王羅那

增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)技術(shù)（AR）在數(shù)學(xué)教育中的應(yīng)用現(xiàn)狀述評(píng)與展望

王羅那

（華東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200241）

將增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)技術(shù)整合到教育環(huán)境中，可以讓學(xué)生獲得可視化的、浸潤(rùn)式的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，打破傳統(tǒng)教育虛實(shí)的壁壘，為學(xué)習(xí)提供新的機(jī)會(huì)．為了解增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)技術(shù)在數(shù)學(xué)教育中的應(yīng)用現(xiàn)狀與發(fā)展，收集和梳理近十年國(guó)內(nèi)外有關(guān)增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育應(yīng)用的研究并進(jìn)行述評(píng)，討論該技術(shù)在“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”三大領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀，發(fā)現(xiàn)增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)技術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域的學(xué)習(xí)影響程度不一，輔助幾何學(xué)習(xí)的效果顯著；對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)有促進(jìn)作用；對(duì)數(shù)學(xué)低學(xué)習(xí)成就者的影響程度更大．對(duì)該技術(shù)在數(shù)學(xué)教育中的實(shí)踐價(jià)值進(jìn)行分析并提出對(duì)增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)在應(yīng)用技術(shù)、應(yīng)用形式、應(yīng)用對(duì)象3方面的研究建議與展望．

增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)；數(shù)學(xué)教育；教育應(yīng)用；學(xué)習(xí)效果

1 問題提出

增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)“augmented reality（以下簡(jiǎn)稱AR）”這一名詞最早是由波音公司的員工提出，自20世紀(jì)60年代初以來，AR技術(shù)得到研究和開發(fā)．早期的研究人員傾向于將AR定義為特定的頭戴式顯示器（HMDs）裝置[1]．AR鼻祖——哈佛大學(xué)伊凡·蘇澤蘭特（Ivan Sutherland）教授，于1966年發(fā)明的頭戴式AR設(shè)備可以說是AR發(fā)展歷史上的一個(gè)里程碑．直至1997年，阿祖瑪（Azuma）和其他研究人員（Kaufmann，2003；Zhou，2008）才提供了對(duì)這種新興技術(shù)的較為廣義的界定，包括3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：①是虛擬和現(xiàn)實(shí)元素的組合；②可以進(jìn)行實(shí)時(shí)交互的；③以三維形式注冊(cè)（即跟蹤與定位）[2–4]．荷勒爾（H?llerer）和法伊納（Feiner）提出了類似的界定，他們將AR系統(tǒng)定義為：“在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中實(shí)時(shí)地并有交互地結(jié)合真實(shí)的物理對(duì)象和計(jì)算機(jī)生成的信息與虛擬對(duì)象的系統(tǒng)．”[5]屈德內(nèi)（Cudenet）、伯納爾（Bonnard）、多雷（Do-Lenh）和迪倫伯格（Dillenbourg）等人認(rèn)為：“AR指的是將數(shù)字材料投射到現(xiàn)實(shí)世界對(duì)象上的技術(shù)．”[6]還有的研究采用了更廣泛的視角，他們將AR定義為虛擬現(xiàn)實(shí)（virtual reality，簡(jiǎn)稱VR）的擴(kuò)展[7]．阿祖瑪則在研究中[2]指出，AR與VR概念不同，在虛擬環(huán)境中，用戶完全沉浸在合成環(huán)境里，而AR只是補(bǔ)充現(xiàn)實(shí)，并非完全取代現(xiàn)實(shí)．VR趨近現(xiàn)實(shí)，AR超越現(xiàn)實(shí)．

早在2008年，IT研究和咨詢公司高德納（Gartner Inc）[8]預(yù)測(cè)AR技術(shù)將成為2008—2012年十大顛覆性技術(shù)之一，影響各個(gè)領(lǐng)域乃至整個(gè)社會(huì)．許多研究[9]已經(jīng)證明了AR應(yīng)用于如建筑、軍事國(guó)防、醫(yī)學(xué)、娛樂等領(lǐng)域帶來的大量益處．AR是教育領(lǐng)域內(nèi)潛在的、前景可觀的技術(shù)之一[10]．2011年的地平線報(bào)告[11]中，建議在未來的2~3年采用AR這一新興技術(shù)，為將來的教學(xué)、學(xué)習(xí)以及研究提供新的機(jī)會(huì)．?dāng)?shù)學(xué)需要且可以結(jié)合IT技術(shù)，基于AR的特性，此技術(shù)在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域具有很大的潛力．AR融入數(shù)學(xué)教育的契機(jī)已經(jīng)出現(xiàn)，“AR+數(shù)學(xué)教育”的未來即將到來．然而，這種技術(shù)對(duì)具體學(xué)科的影響尚不清楚，專門分析AR在數(shù)學(xué)學(xué)科中的應(yīng)用進(jìn)展與影響的研究較少，且在中國(guó)關(guān)于AR對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)影響的整體研究則更少，接下來就AR在數(shù)學(xué)教育中的應(yīng)用進(jìn)展及學(xué)習(xí)影響等進(jìn)行進(jìn)一步討論．

2 研究方法與數(shù)據(jù)來源

為了解這一新興技術(shù)在數(shù)學(xué)教育環(huán)境中的應(yīng)用進(jìn)展與實(shí)際影響，以“增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)”+“數(shù)學(xué)教育”、“增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)”+“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”、“增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)”+“數(shù)學(xué)教學(xué)”為主題詞在中國(guó)知網(wǎng)中進(jìn)行高級(jí)檢索，搜索時(shí)間截止至2019年10月，得到少量的中文文獻(xiàn)．進(jìn)行閱讀篩選后，相關(guān)中文論文僅9篇．由于AR技術(shù)發(fā)源于國(guó)外，美國(guó)作為發(fā)源地，其應(yīng)用研究基本可以代表目前的國(guó)際水平，故又以“Augmented Reality or AR”+“Mathematics Learning”、“Augmented Reality or AR”+“Mathematics Education”、“Augmented Reality or AR”+“Mathematics Teaching”為主題詞在Web of Science、Springer、ERIC等主要英文數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行了檢索，結(jié)合文章摘要信息，剔除低相關(guān)度的文獻(xiàn)和會(huì)議通知等，總共搜集整理了國(guó)內(nèi)外關(guān)于AR技術(shù)應(yīng)用于數(shù)學(xué)教育的文獻(xiàn)67篇．雖然相關(guān)文獻(xiàn)數(shù)量不多，整個(gè)AR的數(shù)學(xué)教育研究尚處于起步階段，但適當(dāng)參考其它國(guó)內(nèi)外AR應(yīng)用研究，進(jìn)行分析述評(píng)后，仍可以對(duì)國(guó)際上AR的數(shù)學(xué)教育應(yīng)用研究的現(xiàn)狀及前景有一個(gè)較為全面的評(píng)估，為中國(guó)AR的數(shù)學(xué)教育應(yīng)用發(fā)展提供一些參考與啟發(fā)．

3 增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)技術(shù)在數(shù)學(xué)教育中的研究現(xiàn)狀

經(jīng)過對(duì)文獻(xiàn)內(nèi)容分析，目前增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)技術(shù)的數(shù)學(xué)教育研究現(xiàn)狀如圖1所示．總體來看，增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)技術(shù)在數(shù)學(xué)教育中有廣闊的研究空間．從教師的教學(xué)層面來看，AR技術(shù)可以介入的有教學(xué)模式、內(nèi)容開發(fā)、教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)整合、資源建設(shè)5個(gè)方面；從學(xué)生的學(xué)習(xí)層面來看，涉及到AR技術(shù)的有學(xué)習(xí)過程、學(xué)習(xí)結(jié)果、學(xué)習(xí)體驗(yàn)、學(xué)習(xí)者特征、認(rèn)知過程、認(rèn)知結(jié)構(gòu)這6個(gè)方面．AR的交互方式有兩種，一種是基于圖像交互的，一種是基于位置交互的．當(dāng)它應(yīng)用于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，從學(xué)習(xí)內(nèi)容方面來看，涉及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的幾個(gè)主要領(lǐng)域，包括“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”．另外，AR技術(shù)還可以與特定的活動(dòng)方式相結(jié)合，突出學(xué)生的主體地位，強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)的過程性．例如，探究性學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、游戲化學(xué)習(xí)等．整體來看，AR的數(shù)學(xué)教育研究尚處于起步階段，目前的研究都集中于教學(xué)模式、教學(xué)設(shè)計(jì)的研究；有少量的研究關(guān)注到了學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果、學(xué)習(xí)過程、學(xué)習(xí)體驗(yàn)以及學(xué)習(xí)者特征，有部分研究針對(duì)不同的活動(dòng)方式進(jìn)行了內(nèi)容開發(fā)；但是學(xué)生的認(rèn)知過程、認(rèn)知結(jié)構(gòu)、教學(xué)整合、資源建設(shè)的相關(guān)研究幾乎處于空白狀態(tài)，需要進(jìn)一步關(guān)注．

圖1 增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)技術(shù)的數(shù)學(xué)教育研究現(xiàn)狀

3.1 AR在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀

在中國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系內(nèi)，無論在哪個(gè)學(xué)段，“數(shù)與代數(shù)”的內(nèi)容量都占有很大的比重，同時(shí)這一領(lǐng)域的內(nèi)容對(duì)于學(xué)生來說是非常困難的．一來是因?yàn)樗婕昂芏喑橄蟾拍睿欢硪惨驗(yàn)檫@些概念之間有很強(qiáng)的內(nèi)部邏輯結(jié)構(gòu)．例如在中學(xué)階段，學(xué)生需要學(xué)習(xí)變量、二次方程、指數(shù)和三角（正弦和余弦）函數(shù)、對(duì)數(shù)，等等，這些概念在日常生活中并不常見和容易理解，很多學(xué)生只能死記硬背運(yùn)算公式，而不能真正探究其“所以然”．AR數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將文本、圖形、視頻和音頻集成到學(xué)生的實(shí)時(shí)環(huán)境中，與傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方法相比，前者提供了豐富的增強(qiáng)功能，高度的參與感增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，作為一種策略工具，AR還可以通過其可視化特質(zhì)來向?qū)W生展示解決問題時(shí)涉及的過程．

近年來，研究人員對(duì)開發(fā)AR游戲作為“數(shù)與代數(shù)”主題的標(biāo)準(zhǔn)課堂學(xué)習(xí)的補(bǔ)充研究表現(xiàn)出極大的興趣．麥克拉倫（McLaren）等人對(duì)153名學(xué)生的對(duì)比研究表明，基于數(shù)學(xué)教育的移動(dòng)游戲可以提供更好的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，更具吸引力，并在解決有關(guān)小數(shù)問題時(shí)學(xué)生的分?jǐn)?shù)有顯著的提高[12]．在此基礎(chǔ)上，林登等人利用Unity 3D軟件中的AR Foundation軟件包，設(shè)計(jì)了基于AR的移動(dòng)游戲的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法[13]，借助移動(dòng)設(shè)備中的AR和位置傳感器，讓學(xué)生在自己的家庭環(huán)境中與虛擬寵物和物品進(jìn)行互動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生在家練習(xí)數(shù)學(xué)，作為傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的補(bǔ)充，為學(xué)生提供更多機(jī)會(huì)探索數(shù)學(xué)世界，并最終增強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)技能．為了全面評(píng)估該AR移動(dòng)游戲?qū)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響，研究者與美國(guó)馬里蘭州當(dāng)?shù)匾凰袑W(xué)合作，以中學(xué)代數(shù)為主題對(duì)20名中學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，并在結(jié)束后對(duì)學(xué)生進(jìn)行30分鐘的訪談，收集學(xué)生的反饋發(fā)現(xiàn)，這款基于AR的移動(dòng)游戲能夠提高學(xué)生準(zhǔn)備數(shù)學(xué)考試的動(dòng)力，低學(xué)習(xí)成就者在數(shù)學(xué)考試中的成績(jī)有所提高，還可以提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域整體的信心．

除了上述研究，更多的研究是基于“數(shù)與代數(shù)”中某一知識(shí)點(diǎn)或課題進(jìn)行，讓學(xué)生在某一主題的知識(shí)或能力得到發(fā)展．例如在解決負(fù)數(shù)的減法問題時(shí)，有研究團(tuán)隊(duì)[14]以AR作為負(fù)數(shù)減法操作的補(bǔ)救范例，通過AR中不同的角色扮演，讓學(xué)生比較不同的情境會(huì)產(chǎn)生減法問題，學(xué)生在注意到不同數(shù)字所模擬的不同角色的不可替代性的同時(shí)，潛移默化地了解了減法是不可交換的事實(shí)．巴蒂澤（Badioze）等人還基于此研究開發(fā)了一個(gè)旨在幫助學(xué)習(xí)者補(bǔ)救負(fù)數(shù)減法操作的可視化正確思維過程的增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)補(bǔ)救工作表系統(tǒng)（AR2WN2）[15]．AR游戲作為數(shù)學(xué)教育的工具，可以為學(xué)生提供豐富的學(xué)習(xí)材料，用于促進(jìn)學(xué)習(xí)，尤其是在基于問題的學(xué)習(xí)和邏輯推理方面有重大潛力．例如有研究者針對(duì)中學(xué)生的嚴(yán)肅游戲開發(fā)了一款名為FootMath的AR游戲來模擬足球運(yùn)動(dòng)，用戶可以調(diào)整不同的參數(shù)值來操縱和探索不同的功能以獲得目標(biāo)函數(shù)[16]．除了中小學(xué)數(shù)學(xué)，在學(xué)前教育階段也有相關(guān)的應(yīng)用研究，馬來西亞教育團(tuán)隊(duì)為學(xué)前階段的學(xué)生設(shè)計(jì)了AR魔法之書[17]，將“計(jì)數(shù)”的相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容以情境化的AR故事來呈現(xiàn)，充分調(diào)動(dòng)了幼兒園學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性．

3.2 AR在“圖形與幾何”領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀

“圖形與幾何”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)是發(fā)展學(xué)生抽象思維與空間觀念的最直接的知識(shí)載體．在AR技術(shù)的支持下，通過其可視化的特征，可以將以前肉眼難以觀察的現(xiàn)象直觀地呈現(xiàn)出來．有學(xué)者研究發(fā)現(xiàn)，通過呈現(xiàn)豐富的可視化圖像并讓學(xué)生動(dòng)手控制這些圖像能夠培養(yǎng)他們的形象化思維[18]．鄧立維（Dunleavy）與戴德（Dede）等人的研究[19]表明，學(xué)生使用虛擬環(huán)境可以更好地掌握抽象概念．拉杜（Radu）指出，學(xué)生在使用AR學(xué)習(xí)幾何時(shí)的學(xué)習(xí)效果比使用印刷媒體或使用桌面軟件時(shí)要好[20]．

相比以往常用的信息技術(shù)手段，AR可以通過其交互界面實(shí)現(xiàn)更友好的用戶互動(dòng)，點(diǎn)燃學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和興趣，讓學(xué)生沉浸在特定的學(xué)科學(xué)習(xí)中．近年來，隨著對(duì)“空間觀念”“直觀想象”等核心概念與核心素養(yǎng)的聚焦，對(duì)幾何領(lǐng)域知識(shí)的重視程度日益提高．首先，有學(xué)者就AR應(yīng)用于幾何教學(xué)設(shè)計(jì)的可行性進(jìn)行研究，有德國(guó)研究者（Maier、Klinker、T?nnis）的研究[21]表明，通過AR呈現(xiàn)的直觀的空間視覺模擬可以輔助學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是一種可行的教學(xué)方法．有關(guān)“圖形與幾何”領(lǐng)域的實(shí)證研究相對(duì)比較豐富，已有眾多研究表明，AR技術(shù)對(duì)“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)不論是知識(shí)與內(nèi)容方面還是情感態(tài)度方面均有顯著積極的作用．例如，普納馬（Purnama）等人創(chuàng)建基于OpenCv的AR幾何學(xué)習(xí)工具來幫助小學(xué)生學(xué)習(xí)使用量角器，該研究在某小學(xué)四年級(jí)的學(xué)生中進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，學(xué)生的成績(jī)令人滿意，實(shí)驗(yàn)后對(duì)數(shù)學(xué)感興趣的學(xué)生人數(shù)上漲了9%，100%的學(xué)生認(rèn)為他們?cè)谑褂肁R學(xué)習(xí)量角器時(shí)得到了有益的幫助，并且證實(shí)了OpenCv能夠作為構(gòu)建AR應(yīng)用程序的庫(kù)[22]．

空間觀念是對(duì)周圍環(huán)境和物體的直觀感受，多項(xiàng)研究表明，將AR應(yīng)用于幾何的學(xué)習(xí)可以提高學(xué)生的空間觀念．如考夫曼（Kaufmann）和施馬爾斯蒂格（Schmalstieg）設(shè)計(jì)了一個(gè)名為Construct3D的AR系統(tǒng)，他們的研究結(jié)果顯示，該系統(tǒng)易于使用，能夠提高學(xué)生的空間觀念和合作學(xué)習(xí)能力[23]．喬治（Jorge）等人設(shè)計(jì)了ARDehaes系統(tǒng)，結(jié)果表明AR易于使用且具有吸引力，適用于幾何學(xué)習(xí)且能夠提高學(xué)生的空間觀念[24]．林浩江等人設(shè)計(jì)了一個(gè)幫助初中生學(xué)習(xí)立體幾何的AR輔助學(xué)習(xí)系統(tǒng)[25]，研究對(duì)象為76名來自中國(guó)臺(tái)灣臺(tái)南市的學(xué)生．研究表明，通過AR系統(tǒng)輔助可以提高數(shù)學(xué)成績(jī)與空間知覺表現(xiàn)，促進(jìn)學(xué)生的有效學(xué)習(xí)．

3.3 AR在“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀

“統(tǒng)計(jì)與概率”的內(nèi)容自中國(guó)2000年課改以來，愈來愈受到重視，它在中小學(xué)課程內(nèi)容中與日常生活聯(lián)系緊密．而AR可以為理解與統(tǒng)計(jì)相關(guān)的概念提供豐富的情境化學(xué)習(xí)體驗(yàn)．已有的AR應(yīng)用于“統(tǒng)計(jì)與概率”學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)與研究大多來源于生活情境，AR在K-12教育中的應(yīng)用形式也比較豐富有趣．

小學(xué)階段，來自韓國(guó)的學(xué)者李（Lee）等人的研究團(tuán)隊(duì)，由兒童生活中常見的“大富翁游戲”作為靈感來源，開發(fā)了AR版的“大富翁教育游戲”[26]，讓小學(xué)生在AR游戲的情境下，不知不覺地學(xué)習(xí)擲骰子這一“統(tǒng)計(jì)與概率”模塊中經(jīng)常出現(xiàn)的典型情境下的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容．中學(xué)階段，在學(xué)習(xí)“頻率”與“概率”概念時(shí)，李（Li）等人在某中學(xué)讓學(xué)生使用AR應(yīng)用進(jìn)行經(jīng)典的“拋硬幣”實(shí)驗(yàn)探究[27]，AR作為工具用于記錄“拋硬幣”的結(jié)果，并自動(dòng)生成頻率曲線．研究結(jié)果表明，通過使用AR進(jìn)行探究學(xué)習(xí)，能夠在有限的課堂時(shí)間內(nèi)快速記錄大樣本實(shí)驗(yàn)結(jié)果，探究活動(dòng)的效率得到提高，在真正的“拋擲”臨場(chǎng)體驗(yàn)以及實(shí)時(shí)觀察的頻率曲線變化過程中，學(xué)生更能理解兩個(gè)概念的區(qū)別和聯(lián)系，學(xué)生的積極性也有顯著提高．高等教育階段，科林（Conley）最新的研究[28]考察了AR體驗(yàn)對(duì)學(xué)習(xí)基本統(tǒng)計(jì)概念的影響，結(jié)果表明AR可以促進(jìn)學(xué)生“統(tǒng)計(jì)與概率”的學(xué)習(xí)．該研究比較了前后測(cè)試中252名本科生和研究生在3種類型的增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)體驗(yàn)（高AR體驗(yàn)、低AR體驗(yàn)、無AR體驗(yàn)）中之前和之后的學(xué)習(xí)成果．結(jié)果表明，高AR體驗(yàn)和低AR體驗(yàn)的學(xué)生在學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)知識(shí)時(shí)比沒有AR體驗(yàn)的學(xué)生具有更高的參與度．研究者還對(duì)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)進(jìn)行了預(yù)測(cè)試和后測(cè)，發(fā)現(xiàn)原來成績(jī)較好的學(xué)生在AR體驗(yàn)下學(xué)習(xí)成績(jī)沒有顯著變化，而成績(jī)較差的學(xué)生獲益更多，成績(jī)提高得更為顯著．

總體而言，AR對(duì)基礎(chǔ)教育以及高等教育階段學(xué)生“統(tǒng)計(jì)與概率”的學(xué)習(xí)情感態(tài)度方面有積極的影響，不僅可以提供處理統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的直觀體驗(yàn)，幫助學(xué)生積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在實(shí)際操作中有助于對(duì)統(tǒng)計(jì)概念感性的認(rèn)識(shí)到理性的理解過渡．關(guān)于AR對(duì)“統(tǒng)計(jì)與概率”的績(jī)效支持、課堂學(xué)習(xí)能力、技能發(fā)展等影響還需要進(jìn)一步研究．

3.4 小結(jié)

綜合上述研究來看，AR在數(shù)學(xué)各領(lǐng)域的研究主要有3類結(jié)論：（1）AR對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)?cè)诓煌I(lǐng)域有不同程度的提高，對(duì)輔助幾何學(xué)習(xí)效果顯著；（2）AR僅對(duì)部分學(xué)生，如低學(xué)習(xí)成就者的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)有顯著提升；（3）AR對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性有明顯的促進(jìn)作用．在上述研究中，大部分研究者對(duì)AR應(yīng)用前后的學(xué)生績(jī)效進(jìn)行了前后測(cè)，對(duì)學(xué)生的知識(shí)掌握情況進(jìn)行測(cè)評(píng)，在訪談中對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和參與度進(jìn)行了調(diào)查，除了關(guān)注學(xué)習(xí)成績(jī)和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)等情感態(tài)度方面的影響，學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)素養(yǎng)、學(xué)習(xí)范式也值得進(jìn)一步深挖．更有研究者建議，把開發(fā)的AR應(yīng)用與范希爾（Van Hiele）幾何推理測(cè)試水平相結(jié)合，它將有助于獲得學(xué)生更全面的數(shù)據(jù)[13]．

由上述討論可以看到增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)技術(shù)的諸多應(yīng)用與優(yōu)勢(shì)，但在實(shí)際教學(xué)實(shí)踐中還是面臨了許多問題．例如，（1）影響范圍有限．并非所有研究都顯示增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)對(duì)學(xué)習(xí)效果有顯著的促進(jìn)作用．多項(xiàng)應(yīng)用增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)技術(shù)的實(shí)證研究數(shù)據(jù)顯示，增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)技術(shù)雖然對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力、情感態(tài)度方面起到了促進(jìn)作用，但是對(duì)于某部分學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)沒有顯著影響．尤其是對(duì)原本的高學(xué)習(xí)成就者的研究并沒有顯示出出色的效果．有研究者指出，可能有以下原因：第一在于試驗(yàn)周期較短，短期內(nèi)未能發(fā)現(xiàn)明顯差異；第二，AR本身是新興的技術(shù)，傳統(tǒng)的紙筆標(biāo)準(zhǔn)化測(cè)試未必能很好地評(píng)估這項(xiàng)技術(shù)所帶來的影響，以及類似解決現(xiàn)實(shí)問題的能力．（2）跨學(xué)科研究團(tuán)隊(duì)與技術(shù)專家稀缺．盡管這些年市場(chǎng)上涌現(xiàn)出大批教育應(yīng)用軟件，然而其中很少是為數(shù)學(xué)學(xué)科量身設(shè)計(jì)的，而采用新興AR技術(shù)的就更少了．不可否認(rèn)的是，針對(duì)數(shù)學(xué)主題領(lǐng)域的AR交互式系統(tǒng)的教育內(nèi)容的創(chuàng)建與編寫好的教科書一樣困難，并且需要大量的時(shí)間和工作．目前跨學(xué)科研究團(tuán)隊(duì)、軟件與技術(shù)方面的專家人才稀缺的現(xiàn)狀也是AR應(yīng)用于數(shù)學(xué)教育面臨的一大難題．（3）課堂整合困難．在立陶宛[29]，教育系統(tǒng)相當(dāng)靜止，缺乏不同的學(xué)習(xí)方法和風(fēng)格．AR技術(shù)給他們的教育改革帶來契機(jī)，在立陶宛備受關(guān)注，但是在該國(guó)的教育過程中AR并沒有被廣泛使用，原因在于許多教師沒有想到AR技術(shù)該如何納入學(xué)習(xí)過程，在應(yīng)用于數(shù)學(xué)這些專門的學(xué)科時(shí)缺乏有效的、有針對(duì)性的教學(xué)設(shè)計(jì)．AR要應(yīng)用在教育環(huán)境中并不是像通用的子彈一樣，每個(gè)應(yīng)用程序都是獨(dú)一無二的，必須為特定學(xué)科和特定知識(shí)內(nèi)容所設(shè)計(jì)．AR只是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的載體，輔以適當(dāng)?shù)膬?nèi)容選擇和教學(xué)設(shè)計(jì)才能發(fā)揮出對(duì)學(xué)習(xí)的功效，其設(shè)計(jì)和使用必須由學(xué)科專家或?qū)ｎ}專家指導(dǎo)．但是目前相關(guān)數(shù)字資源質(zhì)量不高，沒有真正對(duì)接學(xué)習(xí)者的訴求，使得AR與課堂的整合常常出現(xiàn)問題，很多情況下這些新技術(shù)只在展示課上“秀一秀”，與教學(xué)內(nèi)容剝離、簡(jiǎn)單疊加，不能在常態(tài)課中得到廣泛的應(yīng)用．

4 增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)技術(shù)在數(shù)學(xué)教育中的實(shí)踐價(jià)值分析

為了了解目前數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中媒體技術(shù)的使用，有研究者對(duì)全國(guó)42名數(shù)學(xué)教師發(fā)展指導(dǎo)者進(jìn)行訪談，發(fā)現(xiàn)目前在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用最多的媒體技術(shù)主要是PPT、電子白板和幾何畫板，但均存在缺乏交互、真實(shí)感弱、與外部環(huán)境融合度差的局限性[30]．而增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)技術(shù)的浸潤(rùn)性、可視化、互動(dòng)性、多樣性的特征，能在數(shù)學(xué)教育的實(shí)踐中發(fā)揮其獨(dú)特的價(jià)值．它的浸潤(rùn)式體驗(yàn)?zāi)軌驕贤ㄕ鎸?shí)世界的數(shù)據(jù)與虛擬的數(shù)學(xué)情境，引領(lǐng)“探究性學(xué)習(xí)”“游戲化學(xué)習(xí)”等活動(dòng)的有效開展；它的可視化特質(zhì)能夠聯(lián)系直觀與抽象，增強(qiáng)視覺感知，突出數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)；它的實(shí)時(shí)互動(dòng)性與信息的連續(xù)性可以減少無關(guān)的認(rèn)知負(fù)荷，讓數(shù)形結(jié)合更緊密，讓數(shù)學(xué)認(rèn)知更到位；它的多樣性，能讓不變?cè)谧兓型伙@，讓學(xué)生在推導(dǎo)推理前對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象與規(guī)律有真切的感知，讓不完全歸納更完全．下面將具體闡述．

4.1 溝通真實(shí)與虛擬 引領(lǐng)活動(dòng)式學(xué)習(xí)

當(dāng)學(xué)習(xí)發(fā)生在現(xiàn)實(shí)世界的背景或情境下，這樣的學(xué)習(xí)環(huán)境不僅可以讓學(xué)生獲得經(jīng)驗(yàn)，還可以了解課堂中的概念如何應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界中的問題解決[31]．增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)技術(shù)將圖像、音頻和其它感知增強(qiáng)功能從計(jì)算機(jī)屏幕疊加到實(shí)時(shí)環(huán)境中，將虛擬世界融入真實(shí)世界，實(shí)現(xiàn)無縫對(duì)接，為學(xué)習(xí)者提供了沉浸式的學(xué)習(xí)環(huán)境．所有學(xué)習(xí)都是發(fā)生在特定的環(huán)境中的，學(xué)習(xí)的質(zhì)量是學(xué)習(xí)者與地點(diǎn)、對(duì)象、過程和文化之間相互作用的結(jié)果[32]．例如，鄧?yán)S（Dunleavy）等人的研究團(tuán)隊(duì)與麻省理工學(xué)院、麥迪遜威斯康星大學(xué)合作，開發(fā)了一個(gè)名為Alien Contact的AR模擬系統(tǒng)，旨在向中學(xué)生傳授數(shù)學(xué)知識(shí)和提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)．新興的多用戶虛擬環(huán)境（MUVE）界面為學(xué)生提供了一種引人入勝的“愛麗絲夢(mèng)游仙境”體驗(yàn)，學(xué)生化身“密碼學(xué)家”等角色與“外星人”對(duì)話，在不同情境中與隊(duì)友協(xié)作解決數(shù)學(xué)難題，給予了學(xué)習(xí)者在現(xiàn)實(shí)世界中難以獲得的學(xué)習(xí)體驗(yàn)．增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)技術(shù)可以為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)創(chuàng)造豐富的情境、浸潤(rùn)式的體驗(yàn)，用多種設(shè)備進(jìn)行“探究性學(xué)習(xí)”“合作學(xué)習(xí)”“游戲化學(xué)習(xí)”等多樣化活動(dòng)[33]．在這種情況下，學(xué)生通過將學(xué)習(xí)內(nèi)容與自己的經(jīng)歷聯(lián)系起來，容易激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和積極情緒，大大提升活動(dòng)開展的有效性．圍繞虛擬內(nèi)容進(jìn)行協(xié)作，通過數(shù)據(jù)內(nèi)容共享與自由訪問參與者相關(guān)信息來改善學(xué)習(xí)體驗(yàn)，還能培養(yǎng)參與者的解決問題能力與協(xié)作能力．

4.2 聯(lián)系直觀與抽象 突顯數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是抽象．從小學(xué)數(shù)學(xué)課堂開始，學(xué)生就開始接觸抽象概念與信息，如數(shù)的運(yùn)算，以及用于表示數(shù)學(xué)概念的符號(hào)，等等．增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)可以呈現(xiàn)與物理對(duì)象和位置相關(guān)聯(lián)的信息，從而改善對(duì)符號(hào)關(guān)聯(lián)的學(xué)習(xí)，促進(jìn)抽象概念的理解．有研究者[34]開發(fā)了結(jié)合體感設(shè)備Kinect的AR程序，通過時(shí)間和位置等數(shù)據(jù)信息產(chǎn)生圖形來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)高等教育中的抽象概念，并在某大學(xué)進(jìn)行實(shí)證研究得到了積極的反饋．借助AR手段，還可以幫助學(xué)生理解更難一些的概念，比如復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可以利用軟件捕捉標(biāo)記，然后呈現(xiàn)兩個(gè)復(fù)數(shù)的向量表示，并同步呈現(xiàn)兩個(gè)復(fù)數(shù)的和與乘積，移動(dòng)不同位置便有不同一一對(duì)應(yīng)的結(jié)果，從而增強(qiáng)視覺感知．這種聯(lián)系直觀與抽象的展現(xiàn)方式，比傳統(tǒng)講授式的教學(xué)更能突顯數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生深度理解．

4.3 結(jié)合數(shù)字與圖形 增強(qiáng)多維空間的認(rèn)知

“數(shù)形結(jié)合”是重要的數(shù)學(xué)思想方法，“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”是華羅庚先生對(duì)數(shù)形關(guān)系的精辟論述，增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)技術(shù)可以將抽象的虛擬數(shù)字信息轉(zhuǎn)換為具體表示，生成真實(shí)可見的物體．這種具體化搭建起了多維空間的認(rèn)知橋梁，讓數(shù)形結(jié)合更緊密．增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)技術(shù)所具有的強(qiáng)大互動(dòng)性是實(shí)時(shí)的，即學(xué)生可以在現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景下自由操縱虛擬對(duì)象，且現(xiàn)實(shí)的操作可以在時(shí)間和空間上產(chǎn)生與虛擬操縱相同的水平與效果，這種信息的連續(xù)性將減少無關(guān)的認(rèn)知負(fù)荷，可以有效培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)態(tài)觀．尤其是在空間立體幾何的學(xué)習(xí)中，增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)技術(shù)擅長(zhǎng)展示3D立體圖形，演示點(diǎn)、線、面、體的連續(xù)變換過程，可以快速對(duì)圖形的長(zhǎng)度、表面積、體積等進(jìn)行精準(zhǔn)計(jì)算，將周長(zhǎng)—面積、表面積—體積這些易混淆概念的“數(shù)”與“形”一一對(duì)應(yīng)，讓直觀形象更“入微”，從不同視角體會(huì)空間幾何知識(shí)，理解幾何體的概念、結(jié)構(gòu)、性質(zhì)，從而為學(xué)生從二維到三維之間的關(guān)系理解搭建完美的腳手架．

4.4 論證特殊到一般 讓數(shù)學(xué)歸納更完全

在數(shù)學(xué)的探究性學(xué)習(xí)課堂中，很多的數(shù)學(xué)推理都會(huì)經(jīng)歷特殊化到一般化的過程．不乏聽到教師使用“任意”一詞，但是實(shí)際課堂實(shí)踐中大部分都是由教師舉一個(gè)例子演示，學(xué)生舉一個(gè)例子，便驗(yàn)證了“任意”的情況．在此情境下，學(xué)生對(duì)“任意”的感受其實(shí)并不真切，對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象與規(guī)律并不確信．只有當(dāng)“任意”真的很任意時(shí)，學(xué)生才會(huì)體會(huì)到推理出的結(jié)果是可信的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模缭趯W(xué)習(xí)“密鋪”的性質(zhì)時(shí)，需要驗(yàn)證任意三角形和四邊形可以密鋪．在推導(dǎo)驗(yàn)證之前，對(duì)四年級(jí)的學(xué)生來說最直觀的方法是用直接拼圖來探索密鋪的規(guī)律．傳統(tǒng)的學(xué)生剪拼法耗時(shí)耗材，且精確性不高，剪紙過程稍有差池便會(huì)影響密鋪效果，而教師演示法交互性低，學(xué)生認(rèn)同感不強(qiáng)．利用增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)技術(shù)可以有效彌補(bǔ)這些不足，只需在方格紙上畫出任意的三角形、四邊形，將其掃描入AR設(shè)備（手機(jī)、平板、電腦都能實(shí)現(xiàn)）便能觀察所畫圖形的密鋪過程，簡(jiǎn)單的操作就能夠讓學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)進(jìn)行重復(fù)多次的實(shí)驗(yàn)探究，每個(gè)學(xué)生參與其中，在多次親歷體驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律與本質(zhì)．讓不變?cè)谧兓型伙@，讓不完全歸納更完全，讓“任意”真的很任意，為下一步的推導(dǎo)推理積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．

5 研究展望

文章詳述的研究重要性不是技術(shù)本身，而是技術(shù)為學(xué)習(xí)帶來的附加價(jià)值．增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)技術(shù)特有的可視化、互動(dòng)性、沉浸性等優(yōu)勢(shì)在數(shù)學(xué)教育的應(yīng)用中展現(xiàn)了強(qiáng)大的價(jià)值和潛力，目前該領(lǐng)域的研究尚處于起步階段，需要進(jìn)一步探索它的發(fā)展空間．

5.1 應(yīng)用技術(shù)

從應(yīng)用技術(shù)層面來看，基于圖像（標(biāo)記）的增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)技術(shù)是支持AR學(xué)習(xí)體驗(yàn)發(fā)展的最常用方法，其次是基于位置的增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)技術(shù)．與無標(biāo)記跟蹤技術(shù)相比，當(dāng)前標(biāo)記的跟蹤過程更好且更穩(wěn)定，與真實(shí)世界在時(shí)空的對(duì)接更自然，有利于實(shí)現(xiàn)更多沉浸式而非侵入式AR學(xué)習(xí)體驗(yàn)[35]．以上兩種方法主要是基于地理位置和標(biāo)志物的識(shí)別向?qū)W習(xí)者推送文字圖片，近年來逐漸形成向使用者推送3D物體的趨勢(shì)，在真實(shí)感與神奇感方面更趨于完美，但是在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中的渲染與跟蹤算法等方面還存在很大的優(yōu)化空間，例如室內(nèi)操作時(shí)會(huì)因?yàn)楣饩€不足導(dǎo)致陰影遮蔽，手持設(shè)備產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)模糊，跟蹤延時(shí)等技術(shù)問題．程序的魯棒性、實(shí)時(shí)性、靈活性還有較大的改進(jìn)空間[36]．

目前最流行的可以訪問并創(chuàng)建AR應(yīng)用程序的工具有ATOMIC、Unity3D、AMIRE和ComposAR等，這些都對(duì)使用者有一定的計(jì)算機(jī)知識(shí)和編程語(yǔ)言要求．隨著移動(dòng)技術(shù)的成熟，AR技術(shù)已經(jīng)可以廣泛集成到智能手機(jī)和平板電腦等移動(dòng)設(shè)備，程序的易用性影響著此技術(shù)的普及，如讓操作界面更加直觀，允許用戶創(chuàng)建學(xué)習(xí)環(huán)境而無需使用編程語(yǔ)言是未來技術(shù)層面努力的方向．讓沒有編程經(jīng)驗(yàn)的各學(xué)科教師可以根據(jù)教學(xué)目標(biāo)創(chuàng)建自己需要的AR程序，讓AR真正成為“創(chuàng)作工具”，體現(xiàn)學(xué)科與技術(shù)的深度融合，實(shí)現(xiàn)深層次交互，是未來研究的一個(gè)重要方向．

5.2 應(yīng)用形式

從應(yīng)用形式來看，早期的研究大多是將AR作為傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂的輔助工具來補(bǔ)充標(biāo)準(zhǔn)課程，進(jìn)行課堂演示、知識(shí)查看，以及模擬實(shí)驗(yàn)操作．還有研究者在數(shù)學(xué)課堂中嘗試使用AR教科書、灰卡和其它包含嵌入式標(biāo)記或觸發(fā)器的教育閱讀材料，當(dāng)由AR設(shè)備掃描時(shí)，生成以多媒體格式呈現(xiàn)的補(bǔ)充信息[2，37]．近期的研究中，AR的應(yīng)用形式趨于豐富多樣，基本可分為AR閱讀、AR演示、AR操作3類．AR閱讀包括數(shù)學(xué)繪本、認(rèn)知卡片等，AR演示包括非正式學(xué)習(xí)環(huán)境中的數(shù)學(xué)展覽，正式學(xué)習(xí)環(huán)境中函數(shù)圖象的計(jì)算呈現(xiàn)、空間幾何圖形的構(gòu)建與多方位展示等，AR操作包括三維建模、教育游戲等．結(jié)合中國(guó)數(shù)學(xué)內(nèi)容的螺旋式設(shè)計(jì)，以及前面提及的局限性，建議未來的AR應(yīng)用研究可以不拘泥于數(shù)學(xué)課堂，延長(zhǎng)研究周期，多關(guān)注學(xué)習(xí)形式的轉(zhuǎn)變，例如可以應(yīng)用于翻轉(zhuǎn)課堂、基于項(xiàng)目的任務(wù)設(shè)計(jì)、綜合實(shí)踐的主題教學(xué)設(shè)計(jì)等，在探究式學(xué)習(xí)中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．更有研究者建議，結(jié)合其它互動(dòng)策略（例如體感游戲、角色扮演、智能眼鏡等可穿戴技術(shù)）以增強(qiáng)用戶的體驗(yàn)與生動(dòng)性，獲得更強(qiáng)的真實(shí)感與深層次互動(dòng)[38–39]．值得注意的是，AR的數(shù)學(xué)教育應(yīng)用不該是盲目的追求使用技術(shù)來更新教學(xué)形式，以教學(xué)論作為中介內(nèi)容，考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容、教師的教學(xué)風(fēng)格、技術(shù)的使用方法三大因素，博采眾長(zhǎng)，選擇合適的應(yīng)用形式才能發(fā)揮AR在教育中的最大功效．

5.3 應(yīng)用對(duì)象

從應(yīng)用對(duì)象層面來看，有研究者建議關(guān)注更大的樣本量和廣泛的主題[40]．胡安（GarzónJuan）等人[41]基于2011—2017年在國(guó)際期刊上發(fā)表的50篇關(guān)于AR在教育中的應(yīng)用研究統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，在這些研究中AR應(yīng)用的最常見的目標(biāo)對(duì)象群體是中學(xué)生（35%）、學(xué)士學(xué)位等級(jí)（32.50%）和小學(xué)（25%）．有一個(gè)目標(biāo)群體沒有被考慮在內(nèi)——職業(yè)技術(shù)教育生．綜觀貝卡（Bacca）與陳（Chen）等人的研究[42]，在總共127個(gè)涉及AR的應(yīng)用中僅有一個(gè)是將職業(yè)技術(shù)教育的學(xué)生作為目標(biāo)對(duì)象．這些學(xué)生，通常都已完成中學(xué)教育，但由于種種原因沒有入讀大學(xué)，而是準(zhǔn)備成為某特定職業(yè)的技術(shù)人員，某些數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)于他們來說是必要但是難學(xué)的，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)通過AR這一載體應(yīng)用于職業(yè)教育中相關(guān)實(shí)踐活動(dòng)培訓(xùn)的潛力尚未被挖掘．進(jìn)行更多研究以了解AR應(yīng)用中的用戶的知識(shí)構(gòu)建過程與心理沉浸差異，也是研究的空白，有待填補(bǔ)．

除此之外，未來更多的研究還應(yīng)將特殊人群的需求納入考慮之中，例如學(xué)習(xí)障礙者、有認(rèn)知限制的人、殘疾人等，并為更廣泛的用戶提供系統(tǒng)的可用性．已有研究[43]表明，AR對(duì)自閉傾向和注意力不足過動(dòng)癥（attention deficit disorder，以下簡(jiǎn)稱ADD）的學(xué)生的行為和參與度有明顯的積極影響．訪談中有教師談到：“我看到平時(shí)比較自閉的幾個(gè)孩子，此刻真的很專注、很投入”，“我確實(shí)注意到ADD的孩子，有幾個(gè)平時(shí)根本不會(huì)坐在課堂上，現(xiàn)在他們100%參與進(jìn)來了．”在課堂上教師面臨的最大挑戰(zhàn)之一就是努力吸引那些在對(duì)課程無動(dòng)于衷的學(xué)生，這些學(xué)生在AR活動(dòng)中高度參與的發(fā)現(xiàn)是重要且令人鼓舞的，可以合理地?cái)嘌裕绻茏孉R與合理的教學(xué)法結(jié)合起來，對(duì)特殊人群的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將有重大意義．

[1] MILGRAM A P, TAKEMURA H, UTSUMI A, et al. Augmented reality: A class of displays on the reality-virtuality continuum [J]. Proceedings of SPIE - The International Society for Optical Engineering, 1994 (2?351): 282–292.

[2] AZUMA R T. A survey of augmented reality [J]. Presence Teleoperators Virtual Environment, 1997, 6 (4): 355–385.

[3] KAUFMANN H. Collaborative augmented reality in education [C] // Proceedings from Imagina 2003 Conference. Monaco: Imagina, 2003: 1–4.

[4] ZHOU F, DUH H-L, BILLINGHURST M. Trends in augmented reality tracking, interaction anddisplay: A review of ten years in ISMAR [C] // Proceedings from ISMAR 7th IEE/ACMinternational Symposium: Mixed and Augmented Reality. Cambridge: IEEE, 2008: 193–202.

[5] H?LLERER T H, FEINER S K. Mobile augmented reality [M] // KARIMI H A, HAMMAD A. Telegeoinformatics: Location-based computing and services. CRC Press, 2004: 392–421.

[6] CUENDET S, BONNARD Q, DO-LENH S, et al. Designing augmented reality for the classroom [J]. Computers & Education, 2013, 68 (1): 557–569.

[7] WOJCIECHOWSKI R, CELLARY W. Evaluation of learners’ attitude toward learning in ARIES augmented reality environments [J]. Computers & Education, 2013, 68 (1): 570–585.

[8] GARTNER Inc. Gartner identifies top ten disruptive technologies for 2008 to 2012 [EB/OL]. (2008–11–18) [2019–07–05]. http://www.gartner.com/it/page.jsp?id=681107.

[9] BILLINGHURST M, CLARK A, LEE G. A survey of augmented reality [M]. Now Publishers Inc, 2015: 73–272.

[10] ?JOHNSON L, ADAMS S, CUMMINS M. Technology outlook for australian tertiary education 2013—2018: An NMC horizon report regional analysis [M]. New Media Consortium: Austin, Texas, 2013: 28.

[11] 新媒體聯(lián)盟．2011地平線報(bào)告[J]．上海教育，2011（14）：1–12．

[12] ?MCLAREN B M, ADAMS D M, MAYER R E, et al. A Computer-based game that promotes mathematics learning more than a conventional approach [J]. Game-Based Learn, 2017, 7 (1): 36–56.

[13] LIN D. Towards an augmented reality-based mobile math learning game system [M] // HCIInternational 2019. Switzerland: Springer, 2019: 217–225.

[14] ?PERIASAMY E, ZAMAN H B. Augmented reality as a remedial paradigm for negative numbers: Content aspect [M]. Berlin: Springer, 2009: 11–13.

[15] ?ZAMAN H B, PERIASAMY E A, AHMAD A, et al. Evaluation of augmented reality remedial worksheet based on AVCTP algorithm for negative numbers (AR2WN2) [C] // Proceedings from International Visual Informatics Conference. Malaysia: Springer, 2013: 581–594.

[16] ?JOSé M C, SYLLA C, JO?O M M, et al. Interactivity, game creation, design, learning, and innovation [M]. Switzerland: Springer, 2019: 508–513.

[17] ?ZHANG M, LEI W, LU Y, et al. A digital entertainment system based on augmented reality [M]. Berlin: Springer, 2011: 787–794.

[18] ?NOR F S. A review of research on augmented reality in education: Advantages and applications [J]. International Education Studies, 2015, 8 (13): 1–8.

[19] ?DUNLEAVY M, DEDE C. Augmented reality teaching and learning [M] // Handbook of research on educational communications and technology. New York: Springer, 2014: 282–291.

[20] ?RADU I. Why should my students use AR? A comparative review of the educational impacts of augmented-reality [C] // IEEE International Symposium on Mixed & Augmented Reality. Atlanta: IEEE, 2013: 313–314.

[21] ?MAIER P, KLINKER G, T?NNIS M. Augmented reality for teaching spatial relations [J]. International Journal of Arts & Sciences, 2009 (10): 22–25.

[22] ?PURNAMA J, ANDREW D, GALINIUM M. Geometry learning tool for elementary school using augmented reality [C] // 2014 International Conference on Industrial Automation, Information and Communications Technology. Bali: IEEE, 2014: 145–148.

[23] ?KAUFMANN H, SCHMALSTIEG D. Mathematics and geometry education with collaborative augmented reality [J]. Computers & Graphics, 2003 (27): 339–345.

[24] ?JORGE J, MANUEL M, DAVID M. Design and validation of an augmented book for spatial abilities development in engineering students [J]. Computers & Graphics, 2010 (34): 77–91.

[25] ?LIN H C K, CHEN M C, CHANG C K. Assessing the effectiveness of learning solid geometry by using an augmented reality-assisted learning system [J]. Interactive Learning Environments, 2015, 23 (6): 799–810.

[26] ?LEE H S, LEE J W. Mathematical education game based on augmented reality [M] // PAN Z, ZHANG X, EL RHALIBI A, et al. Technologies for e-learning and digital entertainment. Berlin: Springer, 2008: 442–450.

[27] ?LI S, SHEN Y, WANG P, et al. A case study of teaching probability using augmented reality in secondary school [EB/OL]. (2016–11–18) [2019–07–13]. www.etc.edu.cn/cs/publications.html.

[28] ?CONLEY Q. Exploring the impact of varying levels of augmented reality to teach probability and sampling with a mobile device [D]. Phoenix: Arizona State University, 2014: 116–122.

[29] ?VALATKEVI?IUS T, PAULAUSKAS A, BLA?AUSKAS T, et al. The mobile application based on augmented reality for learning STEM subjects [M]. Switzerland: Springer, 2018: 476–482.

[30] 毛耀忠，張銳，陳行，等．信息技術(shù)如何影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)——基于對(duì)42位數(shù)學(xué)教師發(fā)展指導(dǎo)者的訪談[J]．電化教育研究，2018，39（3）：109–114．

[31] ?BUJAK K R, RADU I, CATRAMBONE R, et al. A psychological perspective on augmented reality in the mathematics classroom [J]. Computers & Education, 2013 (68): 536–544.

[32] ?HAMADA S. Education and knowledge based augmented reality (AR) [M] // SHAALAN K, HASSANIEN A, TOLBA F. Intelligent natural language processing: Trends and applications. Switzerland: Springer, 2018: 741–759.

[33] 田元，周冪，夏丹，等．基于移動(dòng)增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)的學(xué)齡前兒童教育游戲研究與設(shè)計(jì)[J]．電化教育研究，2019，40（4）：68–75．

[34] ?AYALA N A R, MENDíVil E G, SALINAS P, et al. Kinesthetic learning applied to mathematics using kinect [J]. Procedia Computer Science, 2013, 25 (25): 131–135.

[35] ?ZARRAONANDIA T, AEDO I, DíAZ P, et al. A case of use of augmented reality for supporting communication in presentations [M] // URZAIZ G, OCHOA S F, BRAVO J, et al. Ubiquitous computing and ambient intelligence. Switzerland: Springer, 2013: 102–110.

[36] 王培霖，梁奧齡，羅柯，等．增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)（AR）：現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)及產(chǎn)學(xué)研一體化展望[J]．中國(guó)電化教育，2017（3）：16–23．

[37] ?YUEN S, YAOYUNEYONG G, JOHNSON E. Augmented reality: An overview and vedirections for AR in education [J]. Educ, Technol, Deve, Exch, 2011, 4 (1): 119–140.

[38] ?CHANG Y L, HOU H T, PAN C Y, et al. Apply an augmented reality in a mobile guidance to increase sense of place for heritage places [J]. Educational Technology & Society, 2015, 18 (2): 166–178.

[39] 蔡蘇，張晗，薛曉茹，等．增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)（AR）在教學(xué)中的應(yīng)用案例評(píng)述[J]．中國(guó)電化教育，2017（3）：1–9，30．

[40] ?CHEN P, LIU X, CHENG W, et al. A review of using augmented reality in education from 2011 to 2016 [M] // POPESCU E. Innovations in smart learning. Singapore: Springer, 2017: 13–18.

[41] ?GARZóN J, PAVóN J, BALDIRIS S. Augmented reality applications for education: Five directions for future research [M] // DE PAOLIS L, BOURDOT P, MONGELLI A. Augmented reality, virtual reality, and computer graphics [M]. Switzerland: Springer, 2017: 402–414.

[42] ?BACCA J, FABREGAT R, BALDIRIS S, et al. Augmented reality trends in education: A systematic review of research and applications [J]. Educational Technology & Society, 2014, 17 (4): 133–149.

[43] ?DUNLEAVY M, DEDE C, MITCHELL R. Affordances and limitations of immersive participatory augmented reality simulations for teaching and learning [J]. Journal of Science Education and Technology, 2009, 18 (1): 7–22.

The Integration of Augmented Reality (AR) in Mathematics Education: Looking Back and Looking Forward

WANG Luo-na

(School of Mathematical Sciences, East China Normal University, Shanghai 200241, China)

Integrating Augmented Reality (AR) in the educational environment enables students to obtain a visual and immersive learning experience. It can break the barriers between the virtual and reality and provide new learning opportunities. To understand the current situation and the development of the application of AR in mathematics education, this study reviewed the studies of mathematics educational application of AR at home and abroad and discussed the development of AR in three major learning areas of mathematics, including Number and Algebra, Graphics and Geometry, and Statistics and Probability. The results show that AR has different effects on students when they learn different areas of mathematics; in particular, it has a very distinguished effect on geometry learning, it has positive effects on students’ learning motivation, and it has more influence on students who have lower achievement than on those who have higher performance in mathematics. We then discuss the practical value of AR in mathematics education and put forward suggestions to the field of mathematics education from the aspects of technology, form, and object.

augmented reality; mathematics education; educational application; learning effect

G434

A

1004–9894（2020）05–0091–07

王羅那．增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)技術(shù)（AR）在數(shù)學(xué)教育中的應(yīng)用現(xiàn)狀述評(píng)與展望[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020，29（5）：91-97．

2020–06–05

王羅那（1992—），女，浙江湖州人，博士生，主要從事課程與教學(xué)論、數(shù)學(xué)教育與教育技術(shù)研究．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳漢君]