摘要：介紹了在Pro/E軟件環(huán)境下，引入坐標變換矩陣和離散變量實現(xiàn)圓柱齒輪的三維參數(shù)化造型，并結(jié)合嚙合理論進行精確裝配。同時，基于多體動力學(xué)軟件MSC.ADAMS對齒式離心壓縮機的齒輪輪系進行動力學(xué)仿真分析，進而驗證造型和裝配的準確性。

關(guān)鍵詞：圓柱齒輪;參數(shù)化;嚙合理論;動力學(xué)仿真

0? ? 引言

齒輪作為傳遞運動和動力的基礎(chǔ)元件，在工業(yè)發(fā)展中發(fā)揮著十分重要的作用。齒輪造型及精確嚙合裝配是齒輪加工和對齒輪進行各種運動、動力等分析的基礎(chǔ)，模型的準確性會直接影響到齒輪的加工精度和分析結(jié)果。圓柱齒輪包括直齒漸開線齒輪、斜齒漸開線齒輪、變位齒輪等。齒輪的參數(shù)化造型過程實際上就是解決變位斜齒輪造型的過程，當(dāng)變位系數(shù)為0時它就是標準齒輪，當(dāng)螺旋角為0時它就是直齒輪。

為拓展數(shù)字化研究領(lǐng)域，本文對圓柱齒輪參數(shù)化造型、嚙合裝配及動力學(xué)仿真進行研究?；赑ro/E完成漸開線變位斜齒輪的參數(shù)化造型，實現(xiàn)齒輪的自動化設(shè)計，同時結(jié)合齒輪嚙合原理，添加裝配輔助參照，實現(xiàn)變位斜齒輪的精確嚙合裝配，最后基于ADAMS完成齒式離心壓縮機齒輪輪系的運動學(xué)和動力學(xué)仿真分析，驗證齒輪參數(shù)化造型和嚙合裝配的準確性。

1? ? 參數(shù)和造型

齒輪參數(shù)化造型的難點主要是變位齒輪齒厚的計算、斜齒輪的旋向問題以及螺旋線生成等。目前齒輪造型的方法有很多，但這些關(guān)鍵問題都沒有很好的解決手段，比如針對斜齒輪，通常是分別建立左旋和右旋兩個基本參數(shù)化模型。本文在學(xué)習(xí)前人研究成果的基礎(chǔ)上，提出基于Pro/E的圓柱齒輪參數(shù)化建模，解決以上幾個齒輪參數(shù)化造型的關(guān)鍵問題。

齒輪的基本參數(shù)如表1所示。

1.1? ? 漸開線和齒形角度關(guān)系

圖1為漸開線的形成原理，其方程為：

Pro/E具有強大的曲線方程功能，可通過漸開線方程生成齒輪輪齒的漸開線齒廓，進而通過掃描或掃描混合生成輪齒。在Pro/E齒輪造型過程中，相對于掃描命令，使用掃描混合命令可準確生成輪齒，且保證輪齒兩端面與齒寬平面完全對齊。掃描混合命令生成輪齒至少需要兩個齒廓截面的草繪，因此需依次建立四條漸開線齒廓，如圖2中的漸開線1、2、3、4。四條漸開線分屬不同的坐標系，為了在Pro/E的缺省坐標系XOY同時表達這四條漸開線，曲線生成過程需要進行坐標轉(zhuǎn)換。一種方法是在Pro/E中分別新建四個坐標系，輸入坐標旋轉(zhuǎn)角度和平移位移，然后分別基于各自的坐標系生成四條漸開線;另一種方法是通過坐標變換矩陣，將四條漸開線所在的坐標轉(zhuǎn)換到缺省坐標系，進而各自生成漸開線。

以上兩種方法都需要準確計算漸開線的旋轉(zhuǎn)角及移動位移。下面根據(jù)齒輪嚙合理論推導(dǎo)計算漸開線坐標變換的角度關(guān)系。

根據(jù)圖1、圖2，在變位齒輪中：

將θ和γ的關(guān)系式分別寫入Pro/E的關(guān)系中。

根據(jù)坐標轉(zhuǎn)換（圖2），漸開線1到缺省坐標系XOY的變換矩陣為：

漸開線1在缺省坐標系XOY下的方程為：

在Pro/E中制作齒廓漸開線采用方程式的方法精確生成，選缺省坐標系，在文件rel.ptd中輸入：

其中t為參變量，它在0到1之間變化，本文中t意義相同。

漸開線3到缺省坐標系XOY的變換矩陣為：

漸開線3在XOY坐標下的方程為：

漸開線2、4類似，這里不再重復(fù)。

1.2? ? 螺旋線

目前創(chuàng)建螺旋線的方法通常是在基準平面內(nèi)創(chuàng)建一條角度為螺旋角的斜線，然后投影到分度圓曲面得到螺旋線。這種方法創(chuàng)建過程繁瑣，且引入一個冗余的分度圓曲面。本文通過螺旋線形成的分析，采用方程直接繪制螺旋線。螺旋線是柱面x2+y2=r2和z=x/tan β的交線，所以螺旋線方程應(yīng)為：

1.3? ? 螺旋方向

決定斜齒輪旋向的參數(shù)是螺旋角β和螺旋齒的坐標旋轉(zhuǎn)角γ。在Pro/E關(guān)系式中，這兩個角都不允許直接輸入負值。為此，本文繞開正負角度，通過兩種方法分別解決這兩個問題。

斜齒輪旋向是由螺旋角β的正負引起螺旋線方向的變化，在不改變螺旋角的情況下，引入一個離散參數(shù)k，通過k控制螺旋線的x坐標，進而控制螺旋線方向。修訂Pro/E中螺旋線方程如下：

螺旋齒的坐標旋轉(zhuǎn)角γ無法反向偏移，可在Pro/E關(guān)系中引入判斷語句：

1.4? ? 建模步驟

在Pro/E參數(shù)化造型之前一定要統(tǒng)一單位，特別是角度和弧度。齒輪的參數(shù)化建?；静襟E如下：

（1）新建一個Pro/E零件，在工具—程序—編輯文本內(nèi)添加輸入的參數(shù)。

（2）創(chuàng)建基圓、分度圓、齒頂圓、齒根圓，將尺寸代號進行參數(shù)化。根據(jù)齒輪參數(shù)關(guān)系，在關(guān)系窗口內(nèi)定義各參數(shù)的關(guān)系式。

（3）通過方程繪制螺旋線，并在水平基準面捕捉螺旋線的投影曲線，注意基準和方向的統(tǒng)一。

（4）通過方程繪制漸開線齒廓，并通過坐標旋轉(zhuǎn)變換繪制其他齒廓。

（5）使用掃描混合命令選取螺旋線和其投影線，定義螺旋線兩端點的草繪，通過捕捉漸開線輪廓以及齒頂圓、齒根圓，并進行齒根倒圓角，完成輪齒齒形草繪，進而掃描混合出輪齒實體。掃描混合過程中要注意兩條軌跡線的選取順序及草繪平面與軌跡線的垂直關(guān)系。

（6）陣列輪齒。

齒輪的參數(shù)化建模如圖3所示。

2? ? 嚙合裝配

2.1? ? 正確嚙合條件

平行軸斜齒輪在端面內(nèi)的嚙合相當(dāng)于直齒輪的嚙合，所以其正確嚙合的條件為端面模數(shù)及端面壓力角相等，兩基圓柱螺旋角必須相等，于是得到平行軸斜齒輪正確嚙合條件：

因外嚙合齒輪的螺旋角大小相等，方向相反，而內(nèi)嚙合時方向相同，故式中負號用于外嚙合，正號用于內(nèi)嚙合。

2.2? ? 嚙合裝配方法

在標準齒輪嚙合和等變位齒輪嚙合中，由于嚙合角等于分度圓壓力角，故標準中心距為：

而在非等變位齒輪嚙合中，嚙合角并不等于分度圓壓力角，此時，嚙合角為：

對于斜齒輪，取端面模數(shù)、端面壓力角。

在確定中心距之后，齒輪接觸齒面之間的嚙合至關(guān)重要。在Pro/E齒輪裝配過程中，對于接觸曲面復(fù)雜的變位斜齒輪，精確嚙合裝配需添加輔助參照。本文結(jié)合齒輪嚙合理論，提出三種精確嚙合裝配方法。

方法一：對于無齒側(cè)間隙的齒輪嚙合，只需分別建立過齒槽和齒厚的基準平面，裝配時令兩基準面重合即可保證準確嚙合。該方法比較簡便，但適用范圍有限，主要適合標準齒輪和等變位齒輪。

方法二：斜齒輪在嚙合過程中總是從端面齒廓的一點進入嚙合，從齒面的某一位置退出嚙合。結(jié)合齒面接觸線特點，在裝配過程中，根據(jù)齒輪參數(shù)在齒面上準確繪制其中一條接觸線，令該接觸線在另一配合齒面內(nèi)，模擬齒輪嚙合以實現(xiàn)精確裝配，如圖4所示。

方法三：齒輪嚙合過程中，端面嚙合齒廓總是存在若干相切的位置。根據(jù)該嚙合特點，在裝配過程中，定義配合齒輪端面齒廓曲線的凸輪接觸，即可確定齒輪某一時刻精確嚙合裝配位置。該方法操作簡便，且適用于所有齒輪嚙合裝配。

以上三種齒輪精確嚙合裝配方法都引入了輔助參照，在準確定義某一嚙合位置后，配合齒輪間添加齒輪約束，設(shè)置傳動比，然后刪除輔助裝配參照，即實現(xiàn)了齒輪的精確裝配。圖5為齒式離心壓縮機齒輪嚙合裝配。

3? ? 動力學(xué)仿真

結(jié)合齒輪參數(shù)化造型方法和嚙合裝配，本文針對齒式離心壓縮機輪系進行參數(shù)化建模和嚙合裝配，并基于ADAMS進行運動學(xué)和動力學(xué)仿真分析。齒式壓縮機齒輪參數(shù)如表2所示。

3.1? ? 模型及運動約束

齒輪輪系模型導(dǎo)入ADAMS后，添加運動副、轉(zhuǎn)速、載荷，如圖6所示。

結(jié)合齒式壓縮機傳動，在主動輪gear0施加轉(zhuǎn)速17 850 r/s，從動輪gear1施加6.002 2×105 Nmm（600.22 Nm）的負載力矩，從動輪gear2、gear3施加1.075 27×106 Nmm（1 075.27 Nm）的負載力矩。為防止負載施加過程陡變，采用STEP函數(shù)加載，使力矩在一段時間內(nèi)平穩(wěn)加到恒定值，即STEP（time，0，0，0.01，

600 220）。圖7為三個從動輪的負載力矩加載曲線，紅色曲線為從動輪gear1的加載過程，粉色和藍色重疊曲線為從動輪gear2、gear3的加載過程。

3.2? ? 齒輪接觸碰撞力

齒輪傳遞轉(zhuǎn)速和扭矩主要是通過輪齒之間的接觸碰撞。在ADAMS中，選用基于Impact函數(shù)的接觸力，Impact是用剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)來計算接觸力的。輪齒碰撞所引起的沖擊力，可以作為兩個變曲率半徑柱體撞擊問題。根據(jù)Hertz碰撞理論，考慮接觸面積為圓形時：

由此式可得到碰撞時接觸法向力P和變形δ關(guān)系為：

公式中K取決于碰撞物體材料和形狀：

式中：R1、R2為接觸物體在接觸點的接觸半徑，齒輪接觸近似以分度圓半徑代替接觸點的當(dāng)量半徑。

式中：μ1、μ2為接觸物體材料的泊松比;E1、E2為接觸物體材料的彈性模量。

齒輪材料都是17CrNiMo6，其泊松比為0.3，彈性模量為2.06×105 N/mm2。

主齒輪gear0和從動輪gear1，代入數(shù)據(jù)計算得：

主齒輪gear0和從動輪gear2、從動輪gear3接觸參數(shù)一樣，代入數(shù)據(jù)計算得：

另外，碰撞指數(shù)e用來計算瞬時法向力中材料剛度項貢獻值，通常取1.5;材料阻尼系數(shù)c取50 N/mms，全阻尼穿透值d取0.05 mm;由于兩齒面充分潤滑，動摩擦系數(shù)取0.03，靜摩擦系數(shù)取0.05。將以上接觸碰撞的參數(shù)計算結(jié)果輸入，即完成齒輪碰撞參數(shù)設(shè)置。

3.3? ? 仿真結(jié)果分析

設(shè)置仿真時間t=0.02 s，step=4 000進行計算。

圖8為輪系各齒輪轉(zhuǎn)速曲線，從圖中可以看出，從動輪在主動輪的碰撞沖擊作用下，轉(zhuǎn)速逐漸變大，且很快趨于平穩(wěn)。

通過測量，從動輪gear1的穩(wěn)定轉(zhuǎn)速平均值為2.077 11×105 rad/s，從動輪gear2的穩(wěn)定轉(zhuǎn)速平均值為2.979 95×105 rad/s，從動輪gear3的穩(wěn)定轉(zhuǎn)速平均值為2.979 73×105 rad/s。

從動輪gear1的理論轉(zhuǎn)速為：

從動輪gear2、gear3的理論轉(zhuǎn)速為：

轉(zhuǎn)速誤差為：

可見，在誤差范圍內(nèi)，輪系的轉(zhuǎn)速滿足實際工況。

圖9為輪齒之間接觸碰撞力曲線，從圖中可以看出，在輪齒嚙合初期，輪齒由于負載的作用，碰撞力較大，隨著傳動的平穩(wěn)，碰撞力也逐步趨于平穩(wěn)，且在一個穩(wěn)定的范圍內(nèi)變化。

齒輪在嚙合過程中嚙合碰撞并不是保持不變的，而是每嚙合入一個齒就產(chǎn)生一個脈沖力，且從進入嚙合到退出嚙合的過程中，嚙合力有一個波動。嚙合力的波動幅值大小與齒型的結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，同時，由于應(yīng)力變形和熱膨脹等影響，嚙合力大小有可能存在階躍。因此，為了改善齒輪傳動，延長使用壽命，齒輪輪齒需要進行相應(yīng)的修型處理。

由以上轉(zhuǎn)速和接觸碰撞力的仿真結(jié)果可知，齒輪輪系的運動學(xué)和動力學(xué)仿真結(jié)果比較準確，具有一定的現(xiàn)實指導(dǎo)意義。同時，齒輪的運動仿真也驗證了齒輪的參數(shù)化造型方法和嚙合裝配的準確性。

4? ? 結(jié)語

本文結(jié)合目前齒輪參數(shù)化造型和精確裝配存在的問題，引入漸開線坐標變換矩陣、螺旋線方程表達式、螺旋方向判斷變量以及嚙合裝配等，提出基于Pro/E的圓柱齒輪參數(shù)化造型和精確嚙合裝配，解決齒輪造型和裝配存在的難題。同時，使用研究方法針對齒式離心壓縮機齒輪組件進行參數(shù)化建模和嚙合裝配，并基于ADAMS進行輪系的運動仿真，仿真結(jié)果驗證了齒輪參數(shù)化造型和嚙合裝配的準確性。

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收稿日期：2020-05-15

作者簡介：林偉偉（1983—），男，福建莆田人，碩士研究生，工程師，研究方向：機械。