng)用于相依失效的邊權(quán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)和點(diǎn)權(quán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。

因此，本文的方法可用于三種賦權(quán)形式的相依失效工程網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的抗震可靠度估計(jì)，使用范圍廣，精確度高，具有廣闊的應(yīng)用前景。

3 算例分析

在各類生命線工程系統(tǒng)中，區(qū)域電力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的地震破壞分析具有代表性。相對(duì)于電力系統(tǒng)中的工程結(jié)構(gòu)和高壓電器設(shè)備而言，輸電線路的地震破壞較輕，因此，當(dāng)不考慮電力系統(tǒng)中輸電線路的地震失效時(shí)，電力系統(tǒng)被認(rèn)為是一個(gè)點(diǎn)權(quán)系統(tǒng)。如果把電力系統(tǒng)中某一結(jié)構(gòu)或設(shè)備作為源點(diǎn)，另一結(jié)構(gòu)或設(shè)備作為終點(diǎn)，那么由源點(diǎn)到終點(diǎn)的整個(gè)系統(tǒng)就構(gòu)成了一個(gè)拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)，其中各個(gè)結(jié)構(gòu)或設(shè)備作為網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)，輸電線路作為網(wǎng)絡(luò)的邊。

本章以一假想電力系統(tǒng)為例，將其簡(jiǎn)化為下圖2 所示的36 節(jié)點(diǎn)格柵型網(wǎng)絡(luò)，采用第二章提出的算法，估計(jì)該網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)相依失效的動(dòng)力抗震可靠度。先建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，利用SGLD 模型建立結(jié)構(gòu)的邊緣分布函數(shù)，估計(jì)元件單體的可靠度。再由元件失效相依，分別采用SCM 和Gumbel Copula，建立結(jié)構(gòu)的聯(lián)合分布函數(shù)，計(jì)算聯(lián)合失效概率。最后，采用統(tǒng)一RDA 算法，得到系統(tǒng)的抗震動(dòng)力可靠度估計(jì)結(jié)果。

圖2 格柵型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic diagram of grid network structure

本文采用的相依失效生命線工程系統(tǒng)抗震可靠度估計(jì)的統(tǒng)一RDA 算法，不僅可以系統(tǒng)性地考慮網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)相依失效的情況，還能在保證精度的前提下大大減少計(jì)算量，充分體現(xiàn)該方法的有效性。

3.1 地震作用下的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

要進(jìn)行36 節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)相依失效下的抗震可靠度評(píng)估研究，必須先建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，計(jì)算各元件單體的隨機(jī)地震響應(yīng)。由于動(dòng)力相互作用的存在，有限元分析中的模型變得十分復(fù)雜，計(jì)算費(fèi)時(shí)費(fèi)力，不適用于大量的研究分析工作中。

假設(shè)圖2 所示包含36 個(gè)設(shè)備的電力系統(tǒng)，同一列的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)(如節(jié)點(diǎn)1 和2，節(jié)點(diǎn)3 和4)由硬母線或帶滑移接頭的軟母線連接，因此，需要考慮動(dòng)力相互作用，而橫排連接母線為一般柔性母線，不引起動(dòng)力相互作用。

為了簡(jiǎn)化電力系統(tǒng)中設(shè)備的非線性隨機(jī)地震動(dòng)分析計(jì)算復(fù)雜的問題，美國(guó)學(xué)者Der Kiureghian[24?25]在1999 年最早提出了基于單自由度設(shè)備模型的理想化系統(tǒng)簡(jiǎn)化方法，建立了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。該方法的基本思路是：用一個(gè)假設(shè)的位移形函數(shù)描述設(shè)備的變形，那么每個(gè)設(shè)備將會(huì)被簡(jiǎn)化成一個(gè)單自由度振子，這個(gè)振子的有效質(zhì)量、有效剛度、有效阻尼以及外部慣性力均與原設(shè)備對(duì)應(yīng)。由硬母線或帶滑移接頭軟母線連接的兩個(gè)設(shè)備則被理想化為一個(gè)雙自由度系統(tǒng)，各參數(shù)仍與設(shè)備自身特性以及連接母線的特性相對(duì)應(yīng)，理想化模型示意圖見圖3。

圖3 相連設(shè)備的理想化動(dòng)力學(xué)模型[26]Fig.3 Idealized dynamic model of connected equipment[26]

隨機(jī)地震作用下，兩設(shè)備間的連接母線進(jìn)行非線性隨機(jī)振動(dòng)?？紤]動(dòng)力相互作用，在雙自由度系統(tǒng)內(nèi)建立母線的滯回回復(fù)力模型。

以i、j表示兩個(gè)存在相互作用的設(shè)備，具體公式如下：

表2 電器設(shè)備的有效質(zhì)量和剛度Table 2 Values of effective mass and stiffnessof equipment items

本節(jié)建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，用于計(jì)算電力系統(tǒng)內(nèi)各單元的隨機(jī)地震響應(yīng)，由響應(yīng)樣本估計(jì)單體的邊緣分布和系統(tǒng)的聯(lián)合分布，最終基于RDA算法可得到該電力系統(tǒng)相依失效的動(dòng)力抗震可靠度。

3.2 結(jié)構(gòu)響應(yīng)隨機(jī)樣本生成

本文利用Mathematica10.0 程序進(jìn)行編程計(jì)算，為了保證計(jì)算精度，隨機(jī)抽樣生成2000 個(gè)地震激勵(lì)樣本，作用于該36 節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上，將結(jié)構(gòu)同一格的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)理想化為一個(gè)雙自由度系統(tǒng)，得到36 個(gè)節(jié)點(diǎn)在地震動(dòng)作用下的2000 組隨機(jī)響應(yīng)數(shù)據(jù)樣本。圖4 為3 組地面地震動(dòng)加速度時(shí)程樣本曲線，圖5 為這3 組地震輸入下，節(jié)點(diǎn)1 對(duì)應(yīng)的響應(yīng)曲線。利用這2000 組響應(yīng)樣本，先通過SGLD 模型估計(jì)結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)的邊緣分布，再利用SCM 和Gumbel Copula 函數(shù)分別計(jì)算聯(lián)合失效概率，即可得到該結(jié)構(gòu)相依失效下的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)抗震可靠度。

圖4 地震譜樣本曲線Fig.4 Sample curves of seismic spectra

圖5 節(jié)點(diǎn)1 對(duì)應(yīng)的隨機(jī)響應(yīng)曲線Fig.5 Random response curves corresponding to Node 1

3.3 結(jié)構(gòu)體系邊緣分布分析

基于2000 組隨機(jī)響應(yīng)樣本，本節(jié)分別采用矩方法和兩水準(zhǔn)方法，先識(shí)別出SGLD 模型的模型參數(shù)，結(jié)果列于表3 中，再由模型參數(shù)，得到結(jié)構(gòu)體系響應(yīng)尾部分布的近似值。兩水準(zhǔn)方法對(duì)應(yīng)的兩個(gè)控制點(diǎn)分別取為P1=0.1、P2=0.05。圖6 為其中兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的超越概率曲線圖，橫軸表示變量X的限值，縱軸表示當(dāng)X取不同限值時(shí)，滿足該分布函數(shù)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)的超越概率Pf。

圖6 表明：矩方法和兩水準(zhǔn)方法計(jì)算得到的超越概率吻合度較高。在分布的中后段，兩種方法給出的超越概率結(jié)果幾乎一致。因此，可以認(rèn)為基于兩水準(zhǔn)方法的SGLD 模型能夠用于本結(jié)構(gòu)響應(yīng)分布的尾部估計(jì)，且效率較高。

3.4 結(jié)構(gòu)體系的聯(lián)合概率計(jì)算和系統(tǒng)可靠度計(jì)算

本節(jié)基于2000 組隨機(jī)響應(yīng)樣本，分別采用SCM 和Gumbel Copula 計(jì)算不交最小路和不交最小割的聯(lián)合概率，再將聯(lián)合概率計(jì)算結(jié)果嵌入統(tǒng)一RDA 算法，即可算得系統(tǒng)的抗震可靠度。

SCM 需要計(jì)算2000 組響應(yīng)樣本的相關(guān)系數(shù)和各元件的可靠度指標(biāo)，再依次把兩個(gè)事件組合成一個(gè)復(fù)合事件，最終將整個(gè)系統(tǒng)復(fù)合成一個(gè)總事件，通過總復(fù)合事件的可靠度指標(biāo)來計(jì)算多維正態(tài)分布的聯(lián)合概率函數(shù)值。而Gumbel Copula 需要計(jì)算Kendall’s tau 和模型參數(shù)θ，結(jié)合邊緣分布結(jié)果來建立Copula 函數(shù)。算得聯(lián)合概率后，將結(jié)果嵌套進(jìn)統(tǒng)一RDA 算法，即可得到結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的相依失效可靠度。

由2000 組樣本數(shù)據(jù)算得的相關(guān)系數(shù)為36 階對(duì)稱矩陣，因數(shù)據(jù)較多，此處僅列出前6 個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的相關(guān)系數(shù)矩陣，見表4。算得的Gumbel Copula 所需的τ=0.005185， θ=1.0694。結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠度計(jì)算結(jié)果見表5。

表3 SGLD 模型參數(shù)Table 3 SGLD model parameters

圖6 各構(gòu)件結(jié)構(gòu)響應(yīng)的超越概率曲線圖Fig.6 Exceedance probability curves of structural response of each component

表4 局部相關(guān)系數(shù)矩陣Table 4 Local correlation coefficient matrix

表5 36 節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可靠度計(jì)算結(jié)果Table 5 Reliability calculation results of 36-node network system

圖7 為以Gumbel Copula 可靠度計(jì)算結(jié)果為基準(zhǔn)的相對(duì)誤差變化曲線，橫坐標(biāo)為RDA 算法中設(shè)定的誤差限值，縱坐標(biāo)為兩種方法可靠度計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差。

圖7 兩種方法可靠度計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差Fig.7 Relative error of reliability calculation results of two methods

以上結(jié)果表明：一方面，隨著設(shè)定誤差界限的降低，RDA 算法需要計(jì)算的不交最小路、不交最小割以及計(jì)算時(shí)間都在變多，但仍遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)遞推分解法，體現(xiàn)了本文計(jì)算方法的優(yōu)勢(shì)；另一方面，在相同的誤差限值下，SCM 和Gumbel Copula 兩種方法的計(jì)算事件數(shù)完全一致，這是因?yàn)椴唤蛔钚÷泛筒唤蛔钚「顢?shù)均是由RDA 算法確定。兩種方法的結(jié)構(gòu)可靠概率計(jì)算結(jié)果非常接近，以Gumbel Copula 為基準(zhǔn)的最大相對(duì)誤差不超過0.2‰，但在誤差限值較大的區(qū)域出現(xiàn)較大偏差。同等條件下，Gumbel Copula 的計(jì)算時(shí)間要低于SCM，且計(jì)算過程更為簡(jiǎn)潔。

3.5 統(tǒng)一RDA 算法的正確性驗(yàn)證

當(dāng)不考慮電力系統(tǒng)中輸電線路的地震失效時(shí)，本章36 節(jié)點(diǎn)電力系統(tǒng)被認(rèn)為是一個(gè)點(diǎn)權(quán)系統(tǒng)，表5 為由統(tǒng)一RDA 算法退化計(jì)算的點(diǎn)權(quán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的抗震可靠度結(jié)果。本節(jié)將用SCM 和Gumbel Copula 計(jì)算的不交最小路和不交最小割的聯(lián)合概率嵌入點(diǎn)權(quán)的RDA 算法，再次驗(yàn)證統(tǒng)一RDA 算法的正確性，計(jì)算結(jié)果見表6。

表6 點(diǎn)權(quán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的可靠度計(jì)算結(jié)果Table 6 Reliability calculation results of node weight network system

計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了統(tǒng)一RDA 算法的正確性，但該網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)由統(tǒng)一算法退化到點(diǎn)權(quán)的不交最小路和不交最小割數(shù)遠(yuǎn)大于原點(diǎn)權(quán)算法，計(jì)算量增加。

結(jié)合圖1、圖2 兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)的可靠度計(jì)算結(jié)果，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)少、邊多，兩者數(shù)量相差較大，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜時(shí)，統(tǒng)一RDA 算法實(shí)用性較高；而當(dāng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)數(shù)與邊數(shù)比較接近，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單時(shí)，統(tǒng)一RDA 算法的計(jì)算量可能會(huì)大大增加，從而導(dǎo)致計(jì)算費(fèi)用增加，不適合應(yīng)用于工程實(shí)踐。因此，統(tǒng)一RDA 算法研究的意義主要在于理論簡(jiǎn)化，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)一步進(jìn)行相依失效情況下的生命線工程系統(tǒng)抗震可靠度估計(jì)研究。

綜上所述，雖然統(tǒng)一RDA 算法根據(jù)不同的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，使用有一定的局限性，但其將原RDA算法整合成一個(gè)程序，并且基于統(tǒng)一RDA 算法發(fā)展出的相依失效生命線工程系統(tǒng)抗震可靠度估計(jì)的統(tǒng)一RDA 算法，不僅可以較好地考慮元件相依失效，而且可以退化到邊權(quán)和點(diǎn)權(quán)。對(duì)于統(tǒng)一RDA 算法計(jì)算量增加的問題，計(jì)劃后續(xù)將做更深入的研究，對(duì)統(tǒng)一RDA 算法中的不交最小路和不交最小割進(jìn)行歸并，從而減小不交最小路數(shù)和不交最小割數(shù)，降低計(jì)算量。本文的方法為以后的研究奠定了良好的理論基礎(chǔ)，希望通過進(jìn)一步的研究改進(jìn)，能夠?qū)⑵涓玫貞?yīng)用于工程實(shí)踐中。

4 結(jié)論

本文先對(duì)原RDA 算法三部分程序進(jìn)行整合簡(jiǎn)化，發(fā)展出統(tǒng)一RDA 算法，再在統(tǒng)一RDA 算法的基礎(chǔ)上，引入SCM 和Gumbel Copula 函數(shù)兩種方法，分別計(jì)算RDA 算法中不交最小路和不交最小割事件的聯(lián)合失效概率，最后發(fā)展出相依失效生命線工程系統(tǒng)抗震可靠度估計(jì)的統(tǒng)一RDA 算法，較好地解決了生命線工程系統(tǒng)中元件失效相關(guān)的可靠度估計(jì)問題。算例計(jì)算結(jié)果表明：該方法在保證計(jì)算精度的前提下，可以用于相依失效生命線網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的抗震可靠度評(píng)估。

本文的主要研究結(jié)論有：

(1)相依失效生命線工程系統(tǒng)抗震可靠度估計(jì)的統(tǒng)一RDA 算法不僅可以較好地考慮元件相依失效，而且可以退化到邊權(quán)和點(diǎn)權(quán)，具有良好的適用性；

(2) SCM 和Gumbel Copula 可以用于結(jié)構(gòu)體系可靠度估計(jì)中的聯(lián)合概率計(jì)算。相比之下，Gumbel Copula 計(jì)算過程更加簡(jiǎn)潔，計(jì)算效率更高；

(3)本文方法適用于大多數(shù)的生命線工程系統(tǒng)抗震可靠度的估計(jì)，對(duì)于統(tǒng)一RDA 算法退化到邊權(quán)、點(diǎn)權(quán)計(jì)算量增加的問題，后續(xù)將做進(jìn)一步的研究。