李哲 李明

（1、思源清能電氣電子有限公司，上海201108 2、海軍92246 部隊，上海200941）

電力電子裝置通常需要采集電網(wǎng)電壓、系統(tǒng)和裝置電流，進行基波無功和各次諧波進行分別檢測，以便于進行電能質(zhì)量的控制。通?？刹捎肍FT 方法進行分析，但FFT 存在頻譜泄露和柵欄效應(yīng)，導(dǎo)致直接利用FFT 的結(jié)果存在較大誤差，因此需要通過一定的方法來提高檢測精度。

1 DFT/FFT 基本原理

給定的非周期離散信號，對其進行傅里葉變換，可得到在頻域周期延拓的連續(xù)譜線，該變換為傅里葉變換的一種形式，稱為DTFT。若對頻譜的角頻率ω 以2π/N 進行采樣，則得到X（ejω）的N 個均分量，此時，頻域離散的頻譜可使復(fù)原后的信號在時域周期延拓，即我們通常所用的DFT。如果信號的采樣總數(shù)是基2 的，即N=2M，則可以應(yīng)用FFT 進行快速運算。

對時域信號離散截取，相當(dāng)于以矩形窗進行乘法，對應(yīng)在頻域是卷積計算，而矩形窗函數(shù)的頻域波形中旁瓣幅值較高，導(dǎo)致信號在頻域內(nèi)由主瓣向旁瓣泄露。為改善這一問題，通常可采用漢寧窗、漢明窗、Blackman 窗等余弦組合窗來減小旁瓣的頻譜泄露。由于DFT 在頻域內(nèi)的分辨率是Δf=fs/N，因此，當(dāng)所要求的頻率（fm=λm*Δf，λm非整數(shù)）不是分辨頻率的整數(shù)倍時，該點對應(yīng)的頻域變換不在DFT 的N 個點位上，能觀測到的信號頻譜實際上是λm前后相近的兩條譜線，正對λm的頻率被遮擋了，這稱為“柵欄效應(yīng)”。此時，只能以最接近的λm的譜線來代替計算，這導(dǎo)致了較大的誤差。通?？刹捎玫姆椒ㄊ歉鶕?jù)λm附近的數(shù)根整數(shù)分辨率的譜線來進行估算λm的信號，這稱為頻域插值或內(nèi)插。圖1 是實際頻率點與頻域分辨率不是整數(shù)倍關(guān)系時的譜線示意圖，藍色為連續(xù)譜，紅色為DFT 變換得到的離散譜線，藍色即為實際存在的51Hz 頻率點。通過第4、5 個頻率點估算實際頻率（fm=51Hz）的所有信息（頻率、相位、幅值）即是插值計算。

圖1 DFT 頻域的柵欄效應(yīng)

2 加窗及插值分析

2.1 矩形窗及兩譜線插值

設(shè)穩(wěn)定的電流或電壓信號，對x（t）以頻率fs進行采樣，采樣長度為N。則在頻域的分辨率為Δf=fs/N，采樣間隔為Δt=1/fs=1（NΔf），則采樣時間t=nΔt=n/fs=n/（NΔf），信號主頻率fm可表示為分辨率的倍數(shù)：fm=λm*Δf，，λm可能為整數(shù)，也可能是非整數(shù)。采樣后的序列可表示如下：

x（n）等效為連續(xù)信號x（t）在時域采樣并被長度為N 的矩形窗截斷的結(jié)果，即：x（n）=x（t）RN（n）。矩形窗的序列為：

對x（n）的傅里葉變換（DTFT）進行合理簡化可得：

考慮在頻率fm=λm*Δf 的信號分量，在頻域譜線中，其附近存在λ1、λ2兩條譜線，且λ2=λ1+1。為得到目的點的頻率（fm=λmΔf），可進行近似計算。

同時有：

根據(jù)上述公式，可通過搜索頻率fm 存在的譜線，估算出頻率、相位和幅值。

2.2 漢寧窗及三譜線插值

漢寧窗的時域表達式為：

在通過漢寧窗截取后后，其DTFT 為：

考慮在頻率fm=λm*Δf 的信號分量，在頻域譜線中，其附近存在λl-1、λl、λl+1三條譜線，且λm=λl+δ。為得到目標(biāo)點的頻率（fm=λmΔf），可以式（20）為基礎(chǔ)，做三譜線（Al、Al+1、AL-1）的插值，可得λm與最大峰值λl間的距離。

2.3 補零的分析

為滿足FFT 快速運算的需要，通?？紤]在采樣數(shù)據(jù)后補一定數(shù)量的零，來使總采樣數(shù)滿足基2 的要求?？紤]原采樣數(shù)為N，補零后為N1。相關(guān)計算式為：

3 仿真對比

以49.5Hz 為基頻，分別以1 個周期、2 個周期、3 個周期、4個周期、5 個周期進行DFT 計算，并以最接近間隔頻率點的信息來近似代替各次諧波。

根據(jù)仿真數(shù)據(jù)，隨著采樣周期增加，分辨率應(yīng)增加，但實際上在高頻段相位計算的誤差增大，導(dǎo)致實際檢測與補償效果變差。

分別對比矩形窗+兩譜線插值、漢寧窗+三譜線插值的檢測精度。結(jié)果如表2 所示。

表2 不同加窗及插值方法下的檢測精度對比

圖2 3 個周波的矩形窗+兩譜線插值檢測結(jié)果

圖3 3 個周波的漢寧窗+三譜線插值檢測結(jié)果

分別以80、160、200、240、400、480 點采樣數(shù)據(jù)分別補零至最近的基2 數(shù)。并對比補零前后的檢測與補償精度。初始信號加漢寧窗并采用三譜線插值的方法計算。

表3 不同加窗及插值方法下的檢測精度對比

4 結(jié)論

本文對FFT 算法進行了分析，并通過仿真對比形成如下結(jié)論。

單周期數(shù)據(jù)下，直接采用DFT/FFT 計算相應(yīng)次電流或電壓數(shù)據(jù)，其檢測準(zhǔn)確度約90%左右，更多周期的數(shù)據(jù)在不加處理的情況下，不會改善精度，反而因高次諧波相位的偏差導(dǎo)致精度下降；現(xiàn)有插值方法中，采用漢寧窗+三個線譜計算的方法精度較高，但由于線譜計算需要尋找連續(xù)波形上的譜線，因此，該方法至少需要2 個以上的周期數(shù)據(jù)；采用矩形窗+兩個線譜計算的方法精度偏差較大且不穩(wěn)定，不建議使用；原始信號加窗后再補零至基2 數(shù)，對檢測精度有較大影響，文檔中已對加零的影響進行了修正，但在補零數(shù)較多時，精度下降明顯。