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        環(huán)Z4+uZ4上負循環(huán)碼的Hamming距離

        2020-10-27 11:38:34王艷萍
        關(guān)鍵詞:鏈環(huán)環(huán)上理想

        王艷萍,李 杰

        (宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,安徽 宿州 234000)

        隨著對環(huán)Z4的研究,編碼學(xué)者對環(huán)上循環(huán)碼、常循環(huán)碼進行了大量的研究[1-5]。其中,負循環(huán)碼作為一類特殊的常循環(huán)碼,也被廣泛研究[6-8]。負循環(huán)碼在整個編碼與密碼領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用,其性質(zhì)的探究顯得格外重要。近些年,鏈環(huán)上碼的研究相對成熟,非鏈環(huán)上碼的研究相對較少。本文將研究一類非鏈環(huán)上碼的一些性質(zhì),主要通過對環(huán)Z4+uZ4負循環(huán)碼結(jié)構(gòu)及性質(zhì)的研究,定義了環(huán)上撓碼和剩余碼的概念,通過負循環(huán)碼及其撓碼的關(guān)系,討論了該環(huán)上負循環(huán)碼的Hamming距離,為編碼與密碼學(xué)提供了理論參考。

        1 預(yù)備知識

        記R=Z4+uZ4={a+ub|a,b∈Z4,u2=0},且R?Z4[u]/。環(huán)上的單位:1,3,1+u,1+2u,1+3u,3+u,3+2u,3+3u;其非單位:0,2,u,2u,2+u,2+2u,3u,2+3u。易知,該環(huán)不是主理想環(huán),且有極大理想(2,u)。

        定義1 在Rn上,有τ-1(c0,c1,…,cn-1)=(-cn-1,c0,…,cn-2),對線性碼C有τ-1(C)=C,則碼C是R上的負循環(huán)碼。

        下記S=Z4,Rn=R[x]/(xn+1),Sn=S[x]/(xn+1)。?f(x)∈Rn,能唯一寫成f(x)=f1(x)+uf2(x),f1(x)、f2(x)∈Sn。如無特殊說明,本文所出現(xiàn)的R、S、Rn、Sn均為上述記法,且約定文中的n=2k。

        引理1 在Rn中,假設(shè)m=2k,k∈N+,則有(x+1)m=xm+1+2xm/2。

        引理2 在Rn中,若當(dāng)n=2k,k∈N+時,則Rn為局部環(huán),且其極大理想為(u,x+1)。

        證明 可定義映射Φ:Rn→Sn,有Φ(f(x))=f1(x)mod(u),易證Φ為滿同態(tài)。由文獻[9]可知:Z4[x]/(x2k+1)是局部環(huán),(x+1)為其極大理想。則有Φ-1((x+1))=(u,x+1)。又因(u,x+1)里包含Rn中的所有非單位,所以(u,x+1)是Rn唯一極大理想,即Rn是局部環(huán)。

        引理3 在Rn中,(x+1)n=2xn/2,(x+1)為冪零元,冪零指數(shù)為2n。

        證明 (x+1)n=xn+1+2xn/2,因xn=-1,(x+1)n=2xn/2,則(x+1)2n=0。下證,不?l<2n,有(x+1)l=0。設(shè)?n

        2 環(huán)R上負循環(huán)碼的Hamming距離

        引理4[10]記I為Rn上的理想。如果T是滿足下面式子的最小正整數(shù)。

        u(x+1)T∈I=((x+1)s+u(x+1)th(x))

        當(dāng)1≤s≤n-1,0≤t

        當(dāng)n≤s≤2n-1,t

        當(dāng)n≤s≤2n-1,t≥s-n,degh(x)≤n-t-1,h(x)∈Sn為單位時,則T=min{s,2n-s+t};

        u(x+1)T∈I=((x+1)s+2u(x+1)th(x))

        當(dāng)n≤s≤2n-1,0≤t

        u(x+1)T∈I=((x+1)s+u(x+1)t(2h1(x)+(x+1)lh2(x)))

        當(dāng)n≤s≤2n-1,0≤t

        注1 假設(shè)T1為使得當(dāng)2u(x+1)T1∈I=((x+1)s+u(x+1)th(x))時對應(yīng)的最小值,在此不再具體討論。

        為討論環(huán)R上負循環(huán)碼的Hamming距離,首先定義其撓碼與剩余碼。

        由上述概念,可得:

        (1)平凡理想

        ① 當(dāng)C=(0)時,則有Tor(C)=Res(C)=(0);

        ② 當(dāng)C=(1)時,則有Tor(C)=Res(C)=(1);

        (2)主理想

        ① 當(dāng)C=(u(x+1)m),0≤m≤2n-1時,則有Tor(C)=((x+1)m),Res(C)=(0);

        ③ 當(dāng)C=((x+1)s+2u(x+1)th(x)),n≤s≤2n-1,0≤t

        ④ 當(dāng)C=((x+1)s+u(x+1)t(2h1(x)+(x+1)lh2(x))),n≤s≤2n-1,0≤t

        (3)非主理想

        ① 當(dāng)C=((x+1)s+u(x+1)th(x),u(x+1)m),1≤s≤2n-1,0≤t

        ② 當(dāng)C=((x+1)s+2u(x+1)th(x),u(x+1)m),n≤s≤2n-1,0≤t

        ③ 當(dāng)C=((x+1)s+2u(x+1)th(x),2u(x+1)m1),n≤s≤2n-1,0≤t

        ④ 當(dāng)C=((x+1)s+u(x+1)t(2h1(x)+(x+1)lh2(x)),u(x+1)m),n≤s≤2n-1,0≤t

        ⑤ 當(dāng)C=((x+1)s+u(x+1)t(2h1(x)+(x+1)lh2(x)),2u(x+1)m1),n≤s≤2n-1,0≤t

        引理5 對R上負循環(huán)碼C(n=2k),有dH(C)=dH(Tor(C))。

        證明 因為uTor(C)?C,所以有dH(C)≤dH(uTor(C))=dH(Tor(C))。又?0≠c∈C,如果c(modu)=0,則?0≠c′∈Tor(C),有c=uc′,所以WH(c)=WH(uc′)=WH(c′)≥dH(Tor(C))。如果c(modu)≠0,則c(modu)∈Res(C)?Tor(C),所以WH(c)≥WH(c(modu))≥dH(Tor(C))。即證。

        命題1[11]Z4上長為n=2k的負循環(huán)碼為碼C,則C=((x+1)i),0≤i≤2n,其Hamming距離:

        由引理5、命題1及上述撓碼分析,可得本文重要定理。

        定理1R上長為n的負循環(huán)碼C,有C的Hamming距離:

        (1)當(dāng)C=(u(x+1)m),0≤m≤2n-1時,dH(C)=Δm;

        (2)當(dāng)C=((x+1)s+u(x+1)th(x)),1≤s≤2n-1,1≤t

        (3)當(dāng)C=((x+1)s+2u(x+1)th(x)),n≤s≤2n-1,0≤t

        (4)當(dāng)C=((x+1)s+u(x+1)t(2h1(x)+(x+1)lh2(x))),n≤s≤2n-1,0≤t

        證明(1)因當(dāng)C=(u(x+1)m)時,有Tor(C)=((x+1)m),又dH(C)=dH(Tor(C)),由命題1可知dH(C)=Δm;

        (2)當(dāng)C=((x+1)s+u(x+1)th(x))時,有Tor(C)=((x+1)T)其中

        將T的值代入命題1,可得

        同理可證結(jié)論(3)和結(jié)論(4)。

        注2 對于非主理想的情形,易得dH(C)=Δm與dH(C)=Δm1。

        3 結(jié) 語

        本文主要通過定義R上的撓碼與剩余碼,來討論R上負循環(huán)碼的Hamming距離,為代數(shù)編碼與密碼學(xué)提供了理論基礎(chǔ),后續(xù)將進一步研究該環(huán)上常循環(huán)碼、對偶碼等性質(zhì)。

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