程 鑫，吳 惠，董家偉，王寧經(jīng)

(1.武漢理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖北 武漢 430070；2.湖北省磁懸浮軸承工程技術(shù)研究中心，湖北 武漢 430070)

磁懸浮軸承依靠可控電磁力將轉(zhuǎn)子懸浮在設(shè)定位置，具有無機(jī)械接觸、無摩擦、無磨損等優(yōu)點(diǎn)，是機(jī)床主軸、磁懸浮多電發(fā)動(dòng)機(jī)等關(guān)鍵裝備中高性能轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的理想支承方式[1-3]。隨著對(duì)裝備可靠性要求的不斷提高，磁懸浮軸承的可靠性問題成為了目前磁懸浮軸承技術(shù)的研究重點(diǎn)。

獲取磁懸浮軸承的位移信息對(duì)提高磁懸浮軸承系統(tǒng)的穩(wěn)定性至關(guān)重要。磁懸浮軸承系統(tǒng)多采用電渦流傳感器，該類型的傳感器利用電磁感應(yīng)定律，將位移信號(hào)轉(zhuǎn)換為感應(yīng)電流的形式[4]，從而檢測(cè)出軸承的位移信號(hào)。但這類傳感器實(shí)際工作時(shí)，受裝配布局與采樣電路的影響，會(huì)產(chǎn)生檢測(cè)誤差，直接影響了磁懸浮軸承系統(tǒng)的控制精度和可靠性。

位移傳感器的安裝角偏差及測(cè)量原點(diǎn)的偏移將直接影響位移測(cè)量精度，因此在系統(tǒng)工作前，需要對(duì)造成測(cè)量誤差的因素進(jìn)行標(biāo)定，修正檢測(cè)誤差。但是由電路噪聲等因素所造成傳感器測(cè)量誤差大多隨機(jī)，無法標(biāo)定。而現(xiàn)實(shí)中測(cè)量模型多為Gauss-Markov模型[5-6]，如果系統(tǒng)矩陣呈現(xiàn)病態(tài)，即使只有很小的測(cè)量誤差也會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生重大影響，必須通過一系列方法降低其病態(tài)特性。文獻(xiàn)[7]分析了大地測(cè)量系統(tǒng)中存在的不適定問題，并引入正則化解法。文獻(xiàn)[8]針對(duì)傳統(tǒng)測(cè)繪數(shù)據(jù)處理中矩陣求逆影響精度的問題提出了一種改進(jìn)的主元加權(quán)迭代法來處理病態(tài)矩陣。文獻(xiàn)[9]利用奇異值分解，給出了截取參數(shù)和修正奇異值的方法，減弱矩陣的病態(tài)特性。文獻(xiàn)[10]分析了大地測(cè)量系統(tǒng)數(shù)據(jù)處理中的病態(tài)問題，提出了基于虛擬觀測(cè)的總體最小二乘問題的嶺估計(jì)法。

筆者構(gòu)建了磁懸浮軸承位移檢測(cè)系統(tǒng)的Gauss-Markov模型，剖析了其誤差形成機(jī)理，羅列出可能影響精度的參數(shù)，并加以標(biāo)定。在標(biāo)定過程中遇到的病態(tài)問題，引入嶺估計(jì)法與譜分解迭代法，降低了系統(tǒng)的病態(tài)特性。最后基于MATLAB建立數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行仿真，驗(yàn)證該方法是否能夠達(dá)到修正誤差的目的。

1 誤差形成機(jī)理

1.1 理論檢測(cè)模型

磁懸浮軸承位置檢測(cè)如圖1所示，通過磁極P1，P2，P3，P4的共同作用，使得軸承在特定的范圍內(nèi)運(yùn)轉(zhuǎn)，并通過位移傳感器S1，S2測(cè)量軸承的實(shí)際位移，在二維平面中，兩個(gè)線性無關(guān)的向量即可表示該平面內(nèi)的所有向量。因此，兩個(gè)垂直的位移傳感器便可測(cè)量出軸承的位移向量。在其中OXY構(gòu)成軸承實(shí)際位移坐標(biāo)系RA，OX′Y′構(gòu)成位移傳感器的檢測(cè)坐標(biāo)系RB，X′軸相對(duì)X軸偏轉(zhuǎn)-45°，Y′軸相對(duì)X軸偏轉(zhuǎn)45°。

圖1 磁懸浮軸承位置檢測(cè)模型

定義RA中的向量Pa=(x,y)T表示軸承在水平方向與豎直方向的位移；向量Pb=(h,v)T表示位移傳感器在檢測(cè)坐標(biāo)系RB中檢測(cè)的位移向量；兩個(gè)坐標(biāo)系角度偏轉(zhuǎn)矩陣T。根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，Pa與Pb的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

(1)

向量L=(u1,u2)T分別表示2個(gè)位移傳感器的測(cè)量值，Ks表示傳感器增益，則存在等式：

(2)

結(jié)合式(1)和式(2)，可推導(dǎo)出：

(3)

理論上，僅需解該線性方程組即可得出軸承的位移向量。

1.2 誤差形式

系統(tǒng)的誤差形式主要有兩種表現(xiàn)形式，機(jī)械結(jié)構(gòu)誤差與測(cè)量誤差。

(1)機(jī)械結(jié)構(gòu)誤差。實(shí)際磁懸浮軸承與位移傳感器工作時(shí)，模型與圖1存在出入。在位移傳感器安裝時(shí)，由于工件尺寸偏差與安裝偏差等因素的存在，導(dǎo)致理想安裝角度與實(shí)際安裝角度不同，測(cè)量坐標(biāo)系RB的X′軸與Y′軸與軸承位移坐標(biāo)系RA的X軸的偏轉(zhuǎn)角分別產(chǎn)生了α與β的偏差。在軸承制造時(shí)存在精度誤差，加之定子與轉(zhuǎn)子產(chǎn)生碰撞后產(chǎn)生形變，形狀發(fā)生變化，軸承的質(zhì)心發(fā)生偏移，導(dǎo)致軸承位移坐標(biāo)系RA與測(cè)量坐標(biāo)系RB的原點(diǎn)不重合。因此磁懸浮軸承位置檢測(cè)的實(shí)際模型如圖2所示。

圖2 磁懸浮軸承位置檢測(cè)的實(shí)際模型

此時(shí)，兩個(gè)坐標(biāo)系的角度偏轉(zhuǎn)矩陣為：

(4)

其中

(5)

根據(jù)矩陣相對(duì)變化的公式可知，定義兩個(gè)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣P，兩個(gè)坐標(biāo)系的變換具備以下表達(dá)式：

(6)

其中(δ1,δ2)分別表示軸承位移坐標(biāo)系RA的原點(diǎn)O在測(cè)量坐標(biāo)系RB中的坐標(biāo)。

結(jié)合式(2)和式(3)，可推導(dǎo)出：

(7)

(2)測(cè)量誤差。傳感器組測(cè)量值向量L=(u1,u2)T返回的是電壓信號(hào)，電路中存在噪聲，傳感器采樣時(shí)受采樣精度影響，導(dǎo)致實(shí)際測(cè)量向量L表達(dá)式為：

L=LO+Δ

(8)

式中：LO為理論輸出；Δ∈R2×1為測(cè)量值的系統(tǒng)誤差。

2 誤差修正

2.1 修正流程

測(cè)量誤差與機(jī)械結(jié)構(gòu)誤差不同，工件一旦安裝完成，機(jī)械結(jié)構(gòu)誤差就相對(duì)固定，而測(cè)量誤差來源于電路與傳感器，具有隨機(jī)性，無法具體描述。對(duì)于機(jī)械結(jié)構(gòu)誤差，存在未知數(shù)p1，p2，p3，p4，δ1,δ2?？梢酝ㄟ^測(cè)量已知實(shí)際位移的特殊點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)定。當(dāng)磁極P2通電，定子會(huì)被吸至最上方，獲得豎直方向的最大位移，此時(shí)可得到一組數(shù)據(jù)。同理，調(diào)整不同磁極的通電可以獲得多組數(shù)據(jù)。

定義第i個(gè)測(cè)試點(diǎn)Pi(xi,yi)T測(cè)試的傳感器數(shù)據(jù)Li=(ui1,ui2)T，將式(7)變換形式得：

(9)

因此，要標(biāo)定6個(gè)未知數(shù)，至少需要3的測(cè)試點(diǎn)。

定義：

(10)

則對(duì)于6個(gè)未知參量的標(biāo)定，轉(zhuǎn)換為求解線性方程組Ap=q。

2.2 病態(tài)問題

病態(tài)問題是指在求解線性方程組時(shí)，由于矩陣構(gòu)造不合理，當(dāng)某些數(shù)據(jù)發(fā)生輕微影響時(shí)，導(dǎo)致結(jié)果發(fā)生巨大變化，對(duì)應(yīng)的矩陣成為病態(tài)矩陣。矩陣的病態(tài)特性取決于矩陣的條件數(shù)，條件數(shù)越大，病態(tài)特性越強(qiáng)。由于測(cè)量誤差的存在，實(shí)際的數(shù)學(xué)模型為：

Ap=qo+Δ

(11)

式中：Δ為測(cè)量誤差，E(Δ)=0,D(Δ)=P。當(dāng)A矩陣為病態(tài)矩陣時(shí)，若采用傳統(tǒng)的最小二乘法求解，由于Δ的存在而會(huì)導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)較大偏差。為了提高精度，必須降低由于Δ而造成的影響。常見的方法有嶺估計(jì)法與譜分解法[7,11]。

(1)嶺估計(jì)法。嶺估計(jì)法是一種用于線性數(shù)據(jù)分析的有偏估計(jì)回歸方法，實(shí)質(zhì)上是一種改良的最小二乘估計(jì)法。其表達(dá)式為：

(12)

由于嶺參數(shù)的引入，嶺估計(jì)法一定程度上改變了原等式的等量關(guān)系，僅僅只能作為估計(jì)結(jié)果。估計(jì)結(jié)果與嶺參數(shù)k相關(guān)，不同的嶺參數(shù)會(huì)導(dǎo)致不同的偏差。對(duì)于嶺參數(shù)的選擇存在很多種方法，這里應(yīng)用GCV(generalized cross validation)法[12]。

應(yīng)用GCV法選擇嶺參數(shù)，構(gòu)建k的GCV函數(shù)為：

(13)

式中：H(k)=A(APTA-kI)-1ATP；n為未知數(shù)的個(gè)數(shù)；I為單位矩陣；tr(*)為矩陣的跡；‖*‖為矩陣的范數(shù)。式(13)的最小值k便是GCV法所確定的嶺參數(shù)。

(2)譜分解迭代法。譜分解迭代法是將最小二乘法的兩邊同時(shí)加上p得到

(14)

將式(14)運(yùn)用迭代的方式求解，其迭代公式為：

(15)

文獻(xiàn)[13]證明了當(dāng)i→∞時(shí)，等式收斂于方程的解。通過迭代的方式即可求解原線性方程，與嶺估計(jì)方法相對(duì)比，譜分解迭代法避免了嶺參數(shù)的選擇，也沒有改變?cè)仁降牡攘筷P(guān)系，具備無偏性。

3 仿真分析

基于MATLAB建立仿真系統(tǒng)來模擬位移測(cè)量系統(tǒng)，在未修正誤差及進(jìn)行修正誤差時(shí)測(cè)量到的軸承位移的誤差情況如圖3所示。實(shí)際測(cè)量模型為式(7)，其中傳感器增益Ks=1 000 mV/mm，軸承的位移半徑為8 mm兩個(gè)傳感器與理論方向的偏差分別為α=3°與β=-2°。位移坐標(biāo)系RA的原點(diǎn)O與測(cè)量坐標(biāo)系RB的原點(diǎn)O′的位置偏差δ1=1 mm,δ2=0.5 mm，則根據(jù)式(9)得出，p=(0.743-0.669 8,0.669,0.682,1,-0.5)T，測(cè)量誤差期望為0 mV，誤差范圍為[-2,2]mV均勻分布的信號(hào)，故噪聲信號(hào)方差為1.33，P=1.33I。仿真時(shí)間為5 s，采樣頻率為10 Hz。

圖3 測(cè)量系統(tǒng)模型

3.1 未知參量的標(biāo)定

對(duì)于未知參量p，選用3個(gè)測(cè)量點(diǎn)，分別取軸承最上方的最大位移(0,8)，最右方的最大位移點(diǎn)(0,8)以及45°方向的最大位移點(diǎn)(5.66,5.66)。以式(9)的方式確立方程，此時(shí)，采用最小二乘法求解方程，方程矩陣的條件數(shù)Cond(ATA)=1 556。條件數(shù)偏大，矩陣方程成病態(tài)。

以最小二乘法求解方程計(jì)算得到p=(0.753,-0.66,0.679,0.689,0.912,-0.576)。

(1)嶺估計(jì)法。先行確定嶺參數(shù)k，利用式(13)計(jì)算合適的嶺參數(shù)，計(jì)算得k=100。代入式(11),計(jì)算得到p=(0.742,-0.670,0.669,0.682,1.008,-0.498)T。

(2)譜分解迭代法。利用最小二乘法確定迭代的初值，取迭代次數(shù)i=100；代入式(14)，得p=(0.744,-0.669,0.667,0.680,0.997,-0.481)T。

由計(jì)算結(jié)果可知，經(jīng)過修正后的結(jié)果比直接使用最小二乘法的結(jié)果的偏差小了很多。

3.2 測(cè)量偏差分析

對(duì)于測(cè)量偏差，選擇幾個(gè)位移點(diǎn)，并計(jì)算測(cè)量偏差[e1,e2]。具體流程如下：

(1)選擇某個(gè)點(diǎn)(x,y)，根據(jù)實(shí)際測(cè)量模型，用式(7)推導(dǎo)出傳感器的測(cè)量值(u1,u2)；

(2)根據(jù)傳感器的測(cè)量值(u1,u2)，分別以理論測(cè)量模型與修正過的測(cè)量模型反向求出軸承的位移；

(3)將測(cè)量出的位移與實(shí)際位移相比較，求出測(cè)量偏差[e1,e2]，比較修正結(jié)果是否能夠達(dá)到減少誤差的目的；

(4)反復(fù)采樣，直到仿真時(shí)間結(jié)束。

選定第一個(gè)位移點(diǎn)(5,0)，此時(shí)水平位移量與豎直位移量的偏差如圖4和圖5所示。

圖4 水平位移量偏差

圖5 豎直位移量偏差

軸承運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)會(huì)受到外部擾動(dòng)，其位移特性經(jīng)常為周期變換的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。因此第二個(gè)位移點(diǎn)不再是定點(diǎn)，而是一個(gè)周期性變換的位移點(diǎn)。其水平位移是幅值為5 mm，周期為1 s的正弦信號(hào)，即x=5sin(2πt)，豎直位移為3 mm，此時(shí)水平位移量與豎直位移量的偏差如圖6和圖7所示。

圖6 水平位移量偏差

圖7 豎直位移量偏差

由圖4～圖7可知，在未經(jīng)過誤差修正時(shí)，由于各種傳感器的偏轉(zhuǎn)角與原點(diǎn)偏差的存在，位移測(cè)量偏差都比較大。經(jīng)過誤差修正后，位移偏差明顯降低。在標(biāo)定未知參量時(shí)，嶺估計(jì)法雖然選用合適的嶺參數(shù)，但還是改變了原等式的等量關(guān)系。相比嶺估計(jì)法，譜分解迭代法所標(biāo)定的結(jié)果更接近實(shí)際值。盡管如此，兩種方法都降低了位移測(cè)量偏差，達(dá)到了降低誤差的目的。

4 結(jié)論

筆者構(gòu)造了磁懸浮軸承位移測(cè)量模型，分析了其誤差成因并標(biāo)定了影響測(cè)量誤差的參數(shù)，對(duì)于方程矩陣的病態(tài)問題，運(yùn)用合理的數(shù)學(xué)方法來提高運(yùn)算結(jié)果的精度，并運(yùn)用MATLAB進(jìn)行仿真。根據(jù)仿真結(jié)果可知，筆者提出的磁懸浮軸承的位移測(cè)量誤差的修正方法具有一定的可行性。