劉偉 邱駿達(dá)

摘 要：本文將各位專家判斷矩陣中的區(qū)間數(shù)，以二維坐標(biāo)點(diǎn)集的形式表示出來(lái)。運(yùn)用模擬植物生長(zhǎng)算法（PGSA），求解該點(diǎn)集的廣義Fermat-Torricelli點(diǎn)——專家群體的最優(yōu)集結(jié)點(diǎn)。從而確定專家綜合判斷區(qū)間數(shù)矩陣。通過(guò)比較專家判斷矩陣與專家綜合判斷矩陣區(qū)間數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)集的相對(duì)偏差，可以逆判出每位專家的評(píng)判水平。最后，通過(guò)一個(gè)算例計(jì)算分析，驗(yàn)證了該方法的合理性。

關(guān)鍵詞：群決策;多屬性;區(qū)間數(shù)判斷矩陣;PGSA;專家評(píng)判水平

中圖分類號(hào)：O151.21? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1673-260X（2020）09-0001-06

0 引言

由于客觀世界的不確定性及人類主觀思維的模糊性，在決策過(guò)程中，有時(shí)候難以用精確的數(shù)值表示偏好信息，而只能給出其所屬范圍，即用區(qū)間數(shù)來(lái)表示決策信息。在群決策過(guò)程中，通常需要征詢專家小組成員的決策意見(jiàn)，然后通過(guò)集結(jié)各位專家提供的偏好信息對(duì)備選方案進(jìn)行排序。但是，由于專家在評(píng)判過(guò)程中所掌握的信息不甚相同，且個(gè)人具有不同的決策偏好，所以綜合意見(jiàn)很難達(dá)成一致。為使群決策結(jié)果得到相對(duì)一致，往往需要決策者對(duì)專家群組意見(jiàn)進(jìn)行整體協(xié)調(diào)甚至對(duì)專家小組的成員進(jìn)行調(diào)整。在協(xié)調(diào)過(guò)程中，很有必要對(duì)評(píng)判專家進(jìn)行反評(píng)判，這就是所謂的“逆判”問(wèn)題[1]。

關(guān)于“逆判”問(wèn)題，近年來(lái)已受到多位學(xué)者的重視，研究成果頗為豐富。劉萬(wàn)里基于AHP判斷矩陣應(yīng)用統(tǒng)計(jì)分析法和模糊分析法對(duì)各專家判斷矩陣進(jìn)行了排序，并用Saaty檢驗(yàn)一致性方法檢驗(yàn)了排序的結(jié)果[1，2]。陳巖針對(duì)互反判斷矩陣提出了一種數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行專家水平的評(píng)價(jià)和排序，在處理語(yǔ)言判斷矩陣和互補(bǔ)判斷矩陣問(wèn)題上，則將這兩種判斷矩陣轉(zhuǎn)化為互反判斷矩陣[3，4]。陳俠等給出了基于互補(bǔ)判斷矩陣、語(yǔ)言評(píng)價(jià)矩陣和區(qū)間數(shù)決策矩陣的專家水平評(píng)判方法[5-9]，陳俠等根據(jù)專家判斷與理想點(diǎn)之間的貼近度給出了基于理想點(diǎn)法的區(qū)間數(shù)決策矩陣形式偏好信息的專家評(píng)判水平分析方法。夏梅梅等通過(guò)對(duì)不同專家的判斷信息進(jìn)行整體相似性分析，給出了兩種與決策群體意見(jiàn)一致程度最高的理想?yún)^(qū)間直覺(jué)模糊判斷矩陣的構(gòu)造方法[10]。陳巖等分別基于區(qū)間語(yǔ)言信息和區(qū)間直覺(jué)模糊信息，提出了一種相容性的分析方法，計(jì)算綜合判斷矩陣和每個(gè)專家給出的判斷矩陣之間的相容性指標(biāo)，這些相容性指標(biāo)數(shù)值的大小可以作為對(duì)專家評(píng)判水平進(jìn)行排序的依據(jù)[11，12]。唐耀平通過(guò)對(duì)互補(bǔ)判斷矩陣的導(dǎo)出矩陣向量化后進(jìn)行偏差比較來(lái)對(duì)評(píng)判專家的評(píng)判水平進(jìn)行排序[13]。陳巖等將群決策過(guò)程中專家所給出的區(qū)間數(shù)不確定評(píng)價(jià)信息轉(zhuǎn)化為互反判斷矩陣信息，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量利用方差來(lái)評(píng)判專家水平[14]。

綜上可以看出，目前針對(duì)群決策中如何“逆判”各專家水平這個(gè)問(wèn)題，主要集中在AHP判斷矩陣、互補(bǔ)判斷矩陣、語(yǔ)言判斷矩陣、語(yǔ)言評(píng)價(jià)矩陣、區(qū)間數(shù)決策矩陣和直覺(jué)模糊判斷矩陣，應(yīng)用的排序方法主要有統(tǒng)計(jì)分析法、模糊分析法以及理想矩陣分析法等。但采用這些方法時(shí)，普遍存在一個(gè)問(wèn)題，即在將專家判斷信息集結(jié)成綜合評(píng)判矩陣的時(shí)候，常規(guī)采用算術(shù)平均、加權(quán)平均或者系統(tǒng)聚類等方法，這些方法對(duì)于集結(jié)那些相對(duì)集中的信息，具有較大的優(yōu)勢(shì)，但是對(duì)于那些距離均值偏離較大的點(diǎn)，集結(jié)結(jié)果存在較大的偏差。集結(jié)專家判斷矩陣信息對(duì)后續(xù)的專家水平排序工作產(chǎn)生至關(guān)重要的影響，因此，必須對(duì)已有的集結(jié)矩陣的方法進(jìn)行改進(jìn)。

本文受Fermat-Torricelli問(wèn)題的啟發(fā)，基于模擬植物生長(zhǎng)算法提出了一種新的判斷矩陣集結(jié)方法。該方法是將每位專家判斷矩陣相對(duì)應(yīng)的區(qū)間數(shù)以二維坐標(biāo)點(diǎn)的形式表示出來(lái)，坐標(biāo)點(diǎn)集中的各個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，可以代表每位專家的個(gè)人偏好信息。通過(guò)模擬植物生長(zhǎng)算法的智能尋優(yōu)，找出距離已知坐標(biāo)點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)即是Fermat-Torricelli點(diǎn)，也就是集結(jié)各位專家偏好的唯一全局最優(yōu)集結(jié)點(diǎn)，而各最優(yōu)集結(jié)點(diǎn)組成的矩陣也是各位專家判斷矩陣的最優(yōu)集結(jié)矩陣。該方法能夠在最大程度上考慮各位專家的意見(jiàn)，得到的專家綜合判斷矩陣能夠保證與各位專家的意愿偏差最小，解決了以往大多數(shù)學(xué)者以平均值體現(xiàn)群決策的綜合意愿所出現(xiàn)的不足問(wèn)題。

1 區(qū)間數(shù)判斷矩陣的規(guī)范化

1.1 判斷矩陣的規(guī)范化

定義1 在多專家多屬性群決策過(guò)程中，設(shè)決策者Ek（k=1，2，…，p）關(guān)于方案Si（i=1，2，…，m）在屬性Pj（j=1，2，…，n）下的決策值用區(qū)間數(shù)表示為

aij（k）=[aij-（k），aij+（k）]? （1）

則專家判斷矩陣可以表示為

Ak=（aij）m×n? （2）

定義2[15] 多屬性決策中的屬性一般可以分為效益型和成本型，對(duì)判斷矩陣Ak=（aij）m×n的每一列元素可按照如下公式進(jìn)行規(guī)范化處理：

wij（k）=aij（k）aij（k），效益型屬性（1aij（k））（1aij（k）），成本型屬性 （3）

公式（3）可以進(jìn)一步改寫(xiě)為：

效益型屬性：

成本型屬性：

.2 專家水平排序

定義4 設(shè)wk=（wij）mj）m×n分別為專家Ek與專家群體的區(qū)間數(shù)規(guī)范化判斷矩陣，將相異度？啄元素相加得出成p×m矩陣（p為專家人數(shù)，m為方案?jìng)€(gè)數(shù)），此矩陣即是每個(gè)專家的偏好信息和專家群體綜合判斷信息之間的偏離信息矩陣M。

定義5 設(shè)M為專家給出的偏好信息與專家群體綜合判斷信息的偏離矩陣，則定義M專家Ek給出的判斷信息與專家群體綜合判斷信息的正理想點(diǎn)距離和負(fù)理想點(diǎn)距離，rk為專家Ek判斷信息與專家群體綜合判斷信息理想點(diǎn)的貼近度。

由上式可以看出，rk越大，說(shuō)明專家Ek給出的判斷信息與專家群體綜合判斷信息理想點(diǎn)越貼近，專家的評(píng)判水平越高;反之，專家的評(píng)判水平則越低。

2 平面點(diǎn)集及最優(yōu)集結(jié)

2.1 平面點(diǎn)集

假設(shè)有一個(gè)區(qū)間數(shù)群決策問(wèn)題，p個(gè)專家針對(duì)m個(gè)備選方案，n個(gè)屬性給出相應(yīng)的區(qū)間數(shù)判斷信息，可以看作為由p個(gè)平面所構(gòu)成的點(diǎn)集：

A（r）=

r=1，2，…，p。

2.2 判斷矩陣區(qū)間數(shù)的集結(jié)

2.2.1 Fermat-Torricelli問(wèn)題的引入

早在1634年，數(shù)學(xué)家費(fèi)馬就提出了一個(gè)平面上的數(shù)學(xué)問(wèn)題：已知平面上有任意的三個(gè)點(diǎn)P1，P2，P3，找出另外的一個(gè)點(diǎn)P，使得其到已知三點(diǎn)的距離和最小。這個(gè)問(wèn)題首先由托里策利解決，因此這個(gè)P點(diǎn)就被稱為“Fermat-Torricelli點(diǎn)”，這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題就被稱為“Fermat-Torricelli問(wèn)題”。

瑞士學(xué)者斯坦納對(duì)“Fermat-Torricelli問(wèn)題”進(jìn)行了推廣[16]：在平面上給出n個(gè)點(diǎn)P1，P2，…，Pn，找出一個(gè)點(diǎn)P，使得其到已知點(diǎn)的歐式距離|PP1|+|PP2|+…+|PPn|達(dá)到最小。這個(gè)問(wèn)題被稱為“廣義Fermat-Torricelli問(wèn)題”。

定義6 給定平面上的n個(gè)點(diǎn)P1，P2，…，Pn（n≥2），若平面上存在一點(diǎn)P使得D=|PPi|為最小，則稱P為P1，P2，…，Pn的廣義Fermat-Torricelli點(diǎn)。

2.2.2 專家判斷矩陣的集結(jié)

定義7 對(duì)于具有m個(gè)備選方案，n個(gè)屬性的p個(gè)專家判斷矩陣區(qū)間數(shù)，存在著廣義Fermat-Torricelli點(diǎn)：

（x11，y11），（x12，y12），…，（x1n，y1n）

（x21，y21），（x22，y22），…，（x2n，y2n）

…

（xm1，ym1），（xm2，ym2），…，（xmn，ymn）

滿足

i=1，2，…，m，j=1，2，…，n。

則集結(jié)點(diǎn)（xij，yij）即為m個(gè)備選方案，n個(gè)屬性的p個(gè)專家判斷矩陣區(qū)間數(shù)的最優(yōu)集結(jié)區(qū)間數(shù)。

2.2.3 基于PGSA算法的最優(yōu)集結(jié)區(qū)間數(shù)的求解

模擬植物生長(zhǎng)算法（Plant Growth Simulation Algorithm，PGSA）由中國(guó)學(xué)者李彤在2005年首次提出，這是一種受植物向光生長(zhǎng)機(jī)理啟發(fā)而提出的智能優(yōu)化算法[17]。該算法將優(yōu)化問(wèn)題當(dāng)成植物的生長(zhǎng)空間，最優(yōu)解是光源，模擬植物自然向光生長(zhǎng)的特性，建立植物在不同光強(qiáng)度下快速生長(zhǎng)的演繹方式。自PGSA創(chuàng)立之后，在解決線性規(guī)劃、全局尋優(yōu)等問(wèn)題方面顯現(xiàn)出了獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。在應(yīng)用研究領(lǐng)域，PGSA憑借其快速的全局搜索能力和結(jié)果的高度準(zhǔn)確性，解決了很多實(shí)際問(wèn)題[18-21]。

利用PGSA，求解各專家偏好信息中的廣義Fermat-Torricelli點(diǎn)步驟如下：定義每個(gè)生長(zhǎng)點(diǎn)按照東西南北四個(gè)方向生長(zhǎng)，按照相似的結(jié)構(gòu)不停長(zhǎng)出新的枝葉。假設(shè)新的枝葉的旋轉(zhuǎn)角度為？琢=90°，枝干的長(zhǎng)度為l/1000，l為有界閉箱的長(zhǎng)度。

step1假設(shè)N維歐幾里得空間中有一有界閉箱X，在有界閉箱X內(nèi)隨機(jī)均勻確定初始生長(zhǎng)點(diǎn)am∈X;

step2求解各個(gè)生長(zhǎng)點(diǎn)am的生長(zhǎng)素濃度，也就是生長(zhǎng)的概率：

step3根據(jù)步驟2計(jì)算的結(jié)果在[0，1]的閉區(qū)間里，以隨機(jī)數(shù)來(lái)選擇本次迭代的生長(zhǎng)點(diǎn)am;

step4確定生長(zhǎng)點(diǎn)am迭代的步長(zhǎng)為l/1000，其按照？琢=90°的L-系統(tǒng)進(jìn)行生長(zhǎng)，每次迭代之后，用新的生長(zhǎng)點(diǎn)中的集結(jié)點(diǎn)代替am，并進(jìn)行新一輪的迭代計(jì)算;

step5當(dāng)程序達(dá)到預(yù)設(shè)的迭代總次數(shù)，或者運(yùn)算不再產(chǎn)生新的集結(jié)點(diǎn)am，則停止計(jì)算，獲得局部最優(yōu)解和全局最優(yōu)解，否則轉(zhuǎn)到step2;

將以上求得的各全局最優(yōu)集結(jié)點(diǎn)組成矩陣，即是各位專家判斷矩陣的集結(jié)矩陣。

3 實(shí)例分析

本文選取算例數(shù)據(jù)，四個(gè)重要性程度相同的專家（權(quán)重wi=1/4，（i=1，2，3，4））針對(duì)一個(gè)決策問(wèn)題給出相應(yīng)的偏好信息。這個(gè)決策問(wèn)題有4個(gè)備選方案（S1，S2，S3，S4）和4個(gè)屬性（P1，P2，P3，P4），P1，P2，P3為效益屬性，P4為成本屬性。假設(shè)4位專家（E1，E2，E3，E4）的偏好矩陣[9]如表1-4。

分別將E1，E2，E3，E4按照公式（4）、（5）規(guī)范化，得出如下4個(gè)矩陣，見(jiàn)表5～8表。

根據(jù)PGSA集結(jié)的專家綜合規(guī)范化判斷矩陣如表9：

文獻(xiàn)[9]中根據(jù)加權(quán)平均法集結(jié)的專家綜合規(guī)范化判斷矩陣如表10：

本文提出的基于廣義Fermat-Torricelli點(diǎn)的判斷矩陣集結(jié)法將每位專家判斷矩陣相對(duì)應(yīng)的區(qū)間數(shù)以二維坐標(biāo)的形式表示出來(lái)。因此，在二維空間內(nèi)，可以用兩點(diǎn)之間的實(shí)際距離——?dú)W氏距離，表示針對(duì)方案i屬性j集結(jié)的代表各專家綜合意愿的點(diǎn)與各專家偏好點(diǎn)之間的偏差。各專家判斷矩陣中m個(gè)方案、n個(gè)屬性的m×n個(gè)偏好點(diǎn)與綜合判斷矩陣中對(duì)應(yīng)m×n個(gè)集結(jié)點(diǎn)之間的距離總和即是專家綜合判斷矩陣與各專家判斷矩陣之間的偏差。

用歐氏距離公式求得本文集結(jié)的專家綜合規(guī)范化判斷矩陣與各專家判斷矩陣之間的偏差為：

S1=4.00521857

文獻(xiàn)[9]中采用加權(quán)平均法集結(jié)的專家綜合規(guī)范化判斷矩陣與各專家判斷矩陣之間的偏差為：

S2=4.94923887

？駐S=S2-S1=0.9440203

精確度提高了19%，本文集結(jié)的專家綜合判斷矩陣與各專家判斷矩陣之間的偏差更小。由此可見(jiàn)，運(yùn)用模擬植物生長(zhǎng)算法（PGSA）集結(jié)的各專家判斷矩陣更能反映4位專家的綜合意愿，該方法解決了文獻(xiàn)[9]中以平均值體現(xiàn)群決策的綜合意愿所出現(xiàn)的“近似集結(jié)”問(wèn)題。

運(yùn)用上述“歐氏距離法”評(píng)判各位專家的水平，即：求解各位專家判斷矩陣到綜合判斷矩陣之間的偏差dk（k=1，2，3，4）。

wmn為集結(jié)的專家綜合判斷矩陣中對(duì)應(yīng)a綜合意愿點(diǎn)。dk越小，則專家Ek偏離專家群體的程度越小，專家的水平越高;反之，偏離程度越大，專家的水平越低。

d1=0.589545，d2=0.099387，

d3=3.108023，d4=0.208264

由此對(duì)專家水平排序?yàn)椋?/p>

E2？酆E4？酆E1？酆E3

即專家1水平最高，專家4次之，最次的是專家3。

本文借鑒文獻(xiàn)[9]中提出的“理想點(diǎn)求貼進(jìn)度”排序法，應(yīng)用PGSA集結(jié)的矩陣進(jìn)行計(jì)算排序，并與文獻(xiàn)[9]的結(jié)果做對(duì)比：

根據(jù)定義3和4，專家Ek對(duì)方案i評(píng)價(jià)偏離專家群體的程度（相異度？啄）組成的矩陣為：

根據(jù)定義5，求得正、負(fù)理想點(diǎn)分別為：

u=（0，0165，0，0122，0.0486，0.0345）

v=（0.5575，0.9782，0.7613，0.6821）

根據(jù)公式（8）、（9）、（10），求得每位專家Ek與理想點(diǎn)的貼進(jìn)度為：r1=0.7809，r2=0.9851，r3=0，r4=0.9383，r2？酆r4？酆r1？酆r3。

則排序結(jié)果為：

E2？酆E4？酆E1？酆E3

即專家1水平最高，專家4次之，最次的是專家3，這與前文中“距離法”排序結(jié)果一致。

文獻(xiàn)[9]中的專家水平排序結(jié)果為：

E1？酆E4？酆E2？酆E3

與本文中的排序結(jié)果不一致。鑒于文獻(xiàn)[9]中集結(jié)專家判斷矩陣用的是加權(quán)平均法，難以精確反映專家綜合意愿，以致后續(xù)的專家水平排序工作產(chǎn)生了誤差，這也從側(cè)面證明了本文提出來(lái)的用模擬植物生長(zhǎng)算法（PGSA）集結(jié)基于廣義Fermat-Torricelli點(diǎn)的判斷矩陣方法的合理性。

4 結(jié)語(yǔ)

本文基于多專家多屬性的區(qū)間數(shù)判斷矩陣，提出了一種判斷矩陣集結(jié)的新方法，將每位專家判斷矩陣相對(duì)應(yīng)的元素在平面上以二維坐標(biāo)的形式表示出來(lái)，運(yùn)用植物模擬生長(zhǎng)算法（PGSA），計(jì)算出點(diǎn)集中的廣義Fermat-Torricelli點(diǎn)，這個(gè)集結(jié)點(diǎn)代表了專家群體判斷的綜合意愿，各廣義Fermat-Torricelli點(diǎn)組成的矩陣即為專家綜合判斷矩陣。通過(guò)比較專家判斷矩陣與專家綜合判斷矩陣區(qū)間數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)集的相對(duì)偏差，得到最優(yōu)的專家水平排序結(jié)果。通過(guò)實(shí)例分析對(duì)比，驗(yàn)證了該集結(jié)方法優(yōu)于加權(quán)平均法，并使后續(xù)的專家水平排序更加精確，且此方法對(duì)于專家屬性較多情況可以用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，合理高效。

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參考文獻(xiàn)：

〔1〕劉萬(wàn)里.關(guān)于AHP中群體決策逆判問(wèn)題的研究[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2000，14（03）：106-110.

〔2〕劉萬(wàn)里.關(guān)于AHP中逆判問(wèn)題的研究[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2001，21（04）：133-136.

〔3〕陳巖，樊治平.基于語(yǔ)言判斷矩陣的群決策逆判問(wèn)題研究[J].系統(tǒng)工程學(xué)報(bào)，2005，20（02）：211-215.

〔4〕陳巖，樊治平.群決策中基于互補(bǔ)判斷矩陣的逆判問(wèn)題研究[J].沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，25（04）：347-350+353.

〔5〕陳俠，樊治平.關(guān)于互補(bǔ)判斷矩陣的群決策的專家評(píng)判水平[J].系統(tǒng)工程，2005，23（06）：119-122.

〔6〕陳俠，樊治平.基于語(yǔ)言評(píng)價(jià)矩陣的評(píng)判專家水平的研究[J].系統(tǒng)工程，2006，24（01）：111-115.

〔7〕陳俠，樊治平.基于語(yǔ)言評(píng)價(jià)矩陣的評(píng)判專家水平研究[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2007，29（10）：1665-1668.

〔8〕陳俠，樊治平.基于區(qū)間決策矩陣的評(píng)判專家水平的研究[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2006，28（19）：1688-1691+1716.

〔9〕陳俠，劉香芹.基于區(qū)間數(shù)決策矩陣的評(píng)判專家水平分析方法[J].運(yùn)籌與管理，2010，19（05）：101-106+117.

〔10〕夏梅梅，魏翠萍.區(qū)間直覺(jué)模糊判斷矩陣群決策中的逆判問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2010，40（09）：37-44.

〔11〕陳巖，楊依寧，金爽.群決策中基于區(qū)間語(yǔ)言信息的專家水平評(píng)判問(wèn)題研究[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2015，29（06）：76-87.

〔12〕陳巖，金爽，楊依寧.基于相容性的區(qū)間直覺(jué)模糊信息的逆判問(wèn)題[J].系統(tǒng)管理學(xué)報(bào)，2016，25（06）：1058-1065.

〔13〕唐耀平.一種基于互補(bǔ)判斷矩陣逆判問(wèn)題的新方法[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2016，46（19）：194-198.

〔14〕陳巖，李明月，曲家杰.基于區(qū)間數(shù)信息的群決策逆判方法[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2018（18）：95-97.

〔15〕樊治平，宮賢斌，張全.區(qū)間數(shù)多屬性決策中決策矩陣規(guī)范化方法[J].東北大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1999，20（03）：326-329.

〔16〕Mordukhovich B ， Nam N M . Applications of Variational Analysis to a Generalized Fermat-Torricelli Problem[J]. Journal of Optimization Theory & Applications， 2011， 148（03）： 431-454.

〔17〕李彤，王春峰，王文波，等.求解整數(shù)規(guī)劃的一種仿生類全局優(yōu)化算法—模擬植物生長(zhǎng)算法[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2005，25（01）：76-85.

〔18〕劉文婧，李晨昕，李磊.基于累積前景理論與PGSA的應(yīng)急響應(yīng)群決策模型[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2018，48（05）：52-62.

〔19〕李彤，王眾托.模擬植物生長(zhǎng)算法在設(shè)施選址問(wèn)題中的應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2008，28（12）：107-115.

〔20〕Liu W， Li L. An approach to determining the integrated weights of decision makers based on interval number group decision matrices[J]. Knowledge-Based Systems， 2015， 90： 92-98.

〔21〕Qiu J， Li L. A new approach for multiple attribute group decision making with interval-valued intuitionistic fuzzy information[J]. Applied Soft Computing， 2017，61： 111- 121.