楊海鈿

（廣東工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，廣州 510006）

0 引言

隨著家用空調(diào)的普及，小功率壓縮機(jī)的需求也急劇增加，單轉(zhuǎn)子壓縮機(jī)由于其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，生產(chǎn)成本低，可靠性高等優(yōu)點(diǎn)而快速占據(jù)市場(chǎng)。然而單轉(zhuǎn)子壓縮機(jī)受工作環(huán)境所限，給位置傳感器的安裝和維修帶來(lái)了諸多不便，所以一般采用轉(zhuǎn)子位置估算法替代位置傳感器，直接預(yù)估轉(zhuǎn)子的具體位置。而黃輝等[1]表明單轉(zhuǎn)子位置估計(jì)算法都存在著一定的誤差，因此無(wú)法獲取精確的轉(zhuǎn)子位置，壓縮機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩由于存在著相位差而產(chǎn)生噪聲振動(dòng)。其次壓縮機(jī)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩由于壓縮過(guò)程中轉(zhuǎn)子受力的不平衡而存在著周期性波動(dòng)，當(dāng)電磁轉(zhuǎn)矩不能跟負(fù)載轉(zhuǎn)矩同步時(shí)，將導(dǎo)致壓縮機(jī)出現(xiàn)周期性振動(dòng)和噪聲[2]。因此，在較低轉(zhuǎn)速的工況下，單轉(zhuǎn)子壓縮機(jī)振動(dòng)噪聲尤為明顯。

為了降低噪聲振動(dòng)，Kwa-Yuhl Cho[3]基于單轉(zhuǎn)子壓縮機(jī)提出前饋補(bǔ)償?shù)目刂撇呗?；黃輝等[1]設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)矩自動(dòng)補(bǔ)償器模型對(duì)轉(zhuǎn)矩進(jìn)行前饋控制；卓森慶[4]針對(duì)單轉(zhuǎn)子壓縮機(jī)根據(jù)負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化提出“基于模糊控制的自動(dòng)前饋轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償”的控制策略,由此控制d軸電流為零，并將電機(jī)q軸直流電流波動(dòng)分解成正弦分量和余弦分量，并用E 表示正弦分量或余弦分量，用Ec表示正弦分量變化率或余弦分量變化率，利用模糊控制策略進(jìn)行反饋控制；上述文獻(xiàn)更多的是采用傳統(tǒng)方法對(duì)復(fù)雜的電機(jī)控制系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化。

對(duì)于電機(jī)控制仿真系統(tǒng)單次仿真時(shí)間長(zhǎng)，當(dāng)對(duì)其進(jìn)行直接尋優(yōu)時(shí)，由于迭代次數(shù)多，實(shí)驗(yàn)耗時(shí)過(guò)多、效率低等問(wèn)題，本文在轉(zhuǎn)速一定情況下構(gòu)建的前饋補(bǔ)償電流系數(shù)與轉(zhuǎn)速波動(dòng)之間的近稀疏響應(yīng)面模型來(lái)代替計(jì)算密集的電機(jī)仿真模型，從而在很大程度上降低仿真優(yōu)化時(shí)間，縮短產(chǎn)品的研發(fā)周期。

1 PMSM的數(shù)學(xué)建模及前饋補(bǔ)償

1.1 PMSM同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)下的數(shù)學(xué)建模

在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系d-q 下的數(shù)學(xué)模型，其定子電壓方程為：

定子磁鏈方程為：

將式（2）代入式（1），可得定子電壓方程為：

故轉(zhuǎn)矩可以寫為：

式中：ud、uq分別為定子電壓在d-q軸上的分量；id、iq分別為定子電流在d-q 軸上的分量；R 為定子的電阻；ψd、ψq為定子磁鏈在d-q 軸上的分量；ωe為電角速度； Ld、 Lq分別為在d-q軸上的電感分量；ψf為永磁體磁鏈。

1.2 前饋補(bǔ)償模塊

如圖1 所示，前饋補(bǔ)償模塊是在永磁同步電機(jī)矢量控制的基礎(chǔ)上，針對(duì)電機(jī)“負(fù)載突變工況”找出突變的規(guī)律，在q軸電流iq中加入了一個(gè)前饋補(bǔ)償量，以產(chǎn)生預(yù)期波形的電磁轉(zhuǎn)矩，去抵消負(fù)載轉(zhuǎn)矩的突變，從而降低電機(jī)的轉(zhuǎn)速波動(dòng)。而轉(zhuǎn)矩前饋補(bǔ)償與電機(jī)的轉(zhuǎn)速波動(dòng)之間由于電機(jī)控制系統(tǒng)復(fù)雜的耦合機(jī)理，使得轉(zhuǎn)矩前饋補(bǔ)償與轉(zhuǎn)速波動(dòng)并不存在著明確數(shù)學(xué)表達(dá)式，因此前人一般通過(guò)忽略一些次要元素從而達(dá)到簡(jiǎn)化電機(jī)控制系統(tǒng)整體復(fù)雜度的目的。在本文中，提出將電機(jī)控制系統(tǒng)視為一個(gè)黑箱函數(shù)，通過(guò)數(shù)學(xué)上一些簡(jiǎn)單的解析模型來(lái)描述這個(gè)黑箱函數(shù)，從而替代計(jì)算密集的電機(jī)控制模型[5]。將前饋補(bǔ)償電流的系數(shù)未知變量作為輸入，將電機(jī)的轉(zhuǎn)速波動(dòng)作為輸出，通過(guò)多次調(diào)用仿真模型，得到多組仿真模型數(shù)據(jù)，從而構(gòu)建電機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

圖1 電機(jī)控制系統(tǒng)與前饋補(bǔ)償模塊

1.3 前饋補(bǔ)償電流

由于電流基波以及諧波的波形均為正弦波形，其次，一組足夠大的正弦基底在理論上是可以擬合出任意的曲線。因此本文采用正弦多項(xiàng)式來(lái)擬合電流，電流的表達(dá)式可以表示為：

由于常量上有速度環(huán)和電流環(huán)進(jìn)行調(diào)節(jié)，因此常量I0可以直接賦值為0；另外在仿真實(shí)驗(yàn)中，電流的階數(shù)也不可能做到趨于無(wú)窮；且實(shí)驗(yàn)表明，每階對(duì)振動(dòng)的貢獻(xiàn)呈數(shù)量級(jí)下降，故在本文中，電流的階數(shù)只取前面5階，即：

式中：I 為前饋補(bǔ)償電流；In（n=1,2,3,…）為前饋補(bǔ)償電流各階分量的幅值； ω 為電機(jī)的機(jī)械角速度； φn（n=1,2,3,…）為前饋補(bǔ)償電流各階分量的初相位角。

通過(guò)對(duì)前饋補(bǔ)償電流的構(gòu)建，本文基于圖1在Simulink中搭建電機(jī)控制模型，然后調(diào)用模擬退火算法對(duì)電機(jī)控制仿真模型進(jìn)行直接尋優(yōu)，獲取最佳前饋補(bǔ)償電流；此外，由于近稀疏響應(yīng)面能夠在較少采樣點(diǎn)下得到較高精度的逼近效果，因此本文通過(guò)構(gòu)建前饋補(bǔ)償電流系數(shù)與轉(zhuǎn)速波動(dòng)之間的近稀疏響應(yīng)面模型，調(diào)用模擬退火算法，獲取最佳前饋補(bǔ)償電流，再將這兩種尋優(yōu)方式的結(jié)果在實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行對(duì)比。

2 近稀疏響應(yīng)面模型的構(gòu)建及尋優(yōu)

2.1 模型構(gòu)建

一般多項(xiàng)式響應(yīng)面模型是目前響應(yīng)面中最為常用且容易構(gòu)造的一種，通常由一系列多項(xiàng)式組合而成。而稀疏表示是指將信號(hào)投影到基函數(shù)空間后，由于大多數(shù)的基函數(shù)系數(shù)很小，可以忽略不計(jì)，因此剔除掉相應(yīng)的基函數(shù)后，可以利用剩余系數(shù)較大的基函數(shù)重構(gòu)出電機(jī)控制系統(tǒng)模型。因此稀疏表達(dá)響應(yīng)面與一般多項(xiàng)式響應(yīng)面有著相似的表達(dá)式，如下所示：

多項(xiàng)式函數(shù)φi( x )由相應(yīng)的多項(xiàng)式定義（如一般多項(xiàng)式、勒讓德多項(xiàng)式、切比雪夫多項(xiàng)式等）和指數(shù)向量（指定每個(gè)單變量多項(xiàng)式的指數(shù)）所決定的，且多項(xiàng)式函數(shù)φi( x )是所有單變量多項(xiàng)式的張量積。故多項(xiàng)式函數(shù)φi( x )如下所示：

式中：Q(x ,η )為由變量x 和指數(shù)向量η 所決定的勒讓德多項(xiàng)式基函數(shù)；為基函數(shù)的指數(shù)向量。

給定一組采樣點(diǎn)

與多項(xiàng)式基函數(shù)共同構(gòu)成的設(shè)計(jì)矩陣可表示為：

2.2 采樣方式

拉丁超立方設(shè)計(jì)采樣產(chǎn)生的采樣點(diǎn)在設(shè)計(jì)域內(nèi)是均勻分布，因此采樣點(diǎn)更能全面反映源模型的特性，所以本文通過(guò)拉定超立方采樣獲得采樣點(diǎn)x=[x1x2x3…x]mT；首先將區(qū)間[0 ,1 ]均勻分成ns個(gè)小區(qū)間，然后再在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)隨機(jī)選取一個(gè)值作為對(duì)應(yīng)采樣點(diǎn)，最后再將x映射到勒讓德多項(xiàng)式的定義域[- 1,1 ]，代入式（9）即可獲得設(shè)計(jì)矩陣φ 。

因此基于稀疏表達(dá)響應(yīng)面的矩陣形式可寫成：

2.3 近稀疏響應(yīng)面及模擬退火算法流程圖

近稀疏響應(yīng)面模型的求解本質(zhì)是對(duì)Elastic Net回歸的求解（包含?1范數(shù)正則化因子λ1和?2范數(shù)正則化因子λ2。），而Elastic Net 回歸可以在固定參數(shù)λ2的情況下轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)ASSO 問(wèn)題求解，最終通過(guò)LAR 求解器得到。Starck J L 等[6]給出了“LAR-EN”求解器可對(duì)固定的λ2直接求出Elastic Net解。

在永磁同步電機(jī)控制系統(tǒng)的響應(yīng)面構(gòu)建中，本文選擇的是Legendre 多項(xiàng)式基函數(shù)和拉丁超立方采樣。首先，確定采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)后由拉丁超立方設(shè)計(jì)生成采樣點(diǎn)并調(diào)用電機(jī)控制系統(tǒng)模型輸入由x組成的前饋補(bǔ)償電流以獲取相應(yīng)的響應(yīng)值，再根據(jù)采樣點(diǎn)生成設(shè)計(jì)矩陣。其次是通過(guò)Elastic Net回歸中采用交叉驗(yàn)證的方法確定待選參數(shù)λ2的最優(yōu)值。最后是輸入最優(yōu)參數(shù)λ2以及設(shè)計(jì)矩陣和響應(yīng)值，再次調(diào)用LASSO求解器輸出最終的近稀疏響應(yīng)面模型[7]。

求解出電機(jī)控制系統(tǒng)的近稀疏響應(yīng)面模型后，再通過(guò)模擬退火算法對(duì)近稀疏響應(yīng)面模型進(jìn)行尋優(yōu)，其流程如圖2、3所示。

圖2 近稀疏響應(yīng)面求解流程

圖3 模擬退火算法流程圖

3 實(shí)驗(yàn)

為了對(duì)本文中提出用前饋補(bǔ)償電流系數(shù)與轉(zhuǎn)速波動(dòng)之間的近稀疏響應(yīng)面模型取代通過(guò)電機(jī)控制模型直接尋優(yōu)的效果進(jìn)行對(duì)比，先通過(guò)MATLAB 對(duì)單轉(zhuǎn)子壓縮機(jī)的負(fù)載曲線進(jìn)行模擬，以及在SIMULINK上進(jìn)行電機(jī)控制模型搭建；然后通過(guò)拉丁超立方采樣獲取采樣點(diǎn)x，將其代入電機(jī)控制模型獲得響應(yīng)點(diǎn)y，按圖2的步驟求解獲得前饋補(bǔ)償電流系數(shù)與轉(zhuǎn)速波動(dòng)之間的近稀疏響應(yīng)面模型，再通過(guò)圖3對(duì)該近稀疏響應(yīng)面進(jìn)行尋優(yōu)。

模擬單轉(zhuǎn)子壓縮機(jī)某一工況，以額定轉(zhuǎn)速為1 800 r/min的機(jī)械轉(zhuǎn)速進(jìn)行仿真，通過(guò)對(duì)電機(jī)控制模型的前饋補(bǔ)償塊進(jìn)行直接尋優(yōu)[1]，本文關(guān)于前饋補(bǔ)償電流系數(shù)與轉(zhuǎn)速波動(dòng)之間的近稀疏響應(yīng)面模型的尋優(yōu)時(shí)間和仿真結(jié)果進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如表1所示。其轉(zhuǎn)速波動(dòng)仿真結(jié)果的對(duì)比如圖4所示。

表1 尋優(yōu)時(shí)間及轉(zhuǎn)速波動(dòng)的仿真結(jié)果

如圖5、6所示，通過(guò)前饋補(bǔ)償電流系數(shù)與轉(zhuǎn)速波動(dòng)之間的近稀疏響應(yīng)面模型進(jìn)行尋優(yōu)的轉(zhuǎn)速波動(dòng)結(jié)果和通過(guò)對(duì)電機(jī)控制系統(tǒng)進(jìn)行直接尋優(yōu)的轉(zhuǎn)速波動(dòng)結(jié)果基本一致；而表1中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示響應(yīng)面的尋優(yōu)的迭代時(shí)間遠(yuǎn)小于直接尋優(yōu)的迭代時(shí)間。

圖4 基于經(jīng)驗(yàn)值的前饋補(bǔ)償轉(zhuǎn)速渡動(dòng)情況

圖5 直接尋優(yōu)前饋補(bǔ)償?shù)霓D(zhuǎn)速渡動(dòng)情況

圖6 響應(yīng)面尋優(yōu)前饋補(bǔ)償方法的轉(zhuǎn)速波動(dòng)情況

4 結(jié)束語(yǔ)

本文用了稀疏表達(dá)響應(yīng)面的方法，基于模擬退火算法，構(gòu)建一個(gè)高精度的前饋補(bǔ)償電流系數(shù)與轉(zhuǎn)速波動(dòng)之間的近稀疏響應(yīng)面模型，可得到如下結(jié)論：

（1）通過(guò)對(duì)前饋補(bǔ)償電流系數(shù)與轉(zhuǎn)速波動(dòng)之間的近稀疏響應(yīng)面模型進(jìn)行尋優(yōu)，能獲得與電機(jī)控制系統(tǒng)進(jìn)行直接尋優(yōu)基本一致的結(jié)果且大大提升了其仿真效率；

（2）通過(guò)對(duì)前饋補(bǔ)償電流的尋優(yōu)，可使電機(jī)的轉(zhuǎn)速波動(dòng)得到抑制，從而降低單轉(zhuǎn)子壓縮機(jī)的震動(dòng)噪聲。

盡管當(dāng)前工作只是以單一工況為例，但將來(lái)基于本文所提出的方法可以構(gòu)建出一個(gè)基于復(fù)雜工況的前饋補(bǔ)償響應(yīng)面。