陶紅強

小學生數(shù)學符號意識分析框架的構(gòu)建

陶紅強

（溧陽市湯橋小學，江蘇 常州 213300）

符號意識作為學生的核心素養(yǎng)，理應受到重視．構(gòu)建一個能從具體行為層面來分析小學生數(shù)學符號意識的框架，是發(fā)展學生符號意識的重中之重．基于國內(nèi)外有關符號意識操作性定義的分析，結(jié)合相關理論與實踐，構(gòu)建了一個關于小學生數(shù)學符號意識3個維度（符號認識、符號理解、符號運用），15個具體成分的分析框架．

小學段；符號意識；分析框架；維度

數(shù)學符號意識作為小學生的一個重要核心素養(yǎng)[1]，理應受到數(shù)學教育的重視．目前，國內(nèi)外關于符號意識的研究主要集中在其內(nèi)涵的界定、要素的構(gòu)成和策略的培養(yǎng)3個方面．而作為一線教師，最為困惑的是不能從操作層面來有效培養(yǎng)學生的符號意識．究其原因，符號意識的內(nèi)隱性導致廣大一線教師不能有效地將抽象的符號意識概念具體化到行為層面，繼而不具有可操作性．因此，構(gòu)建一個能分析小學生數(shù)學符號意識發(fā)展水平的分析框架，即構(gòu)建一個數(shù)學符號意識的行為評估指標，是非常必要而又緊迫的．研究者嘗試在符號意識內(nèi)涵（主要從符號意識的操作性定義）的分析基礎上，對小學階段有關數(shù)學符號內(nèi)容及其符號意識的表現(xiàn)形式進行梳理，并結(jié)合相關理論對教學實踐中學生表現(xiàn)出的符號意識做出分析，最終構(gòu)建出小學生數(shù)學符號意識的分析框架．

1 對數(shù)學符號意識內(nèi)涵的認識

關于符號意識內(nèi)涵的界定，國內(nèi)外學者已經(jīng)做了大量有價值的探討，雖然在認識上還不統(tǒng)一，但主要集中在3個視角：“數(shù)學學科、符號學和心理學．”[1]

1.1 數(shù)學學科視角下的符號意識

“數(shù)學的本質(zhì)是概念和符號，并通過概念進行運算和推理．”[2]從數(shù)學本質(zhì)這一視角出發(fā)，符號意識的內(nèi)涵主要表現(xiàn)在數(shù)學抽象、數(shù)學理解和數(shù)學應用方面．例如，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》對符號意識的內(nèi)涵界定為“符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結(jié)論具有一般性．建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數(shù)學表達和數(shù)學思考的重要形式”[3]．數(shù)、數(shù)量關系、規(guī)律都是數(shù)學抽象的產(chǎn)物，用數(shù)學符號表示這些抽象的數(shù)學對象，既是發(fā)展符號意識的重要途徑又是分析學生符號意識的重要途徑．同樣，對符號意識有可操作性定義的觀點有：“符號意識內(nèi)涵包括理解并會用符號表示數(shù)、數(shù)量關系和變化規(guī)律；用符號進行運算和推理．”[4]“能夠理解并運用符號去表示數(shù)學的意義和結(jié)構(gòu)、運用符號進行運算和思考．”[5]“符號意識的要求具體體現(xiàn)在符號理解、符號操作、符號表達和符號思考4個維度．”[6]可見，雖然上述關于符號意識的具體表述不同，但都是從數(shù)學學科視角出發(fā)的，且都是針對符號意識的行為層面來講的，具有操作性．

1.2 符號學視角下的符號意識

黃玉順教授認為“西方符號學有3大系統(tǒng)，即索緒爾開創(chuàng)的語言學系統(tǒng)、皮爾士的分析哲學系統(tǒng)與胡塞爾的現(xiàn)象學符號系統(tǒng)”[7]．語言學研究的是符號系統(tǒng)，其關注的是“符號承載知識和信息的功能”[7]．例如，索緒爾指出符號概念：“當事物A可以作為事物B的替代而代表事物B時，事物A就是事物B的符號．”[1]同時指出，一個符號由“能指”和“所指”組成．符號學研究的是符號本體，“探討的是符號的本質(zhì)，強調(diào)的是符號自身的特性”[7]．例如，皮爾士指出：“符號包含符號、對象和解釋3個主題，對象可以是現(xiàn)實事物或另一個再現(xiàn)符號，而符號在與對象的聯(lián)系中，在符號使用者的頭腦中便產(chǎn)生了解釋．”[8]同樣也比較注重解釋的是胡塞爾的現(xiàn)象學，其研究的符號強調(diào)的是對符號文本意義的解釋．

以上符號學的3大系統(tǒng)雖然代表3種不同的視角，但都強調(diào)了符號的功能性和符號理解的重要性．這可以提示研究者可從符號的功能方面和學生對符號的理解水平方面來設計具體行為指標，進而分析學生的符號意識．

1.3 心理學視角下的符號意識

從心理學的視角界定符號意識，主要是從意識出發(fā)進行相關定義．意識是“包括感知覺在內(nèi)的一種最高級的認識活動，思維在其中起著決定性的作用，具有自覺性、能動性、創(chuàng)造性等特點”[8]．可見，符號意識要注重人的能動性，從操作性層面來講主要體現(xiàn)在對數(shù)學符號的表達與理解的主動性．鄭毓信教授認為：“會進行符號間的轉(zhuǎn)換與能選擇適當?shù)闹刃蚝头椒ń鉀Q用符號所表達的問題而言，主要地都應看成一種自覺的努力．”[9]其所指的“自覺的努力”就是一種主動性的體現(xiàn)．

基于對以上數(shù)學符號意識的三維視角（數(shù)學學科、符號學、心理學）的分析，研究者認為小學生數(shù)學符號意識的分析框架的構(gòu)建應具備以下幾個標準：第一，要關注學生的主觀能動性，因為符號意識強調(diào)人的一種感悟；第二，注重數(shù)學的功能性特征，既包括符號的內(nèi)在功能性又包括符號的外在功能性．本著這一指導方向，對6個年級的數(shù)學符號內(nèi)容進行梳理，并對符號意識的表現(xiàn)形式做了具體的分析．

1.4 小學段數(shù)學符號類型及其符號意識的具體表現(xiàn)

邵光華教授根據(jù)符號的意義把數(shù)學符號分為6大類：“元素符號、運算符號、關系符號、結(jié)合符號、約定符號、簡練表達式或縮記符號．”[10]以此為依據(jù)，并根據(jù)《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》的要求、對數(shù)學教科書（蘇教版）數(shù)學符號內(nèi)容進行梳理分析，總結(jié)得出小學段數(shù)學符號類型及其符號意識的具體表現(xiàn)．限于篇幅，僅以元素符號為例（見表1）．

表1 小學數(shù)學元素符號及其符號意識的表現(xiàn)形式

由表1可以看出，隨著數(shù)學學習的展開，以及隨著年級的升高，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》和教科書對學生符號意識的要求也在逐步提高，具體反映在學生對數(shù)學符號理解的深度、廣度變化，以及學生在表達客觀事物數(shù)學關系時使用符號表達的意識、頻率、合理性、復雜性等方面的差異．例如，元素符號從對整數(shù)的會讀寫到分數(shù)、小數(shù)的意義理解再到字母的表示與運用；而對字母符號的理解又從某數(shù)的替代提升到變量的理解．這些方面為接下來的研究有著兩方面的啟示：第一，在設計可觀察、可測量的符號意識行為指標時，要有發(fā)展梯度，即設計不同年度梯度的分析指標；第二，以此為依據(jù)進一步指導在教學實踐中對學生表現(xiàn)出的不同符號意識進行調(diào)查分析．

2 教學實踐中數(shù)學符號意識的具體表現(xiàn)及分析

2.1 關于符號理解

（1）關于字母、式子的理解．

在課題組老師執(zhí)教的“運算律”這節(jié)課中，有這樣一個環(huán)節(jié)：出示式子“30×12-15×6”，然后讓學生給其編題，從符號意識的角度看，這是考察學生的符號理解水平，然而在學生的回答中錯誤率是很高的，也就說明學生對于理解式子在現(xiàn)實情境中的意義是存在差異的．受此啟發(fā)，在考察學生的符號意識中應有這樣一個成分，即“理解式子在現(xiàn)實情境中的意義”．

在六年級“解決問題的策略——替換”例題教學中，有的學生用方程做，老師在分析學生寫的解設“小杯容量ml，則大杯容量為3ml”時，提出這樣一個問題：小杯容量中的與大杯容量3中的所代表的意義一樣嗎？對于此問題，研究者在聽課時留意了一下，只有很少學生舉手，而且第一個回答的學生回答的是“不一樣”．由此可見，理解同一字母在同一情境中的意義也是符號意識的重要成分，并由此想到同一字母在不同情境中的意義也是符號意識的重要成分．例如，對于公式=×÷2與公式=×，這兩個公式中的代表的意義一樣嗎？只有學生理解了其字母所代表的具體意義，才能更好地理解其式子的意義．可見，使學生懂得符號的意義既是學校數(shù)學教育的目的之一，又是發(fā)展學生符號意識的一個重要途徑[11]．

（2）理解圖像、表格、符號之間的轉(zhuǎn)換．

對于同樣的數(shù)學對象，不同的學生在解決問題時所表現(xiàn)出的符號意識水平也是有差異的，如圖1~圖3所示．

圖1 學生符號意識水平（一）

圖2 學生符號意識水平（二）

圖3 學生符號意識水平（三）

從圖1到圖3所反映的學生水平是有層次的，是典型的由圖像表達到符號表達，特別是圖2更是清晰地表達了圖像與符號之間的層次關系．為發(fā)現(xiàn)學生對該題解答的兩種水平是否有顯著差異，隨后以該題為研究材料，選取二年級、三年級、五年級總共141位同學參與調(diào)查，利用SPSS處理數(shù)據(jù)，進行兩獨立樣本檢驗（結(jié)果見表2）．表2結(jié)果顯示=0.000，即圖像表達和符號表達的兩種水平存在顯著差異．由此看來符號表達是最抽象的，是以語言表達、圖像表達為基礎的．關于這一點，也可以從以下統(tǒng)計的數(shù)據(jù)得到較好的說明．

表2 兩種水平獨立樣本t檢驗

針對表3的題目選取五年級3個班100位同學進行了調(diào)查（統(tǒng)計結(jié)果見表4）．根據(jù)表4，可以發(fā)現(xiàn)：在能正確找到規(guī)律的同學中，用文字敘述的要遠高于用具體式子表示的和用字母符號表示的．可見，數(shù)學符號意識的形成要經(jīng)歷“語言—表象—符號”這一數(shù)學學習心理過程．這一數(shù)學學習心理過程，與英國數(shù)學教育家利貝克的4個基本環(huán)節(jié)是基本吻合的．利貝克“認為學生的數(shù)學學習可以概括為經(jīng)驗、語言、圖像和符號4個基本環(huán)節(jié)，這4個環(huán)節(jié)可以構(gòu)成學生學習數(shù)學的基本過程”[12]．以上教學實踐有兩點啟示：第一，符號意識發(fā)展是具有不同層次的，即學生的符號理解是具有層次性的；第二，符號意識是關于學生的語言（文字）、圖像、表格、符號的一個體系的構(gòu)成，分析學生的符號意識要注重學生在自然語言即利貝克所說的經(jīng)驗與圖像、表格、符號之間的轉(zhuǎn)換．正如Arcavi所認為的“符號意識應體現(xiàn)在具有從信息（語言和圖表）中建構(gòu)符號關系的意識，并能建構(gòu)符號關系”[13]．

表3 解決問題（從表格中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律）

表4 幾種描述水平情況統(tǒng)計

2.2 關于符號表示

圖4是五年級學生在學了“因數(shù)和倍數(shù)”后所做的作業(yè)，學生在沒有任何要求和提示下主動將省略號改寫成字母概括的方式．這表明學生是有著符號表示的意識的，也就是說，學生有符號表示的主動性的．但對兩個班，總計77人，主動這樣寫的學生總共有4人，成功率僅為5%．也就是說學生的主動性即意識在整體層面是相當?shù)偷模@也啟發(fā)研究者在制定小學生數(shù)學符號意識分析標準時，應將“符號表示的意識、正確性、多樣性”作為重要的分析指標．

圖4 “因數(shù)和倍數(shù)”課后作業(yè)

2.3 關于符號思考

Zorn認為符號意識是“從符號中抽象出涵義和結(jié)構(gòu)，有效地用符號去表達數(shù)學意義和結(jié)構(gòu)，以及操作符號發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學涵義和結(jié)構(gòu)的能力”[14]．關于這一點，可以從圖5~圖8很好地得出．

圖5 水平1

圖6 水平2

圖7 水平3

圖8 水平4

從圖5~圖8顯然是存在水平差異的．為更好地說明差異情況，研究者以此題作為研究材料，選取三年級、五年級、六年級總共207人作為研究對象，做了描述性統(tǒng)計分析（結(jié)果見表5）．結(jié)果顯示：67.3%的人能達到水平1的層次、只有9.6%的人能表示3的所有乘方情況、有20.7%的人能發(fā)現(xiàn)3以外數(shù)字的乘方、僅有1.9%的人能用符號形式化地表示，可見各個水平之間的差異還是很大的．具體來說，圖5、圖6所表明學生只能從已有的符號表達中抽象出了涵義和結(jié)構(gòu)，同時也比較有效地運用數(shù)學符號去表達了這種意義和結(jié)構(gòu)，但是還未發(fā)現(xiàn)新的意義和結(jié)構(gòu)．顯然從圖7和圖8看出，學生已經(jīng)由3的乘方想到其它如4、5、6等不同數(shù)字的乘方，這顯然是一種新的發(fā)現(xiàn)，表明學生是有著符號思考的意識與能力的，是可以根據(jù)已有的符號表達來發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學意義和結(jié)構(gòu)．但同樣是新的發(fā)現(xiàn)，也顯現(xiàn)出不同的水平，如圖7仍舊停留在具體的數(shù)字對象上，而圖8則抽象出字母符號，已經(jīng)脫離具體對象．從思維程度講，圖5、圖6、圖7所處在同一思維水平，即皮亞杰所稱的具體運算階段；而圖8所反映的思維水平則達到了形式運算階段．可見，符號思考作也應作為符號意識的一個重要分析指標．

3 小學生數(shù)學符號意識分析框架的構(gòu)建

通過上述對符號意識內(nèi)涵的界定，對國內(nèi)外已有研究成果的借鑒，對小學生數(shù)學符號內(nèi)容的梳理，并結(jié)合課程標準及教學實踐的分析，構(gòu)建了包含3個維度、15個具體成分的分析框架，見表6．

3.1 符號的認識（維度一）

符號認識作為符號意識的重要維度，是發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)學生符號意識的基礎．具有數(shù)學學科特質(zhì)的數(shù)學符號是與生活符號有著本質(zhì)的區(qū)別的，同樣作為數(shù)學符號內(nèi)部系統(tǒng)來講，根據(jù)其不同的意義又可將數(shù)學符號進行分類．所以能準確區(qū)分數(shù)學符號和生活符號以及能正確區(qū)分同類數(shù)學符號是符號認識的基本要求．這與外國學者Fey所認為的“符號意識應包括認識和鑒別能力”[15]是一致的．

表5 不同水平情況統(tǒng)計

表6 小學生數(shù)學符號意識的分析框架

3.2 符號的理解（維度二）

符號理解是發(fā)展學生符號意識的關鍵．“符號理解就是獲得數(shù)學符號意義的過程．”[16]具體來講，是對數(shù)學符號所表示的數(shù)、數(shù)量關系和規(guī)律的理解．應包括兩方面的內(nèi)容：“一是在實際情境中理解符號所代表的意義，并能解釋代數(shù)式的意義；二是能從代數(shù)式、表格圖像所表示的變量之間的關系中獲取所需的信息，并能初步理解代數(shù)式、表格、圖像之間的轉(zhuǎn)換．”[4]“對于同樣的數(shù)學符號語言，學生的理解結(jié)果存在一些不同，理解過程存在一定的差異．這些不同和差異主要體現(xiàn)在理解的廣度、符號之間關系的理解、字母意義的理解等方面．”[16]可見，符號理解是符號意識的一個重要維度，可從理解的正確性、廣度、深度、符號之間的轉(zhuǎn)換等具體層面來分析學生的符號意識．

3.3 符號的運用（維度三）

數(shù)學符號的使用是數(shù)學表達和數(shù)學思考的重要形式，這里的符號運用指的是對數(shù)學對象的符號表示、符號運算、符號推理和符號思考．具體包括符號運用的主動性、正確性、復雜性、靈活性、多樣性等方面．

4 小學數(shù)學符號意識分析框架的驗證

分析框架建立后仍需對其合理性進行檢驗[17]．構(gòu)建小學生數(shù)學符號意識分析框架的重要目的就是在具體教學中，能在具體操作層面分析和評估不同學生的符號意識發(fā)展水平，進而進行有針對性的培養(yǎng)．所以研究檢驗框架合理性的基本思路為：以分析框架的具體成分為依據(jù)，編制測試題并實施測試[18]，考察不同學生（年級、成績、性別）在符號意識的不同維度（符號認識、符號理解、符號運用）方面是否存在顯著差異．實驗選取某小學1~6年級部分學生進行測試，發(fā)放試卷537 份，回收537份，其中有效卷為507份，有效率為94.41%．數(shù)據(jù)分析結(jié)果見表7~表9，結(jié)果分析如下．關于符號認識：符號認識在年級方面存在顯著差異；符號認識在數(shù)學成績方面存在顯著差異；符號認識在年級與成績交互性方面、在年級、性別與成績的交互性方面均存在顯著差異；符號認識在性別方面不存在顯著差異．關于符號理解：符號理解在年級方面存在顯著差異；符號理解在數(shù)學成績方面存在顯著差異；符號理解在性別方面不存在顯著差異，同樣在年級、性別、數(shù)學成績之間的交互性方面也不存在顯著差異．關于符號運用：符號運用在年級方面存在顯著差異；符號運用在數(shù)學成績方面存在顯著差異；符號運用在性別方面不存在顯著差異，但在年級與性別的交互性方面，存在顯著差異；在其它交互性方面不存在顯著差異．

表7 不同學生在符號認識方面的方差分析

表8 不同學生在符號理解方面的方差分析

表9 不同學生在符號運用方面的方差分析

以上分析結(jié)果說明分析框架的維度和具體成分能反映出不同年級的學生、不同數(shù)學成績的學生、不同性別的學生以及相互交互性在符號意識方面所表現(xiàn)出的差異．差異性說明該分析框架能夠分析不同學生的數(shù)學符號意識發(fā)展水平，在具體教學實踐中可以作為行為評估指標，具有可操作性和合理性．同時，關于上述研究結(jié)果和其它研究成果是基本吻合的．例如，湯強（2009）在博士論文“七~九年級學生數(shù)學符號語言的理解與表示”中得出結(jié)論——學生在符號理解和表示上的不同表現(xiàn)與他們所具有的學業(yè)水平是比較一致的．總的來說，學優(yōu)生在很多方面都明顯地優(yōu)于中等生和學困生．劉瑤（2014）在碩士學位論文“初中生符號意識現(xiàn)狀調(diào)查研究——以七年級為例”中得出結(jié)論——符號意識與數(shù)學成績呈現(xiàn)高度直線正相關關系，初中生符號意識不存在性別差異[19]．這也從另一方面說明分析框架具有其合理性．

5 結(jié)語

符號意識作為一種隱性的課程目標，需要一個科學的、合理的、可觀察的、可操作的分析框架．李艷琴和宋乃慶認為：“可操作性定義是對小學低段數(shù)學符號意識最本質(zhì)的揭示，是小學低段數(shù)學符號意識內(nèi)涵維度的具體表現(xiàn)，也是小學低段學生數(shù)學符號意識培養(yǎng)策略研究的出發(fā)點．”[20]這個觀點同樣適用于小學其它階段，這種具有操作性的分析框架有利于教師對數(shù)學符號意識本質(zhì)的認識和理解，有利于為教師培養(yǎng)學生的符號意識提供具體和可行的途徑．希望能給學生符號意識的有效培養(yǎng)提供有價值的參考．

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The Development of a Framework of Students’ Mathematical Symbolic Sense in Elementary School

TAO Hong-qiang

(Liyang Tangqiao Primary School, Jiangsu Changzhou 213300, China)

As a key competency of mathematics, symbolic sense warrants attention from mathematics educators. Given the importance of constructing a framework of student’s symbolic consciousness from specific behaviors, this study constructed such a framework from three dimensions (knowing, understanding, and application) which include 15 factors based on several previous studies that referred to the operational definitions of symbolic consciousness.

primary school; symbol consciousness; framework; dimensions

G421

A

1004–9894（2020）05–0041–05

陶紅強．小學生數(shù)學符號意識分析框架的構(gòu)建[J]．數(shù)學教育學報，2020，29（5）：41-45．

2020–03–03

江蘇省常州市教育科學“十三五”規(guī)劃第一批重點課題——小學生數(shù)學符號意識發(fā)展規(guī)律的實驗研究（CJK-Z2018037）

陶紅強（1982—），男，江蘇溧陽人，中小學高級教師，主要從事小學數(shù)學教育的理論與實踐、數(shù)學教學心理學研究．

[責任編校：陳漢君、陳雋]