侯 銳，卜旭輝

河南理工大學(xué) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，河南 焦作 454000

1 引言

由于單個(gè)機(jī)器人在各方面能力的限制，很難獨(dú)自完成某些工作任務(wù)，所以近年來(lái)多機(jī)器人系統(tǒng)協(xié)同工作成為行業(yè)研究的熱點(diǎn)。多移動(dòng)機(jī)器人協(xié)同編隊(duì)在無(wú)人技術(shù)領(lǐng)域有著重要作用，例如聯(lián)合作業(yè)、群體偵察、協(xié)作運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域，使得多移動(dòng)機(jī)器人編隊(duì)控制問(wèn)題成為重要的研究方向。多移動(dòng)機(jī)器人協(xié)同編隊(duì)要求各個(gè)不同位置的移動(dòng)機(jī)器人在執(zhí)行任務(wù)時(shí)能夠自主協(xié)作形成一個(gè)期望的編隊(duì)隊(duì)形，同時(shí)保持期望編隊(duì)隊(duì)形沿著指定的航跡工作。根據(jù)實(shí)際工作的需要，多移動(dòng)機(jī)器人的編隊(duì)隊(duì)形可以是三角形、正方形，也可以是直線(xiàn)型等形狀[1]。

從目前已有的文獻(xiàn)來(lái)看，多移動(dòng)機(jī)器人編隊(duì)的控制方法主要有：虛擬結(jié)構(gòu)法（Virtual-structure）、基于行為的方法（Behavior-based）、領(lǐng)航-跟隨型方法（Leader-Follower）等[2]。虛擬結(jié)構(gòu)法將整個(gè)編隊(duì)視為一個(gè)單獨(dú)的虛擬結(jié)構(gòu)，同時(shí)控制整個(gè)虛擬結(jié)構(gòu)進(jìn)行期望運(yùn)動(dòng)，雖然能夠很容易實(shí)現(xiàn)編隊(duì)并且描繪出虛擬結(jié)構(gòu)中各個(gè)移動(dòng)機(jī)器人的軌跡，但是會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的靈活性和適應(yīng)性不足；基于行為的方法通過(guò)多移動(dòng)機(jī)器人的行為描述實(shí)現(xiàn)編隊(duì)和軌跡跟蹤，但是難以用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析，因此很難獲得精確的編隊(duì)效果。而領(lǐng)導(dǎo)-跟隨型編隊(duì)控制效果準(zhǔn)確穩(wěn)定且分析簡(jiǎn)單，非常適用于小型多移動(dòng)機(jī)器人編隊(duì)控制。在領(lǐng)航-跟隨型編隊(duì)控制方法中，一般選擇一個(gè)或多個(gè)領(lǐng)航者（Leader），其余均為跟隨者（Follower）。編隊(duì)過(guò)程中，領(lǐng)航者負(fù)責(zé)按照預(yù)先規(guī)劃好的航跡進(jìn)行工作，而其他跟隨者利用領(lǐng)航者當(dāng)前的信息調(diào)整自己的狀態(tài)，通過(guò)跟隨者的局部控制就能夠?qū)崿F(xiàn)與領(lǐng)航者保持一定距離和角度。文獻(xiàn)[3]通過(guò)控制領(lǐng)航者與跟隨者的相對(duì)距離和相對(duì)角度實(shí)現(xiàn)多移動(dòng)機(jī)器人的編隊(duì)。文獻(xiàn)[4]將編隊(duì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為軌跡跟蹤問(wèn)題，利用軌跡跟蹤的控制方法實(shí)現(xiàn)自主形成編隊(duì)隊(duì)形，同時(shí)確保編隊(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[5]將Backstepping-based方法應(yīng)用于多移動(dòng)機(jī)器人的編隊(duì)，為各個(gè)移動(dòng)機(jī)器人設(shè)計(jì)了控制律。文獻(xiàn)[6]將滑模變結(jié)構(gòu)控制用于多移動(dòng)機(jī)器人的編隊(duì)。文獻(xiàn)[7]采用模糊控制建立模糊集合對(duì)移動(dòng)機(jī)器人進(jìn)行編隊(duì)控制。

綜上所述，對(duì)于多移動(dòng)機(jī)器人領(lǐng)航-跟隨型編隊(duì)控制，大多采用滑?？刂?、基于Backstepping-based方法以及基于Lyapunov 的方法來(lái)設(shè)計(jì)控制器，雖然有大量的研究解決編隊(duì)控制中編隊(duì)形成和編隊(duì)隊(duì)形保持問(wèn)題，但是上述方法均是在時(shí)間域上實(shí)現(xiàn)的漸進(jìn)跟蹤控制，控制精度較低，很難實(shí)現(xiàn)精確的編隊(duì)效果。迭代學(xué)習(xí)控制（Iterative Learning Control，ILC）作為一種具有“學(xué)習(xí)”性質(zhì)的算法，通過(guò)對(duì)被控系統(tǒng)進(jìn)行控制嘗試，能夠通過(guò)多次學(xué)習(xí)，利用過(guò)去學(xué)習(xí)獲得的信息，以輸出信號(hào)與給定目標(biāo)修正不理想的控制信號(hào)，提高系統(tǒng)的跟蹤性能，高精度地跟蹤期望目標(biāo)[8]。迭代學(xué)習(xí)控制[9-13]已經(jīng)成功應(yīng)用于具有較強(qiáng)非線(xiàn)性耦合、難以建模以及高精度跟蹤控制要求的系統(tǒng)上[14-16]。但傳統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制在研究中，要求每次迭代的初始位置需要和期望軌跡的初始位置相同[17]，即在初始時(shí)刻已經(jīng)形成期望編隊(duì)，這就限制了迭代學(xué)習(xí)控制在多機(jī)器人編隊(duì)控制方面的應(yīng)用。

基于此，本文設(shè)計(jì)了一種在任意初始位置條件下基于領(lǐng)航-跟隨型的移動(dòng)機(jī)器人迭代學(xué)習(xí)編隊(duì)控制算法，運(yùn)用控制算法自主調(diào)節(jié)跟隨機(jī)器人的實(shí)時(shí)位姿，確保完成從任意初始位置到目標(biāo)位置的多移動(dòng)機(jī)器人編隊(duì)運(yùn)動(dòng)。相較于以上算法，本文設(shè)計(jì)的控制算法能夠?qū)崿F(xiàn)：

（1）領(lǐng)航者和跟隨者經(jīng)過(guò)多次迭代學(xué)習(xí)，能夠在期望航跡上進(jìn)行工作。

（2）初始時(shí)刻在任意位置的跟隨者經(jīng)過(guò)多次迭代學(xué)習(xí)，能夠和領(lǐng)航者一起形成期望的編隊(duì)隊(duì)形。不需要考慮編隊(duì)初始時(shí)刻各個(gè)機(jī)器人之間的位置關(guān)系是否與期望隊(duì)形相同。

2 問(wèn)題描述

2.1 移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

考慮一組由多個(gè)移動(dòng)機(jī)器人組成的隊(duì)列，首先建立每個(gè)移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型[18]，如圖1所示，[x(t)y(t)θ(t)]為t時(shí)刻移動(dòng)機(jī)器人的位姿向量，分別是移動(dòng)機(jī)器人在二維坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)以及前進(jìn)方向與橫軸夾角。[v(t),w(t)] 表示移動(dòng)機(jī)器人的角速度和線(xiàn)速度，即控制輸入向量。

圖1 移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型可表示為：

定義：

則運(yùn)動(dòng)學(xué)模型（1）可以表示為：

式中：

假設(shè)移動(dòng)機(jī)器人的狀態(tài)都是可測(cè)的。

2.2 領(lǐng)航-跟隨型編隊(duì)控制

本文采用領(lǐng)航-跟隨型編隊(duì)控制，選定一個(gè)移動(dòng)機(jī)器人i(i=1)作為整個(gè)系統(tǒng)的領(lǐng)航者，而其余機(jī)器人全部作為跟隨者j(j=1,2,…)，建立領(lǐng)航-跟隨型編隊(duì)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，如圖2 所示，給出了多移動(dòng)機(jī)器人三角形編隊(duì)示意圖。領(lǐng)航者保持期望航跡航行，跟隨者跟蹤編隊(duì)軌跡，并利用領(lǐng)航者的信息調(diào)整自身的位姿狀態(tài)。

利用視距法，計(jì)算出跟隨者的期望位置：

圖2 領(lǐng)航-跟隨型編隊(duì)示意圖

其中：

跟隨者與編隊(duì)期望位置之間的系統(tǒng)誤差表示為：

式中ej(t)=[xe(t)ye(t)θe(t)]T,t∈[0,T]。

本文目的是設(shè)計(jì)合適的控制器，實(shí)現(xiàn)多移動(dòng)機(jī)器人的編隊(duì)問(wèn)題，即為0或者一個(gè)極小值）。

3 控制器設(shè)計(jì)與收斂性分析

針對(duì)上述領(lǐng)航-跟隨型編隊(duì)控制中提出的問(wèn)題，本章提出一種同時(shí)包含編隊(duì)初始位置的學(xué)習(xí)控制律和編隊(duì)形成的學(xué)習(xí)控制律。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，假定一段時(shí)間范圍[0,T]內(nèi)，當(dāng)前的迭代進(jìn)行到k次，則跟隨者j的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型可由式（2）重新表示為：

式中：

系統(tǒng)誤差可由式（5）重新表示為：

根據(jù)移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和實(shí)際編隊(duì)特點(diǎn)，可以給出如下假設(shè)：

假設(shè)1矩陣B(ηj(k,t))對(duì)于ηj(k,t)滿(mǎn)足全局Lipschitz條件，即存在常數(shù)bA，使得下式成立：

假設(shè)2矩陣B(ηj(k,t))有界，即其中bB為正常數(shù)。

假設(shè)3給定的期望位姿，存在控制輸入滿(mǎn)足，且期望控制輸入滿(mǎn)足為正常數(shù)。

注1由于矩陣函數(shù)B(ηj(k,t))中僅包含函數(shù)cosθj(k,t)、sinθj(k,t)，因此，假設(shè)1的Lipschitz條件和假設(shè)2的有界性都是滿(mǎn)足的。假設(shè)3 是多次迭代后系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)跟蹤的必須條件。

3.1 控制器設(shè)計(jì)

利用位姿誤差對(duì)跟隨者j分別設(shè)計(jì)如下速度分量學(xué)習(xí)控制器以及初始位置分量的學(xué)習(xí)控制器：

式中，t∈[0,T]，k為迭代次數(shù)，L為學(xué)習(xí)增益矩陣?？刂破鳎?）能夠?qū)崿F(xiàn)多次迭代學(xué)習(xí)后領(lǐng)航者和跟隨者在期望航跡上進(jìn)行工作?？刂破鳎?）能夠?qū)崿F(xiàn)通過(guò)每次迭代調(diào)整跟隨者j的初始位置。

3.2 收斂性分析

定義定義下列范數(shù)：

其中e(i)(t)是e(t)∈Rm中的第i個(gè)元素，g(i,j)是G∈Rm×m中的第i,j元素，可給出如下定理。

定理對(duì)于滿(mǎn)足假設(shè)1～3的系統(tǒng)式（6），采用式（8）、（9）的控制算法時(shí)，當(dāng)學(xué)習(xí)增益矩陣對(duì)所有的k、t均滿(mǎn)足：

則系統(tǒng)的輸出收斂于期望輸出，即當(dāng)k→∞時(shí)，有η(k,t)→ηd(k,t),t∈[0,T]。

證明由式（6）～（9）得：

由假設(shè)2、假設(shè)3可得：

式（13）兩邊同時(shí)乘以 e-λt，并取范數(shù)，考慮假設(shè)1 中的Lipschitz條件得：

應(yīng)用Bellman-Gromwall引理可得：

4 仿真研究

本章中，采用MATLAB 軟件進(jìn)行仿真，選取3 個(gè)移動(dòng)機(jī)器人進(jìn)行編隊(duì)控制的仿真研究，分別作為領(lǐng)航者、跟隨者1、跟隨者2。采用本文設(shè)計(jì)的編隊(duì)算法（8）、（9）進(jìn)行編隊(duì)，記錄跟隨者在不同初始位置情況下經(jīng)過(guò)多次迭代后形成的編隊(duì)軌跡，若最終領(lǐng)航者和跟隨者能夠?qū)崿F(xiàn)在預(yù)定航跡上以期望隊(duì)形工作，則證明本文設(shè)計(jì)的編隊(duì)控制算法有效。

即在二維平面內(nèi)領(lǐng)航者期望軌跡的初始位置(20,0)。

設(shè)跟隨者1、跟隨者2 在二維平面內(nèi)的初始位置分別為(15,2),(23,-2)，即初始狀態(tài)：

采用三角形編隊(duì)，設(shè)期望編隊(duì)隊(duì)形相對(duì)位置的期望向量分別為：

初始輸入速度信息分別為：

仿真過(guò)程中的采樣時(shí)間取0.001 s。仿真中跟隨者1和跟隨者2控制器的學(xué)習(xí)增益矩陣分別為：

仿真結(jié)果如下，圖3（a）～（c）分別給出了領(lǐng)航者與跟隨者的期望編隊(duì)效果、迭代20次和迭代150次的編隊(duì)效果，其中x、y坐標(biāo)均表示二維平面上的距離。可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，領(lǐng)航者和跟隨者能夠?qū)崿F(xiàn)較為理想的編隊(duì)效果。圖4（a）、（b）反映跟隨者1 和跟隨者2的位姿誤差隨迭代次數(shù)的變化情況，可以看出經(jīng)過(guò)一定次數(shù)的迭代優(yōu)化，各個(gè)跟隨者的位姿跟蹤誤差逐漸收斂到0。

圖3 編隊(duì)效果

為了突出本文控制器不需要考慮機(jī)器人編隊(duì)初始位置的優(yōu)點(diǎn)，圖5 給出了跟隨者1 和跟隨者2 初始位置在二維平面的變化。圖6（a）、（b）分別為跟隨者的初始位置在迭代軸上的變化。以上說(shuō)明基于領(lǐng)航-跟隨型的迭代學(xué)習(xí)編隊(duì)算法，可以精確地實(shí)現(xiàn)編隊(duì)效果。

圖4 各個(gè)跟隨者輸出的最大位姿誤差對(duì)迭代次數(shù)的變化

圖5 跟隨者初始位置在二維平面的迭代變化軌跡

圖6 跟隨者初始位置誤差在迭代軸上的變化

在實(shí)際應(yīng)用中，很難要求移動(dòng)機(jī)器人在編隊(duì)的初始時(shí)刻就位于期望位置，而且每次對(duì)移動(dòng)機(jī)器人重復(fù)定位操作往往會(huì)造成迭代初始位置相對(duì)期望位置的偏移。從圖5和圖6可以看出采用本文設(shè)計(jì)的控制器能夠很好地規(guī)避這一編隊(duì)難點(diǎn)。

為了驗(yàn)證跟隨者任意初始位置對(duì)編隊(duì)效果的影響，改變跟隨者1、跟隨者2的初始位置，假設(shè)初始狀態(tài)分別為：

初始輸入不變：

即在二維平面內(nèi)的跟隨者1和跟隨者2的初始位置分別為(24.3,-3.3)和(13,7)，與原先的初始位置完全不同，仍然選擇三角形編隊(duì)，期望編隊(duì)隊(duì)形相對(duì)位置的期望向量分別為，領(lǐng)航者與跟隨者按照相同的航跡進(jìn)行編隊(duì)，仿真過(guò)程中的采樣時(shí)間仍取0.001 s，采用與上述仿真相同的控制算法（8）、（9）。

仿真結(jié)果如圖7，圖（a）、（b）分別給出了在新的初始位置條件下編隊(duì)的期望軌跡和迭代150次的編隊(duì)效果，可以看出，改變跟隨者的初始位置后，依然能夠利用本文設(shè)計(jì)的控制算法進(jìn)行編隊(duì)。

圖7 跟隨者不同初始位置時(shí)的編隊(duì)效果

由以上仿真結(jié)果可以看出，利用本文設(shè)計(jì)的基于領(lǐng)航-跟隨型迭代學(xué)習(xí)編隊(duì)算法，能夠有效地實(shí)現(xiàn)在任意初始位置條件下多移動(dòng)機(jī)器人的編隊(duì)運(yùn)動(dòng)。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)多移動(dòng)機(jī)器人編隊(duì)運(yùn)動(dòng)中，以往的編隊(duì)方法都是在時(shí)間域上的漸進(jìn)跟蹤控制，本文采用迭代學(xué)習(xí)控制算法來(lái)設(shè)計(jì)編隊(duì)控制器，同時(shí)，為解決傳統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)要求各個(gè)移動(dòng)機(jī)器人的初始位置與期望軌跡初始位置相同這一要求，在算法中加入了對(duì)初始位置的學(xué)習(xí)，設(shè)計(jì)了一種在任意初始位置條件下基于領(lǐng)航-跟隨型的移動(dòng)機(jī)器人迭代學(xué)習(xí)編隊(duì)控制算法，大大提高了迭代學(xué)習(xí)在編隊(duì)控制應(yīng)用中的實(shí)用性和普遍性。理論方面基于壓縮映射方法給出了該算法的收斂性證明。并通過(guò)仿真驗(yàn)證了所提算法的有效性。在系統(tǒng)仿真實(shí)驗(yàn)中，發(fā)現(xiàn)編隊(duì)迭代次數(shù)過(guò)多，但本文主要目的是通過(guò)將迭代學(xué)習(xí)控制應(yīng)用在多移動(dòng)機(jī)器人協(xié)同編隊(duì)控制中，并驗(yàn)證算法的有效性，還未考慮迭代學(xué)習(xí)收斂速度的問(wèn)題，迭代過(guò)程時(shí)間長(zhǎng)短對(duì)實(shí)際工程的影響很大，這也是后續(xù)需要進(jìn)一步研究的問(wèn)題之一。