王平波，馬 凱,2，武 彩

(1. 海軍工程大學(xué) 電子工程學(xué)院， 湖北 武漢 430033； 2. 海軍潛艇學(xué)院 航海觀通系， 山東 青島 266000；3. 國(guó)網(wǎng)山東省電力公司濰坊供電公司， 山東 濰坊 261021)

最小均方誤差算法(Least Mean Square，LMS)最早是由Windrow和Hoff提出的，在雷達(dá)、聲吶和心電探測(cè)[1-3]等領(lǐng)域應(yīng)用較為廣泛。LMS算法可以對(duì)權(quán)系數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)的調(diào)節(jié)[4]，但固定步長(zhǎng)的LMS算法在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間存在矛盾[5-7]。針對(duì)此矛盾，許多學(xué)者提出了變步長(zhǎng)LMS算法，在初始階段采用大步長(zhǎng)因子加快收斂速度，收斂后采用小補(bǔ)償因子降低穩(wěn)態(tài)誤差。其中代表算法有基于Sigmoid函數(shù)的變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)濾波(Sigmoid-Variable-Step Least Mean Square, SVS-LMS)算法[8-10]，該算法能同時(shí)獲得較快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差，但其步長(zhǎng)因子在穩(wěn)態(tài)階段變化太快，導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)誤差較大。并且在處理實(shí)際的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，通常會(huì)遇到參考信號(hào)難以選取的問(wèn)題，本文針對(duì)上述情況提出一種基于正態(tài)分布曲線的變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)算法。

1 變步長(zhǎng)LMS算法

根據(jù)自適應(yīng)濾波器原理框圖，如圖1所示，LMS算法的迭代公式可寫(xiě)為：

圖1 自適應(yīng)濾波器原理框圖Fig.1 Principle block diagram of adaptive filter

y(n)=xT(n)W(n)

(1)

e(n)=d(n)-y(n)

(2)

W(n+1)=W(n)+2μe(n)d(n)

(3)

式中：x(n)為n時(shí)刻的輸入信號(hào)矢量；W(n)為n時(shí)刻自適應(yīng)濾波器的權(quán)值；d(n)為n時(shí)刻參考信號(hào)；e(n)為n時(shí)刻的誤差；μ為算法的步長(zhǎng)因子，決定算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差[8]。

圖1中的v(n)為干擾信號(hào)，信號(hào)通過(guò)未知系統(tǒng)時(shí)會(huì)有疊加部分干擾，引起算法失調(diào)。為解決固定步長(zhǎng)LMS算法在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾，提出了一系列變步長(zhǎng)LMS算法，其中覃景繁等[12]提出的基于Sigmoid函數(shù)SVS-LMS算法是一種比較經(jīng)典的算法，其步長(zhǎng)因子為

(4)

式中，α和β為控制函數(shù)的陡峭程度和取值范圍。

由式(4)可得，當(dāng)μ>β/2并且0<μ<1/λmax時(shí)，算法收斂。與固定步長(zhǎng)LMS算法相比，SVS-LMS算法的步長(zhǎng)因子μ隨著誤差e(n)的減小而減小，因此在初始階段收斂速度較快，當(dāng)收斂后μ(n)達(dá)到最小，約等于0。但如圖2、圖3所示，步長(zhǎng)因子函數(shù)底部較為尖銳，在算法收斂階段，μ(n)變化較快，會(huì)導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)誤差變大，且計(jì)算量較大。

圖2 β取值對(duì)誤差變化的影響Fig.2 Influence of the value of β on the error variation

圖3 α取值對(duì)誤差變化的影響Fig.3 Influence of the value of α on the error variation

2 本文算法

基于變步長(zhǎng)LMS的設(shè)計(jì)原則，提出一種基于正態(tài)分布曲線的變步長(zhǎng)LMS算法。如圖4所示，相比于Sigmoid函數(shù)，正態(tài)分布曲線頂部較為平滑，且具有較快的上升和下降速度。正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為

圖4 正態(tài)分布曲線Fig.4 Normal distribution curve

(5)

對(duì)式(5)作進(jìn)一步變換，并引入a、b、c三個(gè)控制參數(shù)得

μ(n)=c[1-exp(-a|e(n)|b)]

(6)

2.1 參數(shù)a對(duì)算法的影響

圖5為當(dāng)b=2且c=1，a的值為1、2、3、4時(shí)，步長(zhǎng)因子隨誤差的變化曲線。從圖中可以看出，當(dāng)誤差較大時(shí)，步長(zhǎng)因子較大，收斂速度較快；在穩(wěn)態(tài)階段，步長(zhǎng)因子變化較為平緩，有利于減小穩(wěn)態(tài)誤差。同時(shí)，當(dāng)a變大時(shí)，曲線變陡，收斂速度變快，即a控制了算法收斂速度。

圖5 a的取值對(duì)誤差變化的影響Fig.5 Influence of the value of a on the variation of error

2.2 參數(shù)b對(duì)算法的影響

圖6為當(dāng)a=1且c=1，b的值為2、3、4、5時(shí)，步長(zhǎng)因子隨誤差的變化曲線。從圖中可以看出，b增大時(shí)，函數(shù)底部變化較為平緩，即步長(zhǎng)因子變化越平緩，算法的穩(wěn)態(tài)誤差越小，因此b控制了算法的穩(wěn)態(tài)誤差。

圖6 b的取值對(duì)誤差變化的影響Fig.6 Influence of the value of b on the variation of error

2.3 參數(shù)c對(duì)算法的影響

圖7為當(dāng)a=1且b=2，c的值為1、2、3、4時(shí)，步長(zhǎng)因子隨誤差的變化曲線。從圖7中可以看出，c增大時(shí)，函數(shù)的最大值增大，算法的收斂速度變快，即c控制了算法的收斂速度。但c的取值不能無(wú)限大，它受算法的收斂條件影響。由LMS算法的收斂條件可知

圖7 c的取值對(duì)誤差變化的影響Fig.7 Influence of the value of c on the variation of error

0<μ<1/λmax

(7)

當(dāng)e(n)→∞時(shí)，μ(n)≈c，則c的取值范圍為

0

(8)

綜上分析可得，在處理信號(hào)時(shí)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的參數(shù)，以獲得較快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差。

3 計(jì)算機(jī)仿真及海試數(shù)據(jù)驗(yàn)證

3.1 計(jì)算機(jī)仿真

仿真中，輸入信號(hào)為高斯白噪聲加單頻正弦信號(hào)，均值為0，方差為1，信號(hào)位于第1000個(gè)采樣點(diǎn)處，信噪比為0 dB，參考信號(hào)是均值為0、方差為1的高斯白噪聲，每次仿真均進(jìn)行200次蒙特卡洛仿真。未知系統(tǒng)的權(quán)系數(shù)為[0.70,0.42]，在第500個(gè)采樣點(diǎn)處未知系統(tǒng)發(fā)生時(shí)變，權(quán)系數(shù)突變?yōu)閇0.31,0.25]。

圖8為三種算法的均方誤差圖。其中，每種算法的步長(zhǎng)因子及參數(shù)都經(jīng)過(guò)大量的仿真實(shí)驗(yàn)確定，固定步長(zhǎng)LMS濾波算法的步長(zhǎng)因子μ=0.01，SVS-LMS算法的參數(shù)α=0.05，β=0.05，本文提出的算法a=5，b=1，c=0.12。從圖中可以看出，在算法的收斂速度上本文算法優(yōu)于SVS-LMS算法及LMS算法；當(dāng)未知系統(tǒng)突變時(shí)，本文算法性能最優(yōu)，SVS-LMS算法次之，LMS算法最差。

圖8 三種算法的權(quán)系數(shù)收斂曲線Fig.8 Convergence curve of three algorithms′s weight coefficient

圖9為固定步長(zhǎng)LMS算法、SVS-LMS算法、本文算法的均方誤差圖。從圖中可以看出，基于正態(tài)分布曲線的算法的穩(wěn)態(tài)誤差最小， SVS-LMS算法較大，固定步長(zhǎng)LMS算法的穩(wěn)態(tài)誤差最大。這是因?yàn)楸疚乃崴惴ǖ牟介L(zhǎng)因子曲線在誤差較小時(shí)非常平緩，并且較小，所以穩(wěn)態(tài)誤差較小，而固定步長(zhǎng)LMS算法由于步長(zhǎng)固定且較大，所以穩(wěn)態(tài)誤差較大。當(dāng)輸入信號(hào)發(fā)生變化時(shí)，這幾種算法的穩(wěn)態(tài)誤差大小排序與未發(fā)生變化時(shí)一樣，本文算法的穩(wěn)態(tài)誤差依然最小，固定步長(zhǎng)LMS算法的穩(wěn)態(tài)誤差最大。

圖9 三種算法的均方誤差曲線Fig.9 Mean square error curves of the three algorithms

圖10為固定步長(zhǎng)LMS算法、SVS-LMS算法和本文基于正態(tài)分布曲線的變步長(zhǎng)LMS算法均方誤差的對(duì)數(shù)表示圖。從圖中可以看出，固定步長(zhǎng)LMS算法所能達(dá)到的均方誤差最小，精度最高，本文提出的算法次之，SVS-LMS算法的精度最低。

圖10 三種算法權(quán)系數(shù)收斂曲線Fig.10 Convergence curve of three algorithms′ weight coefficient

綜上，本文提出的基于正態(tài)分布曲線的變步長(zhǎng)LMS算法在收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差和跟蹤能力方面的性能較好，但由于變步長(zhǎng)LMS算法的限制，當(dāng)算法收斂后，為保證算法具有較小的穩(wěn)態(tài)誤差，步長(zhǎng)因子通常會(huì)選擇較小的值，因而靠向維納解的速度較慢，能達(dá)到的最小均方誤差較固定步長(zhǎng)LMS算法較大，精度較低。針對(duì)此問(wèn)題，對(duì)本文提出的算法做進(jìn)一步改進(jìn)。

考慮到固定步長(zhǎng)LMS算法所能達(dá)到的精度最高，將本文提出的基于正態(tài)分布曲線的變步長(zhǎng)LMS算法與固定步長(zhǎng)LMS算法結(jié)合起來(lái)，提出一種基于正態(tài)分布曲線的分段式變步長(zhǎng)LMS算法，算法表達(dá)式如下：

(9)

式中，eps代表算法達(dá)到的精度，即均方誤差的大小。本文中設(shè)置的算法精度界限為0.001，當(dāng)算法均方誤差大于eps時(shí)，采用變步長(zhǎng)的LMS算法，在算法之初采用較大步長(zhǎng)因子使算法快速收斂，當(dāng)算法收斂后采用較小的步長(zhǎng)因子以減小穩(wěn)態(tài)誤差，當(dāng)算法的均方誤差達(dá)到eps時(shí)，采用較大固定步長(zhǎng)因子以更快地靠向維納解，獲得更高精度。

圖11為固定步長(zhǎng)LMS算法、本文算法和改進(jìn)后的分段式變步長(zhǎng)LMS算法的權(quán)系數(shù)收斂圖，由圖可知，本文算法和改進(jìn)算法的收斂速度最快，固定步長(zhǎng)LMS算法的收斂速度最慢。

圖11 三種算法權(quán)系數(shù)收斂曲線Fig.11 Convergence curve of three algorithms′ weight coefficient

圖12為固定步長(zhǎng)LMS算法、本文算法和改進(jìn)的分段式變步長(zhǎng)算法的均方誤差圖，從圖中可以看出，本文算法和改進(jìn)的分段式變步長(zhǎng)算法的穩(wěn)態(tài)誤差最小，曲線基本重合，固定步長(zhǎng)LMS算法的穩(wěn)態(tài)誤差最大。

圖12 三種算法均方誤差曲線Fig.12 Mean square error curves of the three algorithms

圖13為固定步長(zhǎng)LMS算法、本文算法和改進(jìn)算法的均方誤差對(duì)數(shù)表示圖，從圖中可以看出，改進(jìn)算法達(dá)到的均方誤差最小，精度最高。

綜上分析可知：基于正態(tài)分布曲線的分段式變步長(zhǎng)LMS算法在保證收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差和跟蹤能力性能的同時(shí)使最小均方誤差最小，即精度最高。仿真結(jié)果與理論分析結(jié)果相一致，證明本文算法性能較好。下面通過(guò)海試數(shù)據(jù)對(duì)三種算法做進(jìn)一步的比較。

3.2 海試數(shù)據(jù)驗(yàn)證

3.2.1 參考信號(hào)的選取

在實(shí)際信號(hào)處理應(yīng)用中，LMS算法中的參考信號(hào)往往難以獲取。李根[11]根據(jù)各波束間混響是相關(guān)的，從而將相鄰波束作為參考信號(hào)以達(dá)到消除混響的目的，但經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)此方法存在兩點(diǎn)不足：首先，混響在空間上的相關(guān)性不強(qiáng)，從而將相鄰波束作為參考信號(hào)這一方法來(lái)濾除混響的能力有限；其次，由于波束主瓣寬度限制，信號(hào)可能會(huì)存在于多個(gè)波束內(nèi)，導(dǎo)致信號(hào)也可能被當(dāng)作參考信號(hào)被抵消掉。

考慮到此問(wèn)題，本文提出一種產(chǎn)生參考信號(hào)的方法。如圖14所示，將80元均勻拖線陣分為等長(zhǎng)的4個(gè)子陣，每個(gè)子陣77個(gè)陣元，各子陣間有一部分的重疊。

圖14 子陣劃分示意圖Fig.14 Subarray partition diagram

如圖15所示，當(dāng)信號(hào)為單頻信號(hào)時(shí)，分別將2號(hào)和4號(hào)子陣輸出的波束域數(shù)據(jù)進(jìn)行相位補(bǔ)償，使兩子陣的輸出信號(hào)相位對(duì)齊，然后進(jìn)行倒相處理，分別與1號(hào)子陣和4號(hào)子陣相加，這樣就可以剔除信號(hào)，得到純混響數(shù)據(jù)d1和d2，分別作為1號(hào)、2號(hào)和3號(hào)、4號(hào)子陣的參考信號(hào)。

圖15 參考信號(hào)選取示意圖Fig.15 Schematic diagram of reference signal selection

這樣選取參考信號(hào)的依據(jù)是：當(dāng)存在目標(biāo)回波信號(hào)時(shí)，由于分裂波束中的目標(biāo)回波信號(hào)經(jīng)過(guò)相位補(bǔ)償后已經(jīng)對(duì)齊，因此倒相相加后可去除回波信號(hào)得到純的混響干擾作為參考信號(hào)。

3.2.2 LMS算法的海試數(shù)據(jù)處理

下面通過(guò)海試數(shù)據(jù)比較幾種LMS算法的性能，其中信號(hào)為CW信號(hào)，位于66°方向，信號(hào)位于7～8 km處?，F(xiàn)定義“局部信干比”這一概念：假設(shè)信號(hào)位于θ0，距離Lkm處，則在距離-方位圖中以信號(hào)為中心畫(huà)一矩形框，如圖16所示，以信號(hào)的功率除以矩形框內(nèi)干擾的平均功率并將其轉(zhuǎn)化為dB數(shù)作為此方法的輸出信干比(Signal to Interference Ratio, SIR)，下面的局部信干比計(jì)算采用的矩形框?yàn)椋壕嚯x為1～8 km，方位為40°～130°。其計(jì)算公式為

圖16 常規(guī)波束形成Fig.16 Conventional beamforming

SIR=10lg(PS/PI)

(10)

式中，PS為信號(hào)的功率，PI為干擾的平均功率。

圖16為常規(guī)波束形成算法得到的輸出結(jié)果，由圖可知，混響區(qū)能量較強(qiáng)，此時(shí)局部信干比為5.0 dB。

圖17為L(zhǎng)MS算法濾波后的結(jié)果，從圖中可以看出，混響區(qū)能量部分被抑制，但抑制效果不明顯，此時(shí)的局部信干比為8.1 dB，相比于濾波前，信干比提高了大約3 dB。

圖17 LMS算法濾波結(jié)果Fig. 17 Results of LMS filtering

圖18為SVS-LMS算法濾波后的結(jié)果，從圖中可知，混響區(qū)大部分能量被抑制，但局部能量依然較強(qiáng)，此時(shí)的局部信干比為9.3 dB。

圖18 SVS-LMS算法濾波結(jié)果Fig.18 Results of SVS-LMS filtering

圖19為基于正態(tài)分布曲線的變步長(zhǎng)LMS算法濾波后結(jié)果，此時(shí)局部信干比為10.3 dB。

圖19 基于正態(tài)分布曲線的算法濾波結(jié)果Fig. 19 Filtering results of the algorithm based on normal distribution curve

圖20為改進(jìn)后的算法濾波結(jié)果，混響抑制效果較好，此時(shí)的局部信干比為10.5 dB。

圖20 基于正態(tài)分布曲線的分段式變步長(zhǎng)LMS算法濾波結(jié)果Fig. 20 Filtering results of piecewise variable step size LMS algorithm based on normal distribution curve are presented

表1為幾種LMS算法輸出SIR的比較，綜上分析可知：本文提出的兩種自適應(yīng)LMS算法的濾波效果比較明顯，可以濾除大部分的混響，相比于常規(guī)的LMS算法，本文所提算法的局部信干比提高了大約2.4 dB。

表1 幾種LMS算法輸出SIR的比較

通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真和海試數(shù)據(jù)的處理結(jié)果可以看出，本文所提算法在收斂速度、跟蹤性能和穩(wěn)態(tài)誤差等方面具有較大的優(yōu)勢(shì)，綜合性能明顯優(yōu)于其他兩種方法。

4 結(jié)論

本文通過(guò)研究固定步長(zhǎng)的LMS算法在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差方面的矛盾引出了變步長(zhǎng)LMS算法，在深入分析其步長(zhǎng)因子的調(diào)整原則后，提出一種基于正態(tài)分布曲線的分段式變步長(zhǎng)LMS算法，并且在實(shí)際信號(hào)處理過(guò)程中提出一種參考信號(hào)選取方法。通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真和海試數(shù)據(jù)驗(yàn)證，結(jié)果表明，該算法相比其他算法具有較快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差。