張 帥，繆東晶，李建雙，鄭繼輝，王國(guó)磊，孔 明，闞英男

(1.中國(guó)計(jì)量大學(xué) 計(jì)量測(cè)試工程學(xué)院，浙江 杭州 310018； 2.中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院，北京 100029；3.清華大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，北京 100084； 4.吉林建筑大學(xué)，吉林 長(zhǎng)春 130118)

1 引 言

隨著大型船舶、航空航天等現(xiàn)代大型裝備制造業(yè)的迅速發(fā)展，對(duì)大尺寸測(cè)量技術(shù)的測(cè)量精度、測(cè)量范圍、測(cè)量效率等提出了更高的要求[1～3]。大尺寸位姿測(cè)量技術(shù)主要有視覺(jué)測(cè)量法[4,5]、三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)法[6,7]及激光跟蹤儀測(cè)量法。視覺(jué)測(cè)量法具有測(cè)量效率高、測(cè)量靈活性好等優(yōu)點(diǎn)，但其測(cè)量精度易受到測(cè)量范圍的影響；大型三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量精度高，但其系統(tǒng)較為復(fù)雜，對(duì)測(cè)量環(huán)境的要求較高[8]；基于激光多邊法的位姿測(cè)量系統(tǒng)具有測(cè)量范圍大、測(cè)量鏈短等優(yōu)點(diǎn)，在可控測(cè)量環(huán)境下容易實(shí)現(xiàn)高精度定位[9]。

系統(tǒng)的測(cè)站點(diǎn)與測(cè)量點(diǎn)的位置關(guān)系是影響激光多邊法的位姿測(cè)量精度的重要因素。Zhuang H Q等[10]定性地提出測(cè)量動(dòng)點(diǎn)應(yīng)遠(yuǎn)離3個(gè)測(cè)站點(diǎn)構(gòu)成的測(cè)量平面，可以避免選擇錯(cuò)誤的坐標(biāo)解，但是沒(méi)有對(duì)測(cè)量點(diǎn)到測(cè)量平面距離與誤差間的關(guān)系進(jìn)行研究;Toshiyuki T等[11]提出，為了限制激光三邊測(cè)量中的測(cè)量誤差，測(cè)量點(diǎn)應(yīng)遠(yuǎn)離由三臺(tái)激光跟蹤儀構(gòu)成的平面以減小測(cè)量誤差，但只是按實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象分析了系統(tǒng)布局的限制條件，沒(méi)有對(duì)系統(tǒng)布局限制條件進(jìn)行量化;范百興[12]提出空間點(diǎn)位精度受測(cè)站點(diǎn)和測(cè)量點(diǎn)之間的空間位置關(guān)系影響較大，并建立了PDOP值仿真計(jì)算模型，給出了PDOP值及點(diǎn)位精度的關(guān)系。

本文首先介紹了一種基于7臺(tái)激光跟蹤干涉儀的大尺寸位姿測(cè)量系統(tǒng)及其自標(biāo)定方式，然后對(duì)兩種跟蹤方式下距離對(duì)測(cè)量誤差的影響進(jìn)行了仿真研究，并直接從坐標(biāo)解算公式出發(fā)，推導(dǎo)了被測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)值與測(cè)量基站之間的相對(duì)位置與測(cè)量誤差數(shù)學(xué)模型，最后通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了兩種跟蹤方式下的系統(tǒng)測(cè)量誤差，為基于激光多邊法的坐標(biāo)測(cè)量系統(tǒng)的優(yōu)化布局方法提供了一種量化的理論分析方法。

2 大尺寸位姿測(cè)量系統(tǒng)及自標(biāo)定

大尺寸位姿測(cè)量系統(tǒng)包括7臺(tái)激光跟蹤干涉儀LT1、LT2、LT3、LT4、LT5、LT6、LT7，用來(lái)同時(shí)跟蹤被測(cè)目標(biāo)上3個(gè)被測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)[13,14]。激光跟蹤干涉儀由德國(guó)Etalon AG公司生產(chǎn)，測(cè)距不確定度U=0.2 μm+0.3 μm/m，測(cè)量范圍約15 m。

7臺(tái)激光跟蹤干涉儀在跟蹤3個(gè)逆反射鏡時(shí)，有兩種跟蹤方式。一種跟蹤方式是：3臺(tái)激光跟蹤干涉儀LT1、LT2、LT3跟蹤逆反射鏡A，2臺(tái)激光跟蹤干涉儀LT4、LT5跟蹤逆反射鏡B，2臺(tái)激光跟蹤干涉儀LT6、LT7跟蹤逆反射鏡C，稱其為322跟蹤方式,圖1是這種方式的跟蹤示意圖。另一種跟蹤方式是：3臺(tái)激光跟蹤干涉儀LT1、LT2、LT3跟蹤逆反射鏡A，3臺(tái)激光跟蹤干涉儀LT4、LT5、LT6跟蹤逆反射鏡B，1臺(tái)激光跟蹤干涉儀LT7跟蹤逆反射鏡C，稱其為331跟蹤方式，圖2是該方式的跟蹤示意圖。

圖1 322跟蹤方式示意圖Fig.1 322 Tracking method diagram

圖2 331跟蹤方式示意圖Fig.2 331 Tracking method diagram

在測(cè)量被測(cè)目標(biāo)的位姿前，需要首先對(duì)測(cè)量系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)行自標(biāo)定[15,16]。為此建立了以下的特殊坐標(biāo)系，圖3是322跟蹤方式特殊坐標(biāo)系的示意圖。

圖3 特殊坐標(biāo)系示意圖Fig.3 Special coordinate system diagram

7臺(tái)激光跟蹤干涉儀的測(cè)量中心為S1，…，S7。設(shè)S1位于坐標(biāo)原點(diǎn)，S2位于x軸，S3位于xOy平面，則S1，…，S7的坐標(biāo)分別為S1(0,0,0)、S2(xS2,0,0)、S3(xS3,yS3,0)、S4(xS4,yS4,zS4)、S5(xS5,yS5,zS5)、S6(xS6,yS6,zS6)、S7(xS7,yS7,zS7)。測(cè)量目標(biāo)在第i個(gè)測(cè)量位置的逆反射鏡光學(xué)中心點(diǎn)為Ai(xAi,yAi,zAi)、Bi(xBi,yBi,zBi)、Ci(xCi,yCi,zCi)。將標(biāo)定好的3個(gè)逆反射鏡光學(xué)之間的距離分別記lAB，lAC，lBC。

在空間中確定一個(gè)位置為被測(cè)目標(biāo)的初始運(yùn)動(dòng)位置，記此時(shí)逆反射鏡的測(cè)量中心點(diǎn)位置A0,B0,C0到對(duì)應(yīng)激光跟蹤干涉儀的距離為l10,…,l70。移動(dòng)被測(cè)目標(biāo)到第i個(gè)測(cè)量位置時(shí)，激光跟蹤干涉儀發(fā)生的距離變化量分別記為Δl1i,…,Δl7i。

根據(jù)7臺(tái)激光跟蹤干涉儀SN(N=1,…,7)與貓眼逆反射鏡P(P=A,B,C)點(diǎn)之間的位置關(guān)系，可列出如下公式：

fi,N=(xPi-xSN)2+(yPi-ySN)2+

(zPi-zSN)2-(lN0+ΔlNi)2

(1)

根據(jù)3個(gè)貓眼逆反射鏡A、B、C點(diǎn)之間的位置關(guān)系，可列出如下公式：

fi,8=(xAi-xBi)2+(yAi-yBi)2+(zAi-zBi)2-lAB2

(2)

fi,9=(xAi-xCi)2+(yAi-yCi)2+(zAi-zCi)2-lAC2

(3)

fi,10=(xBi-xCi)2+(yBi-yCi)2+(zBi-zCi)2-lBC2

(4)

每增加一個(gè)測(cè)量位置，會(huì)增加Ai、Bi、Ci3個(gè)未知點(diǎn)，9個(gè)未知的坐標(biāo)分量，同時(shí)會(huì)增加fi,1，…，fi,1010個(gè)方程，故每增加一個(gè)測(cè)量位置，可以產(chǎn)生一個(gè)冗余方程。需要標(biāo)定的系統(tǒng)參數(shù)包括S1，…，S7中15個(gè)坐標(biāo)分量和l10，…，l70中7個(gè)初始長(zhǎng)度，共22個(gè)參數(shù)。因此,當(dāng)測(cè)量位置數(shù)大于22時(shí)，可解得系統(tǒng)參數(shù)。

3 仿真驗(yàn)證

為了比較兩種跟蹤方式下測(cè)量點(diǎn)與測(cè)站點(diǎn)的位置關(guān)系對(duì)測(cè)量精度的影響，分別進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。圖4為理論位姿平面示意圖。

圖4 理論位姿平面示意圖Fig.4 Theoretical position and plane diagram

創(chuàng)建一個(gè)初始平面AiBiCi，Ai、Bi、Ci3點(diǎn)間距離均為700 mm。在0°到360°的角度范圍內(nèi)，繞平面中心每旋轉(zhuǎn)5°生成一個(gè)理論測(cè)量平面，計(jì)算在第i個(gè)測(cè)量位置時(shí)測(cè)量系統(tǒng)測(cè)得的旋轉(zhuǎn)角度。同時(shí)，計(jì)算出測(cè)量點(diǎn)Bi與測(cè)站點(diǎn)構(gòu)成平面S4S5Ai，測(cè)量點(diǎn)Ci與測(cè)站點(diǎn)構(gòu)成平面S6S7Ai的距離。

激光跟蹤干涉儀的測(cè)距不確定度U=0.2 μm+0.3 μm/m，因故在理論仿真數(shù)據(jù)中加入[0,+U]范圍內(nèi)的噪聲。預(yù)先標(biāo)定好的lAB、lAC和lBC三邊分別加入[-50 μm,50 μm]范圍的隨機(jī)噪聲。

圖5是322跟蹤方式下B、C點(diǎn)到測(cè)站點(diǎn)平面距離與系統(tǒng)測(cè)量誤差的關(guān)系。在測(cè)量角度為145°和325°時(shí)，B點(diǎn)與平面S4S5A距離分別為13.5 mm，7.2 mm，系統(tǒng)測(cè)量誤差分別為227.7″和1 823″。在測(cè)量角度為60°和240°時(shí)，C點(diǎn)與平面S6S7A距離分別為11.7 mm和21.1 mm，系統(tǒng)測(cè)量誤差分別為928.8″和495.4″。

圖5 322跟蹤方式下點(diǎn)與平面之間距離與測(cè)量誤差Fig.5 Distance between point and face and measurement error in 322 tracking mode

圖6是331跟蹤方式下B、C點(diǎn)到測(cè)量平面距離與系統(tǒng)測(cè)量誤差的關(guān)系。在平面ABC旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，B點(diǎn)距離測(cè)站點(diǎn)平面的最小距離為2 499.4 mm，C點(diǎn)距離測(cè)站點(diǎn)平面的最小距離為285.3 mm。系統(tǒng)誤差小于2.8″。

圖6 331跟蹤方式下點(diǎn)與平面之間距離與測(cè)量誤差Fig.6 Distance between point and face and measurement error in 331 tracking mode

對(duì)比兩次仿真實(shí)驗(yàn)，在[0°，360°]范圍內(nèi)進(jìn)行姿態(tài)測(cè)量仿真，采用331跟蹤方式時(shí)，可以使測(cè)量點(diǎn)與測(cè)站點(diǎn)構(gòu)成的平面始終保持較大的距離，避免在一些角度時(shí)出現(xiàn)測(cè)量誤差較大現(xiàn)象。

系統(tǒng)測(cè)量的角度值由被測(cè)點(diǎn)位置計(jì)算得到，被測(cè)點(diǎn)位置由3臺(tái)測(cè)量基站到被測(cè)點(diǎn)的距離計(jì)算得到。在測(cè)量測(cè)站點(diǎn)到被測(cè)點(diǎn)距離時(shí)會(huì)引入測(cè)量誤差，對(duì)系統(tǒng)精度產(chǎn)生影響。通過(guò)推導(dǎo)被測(cè)點(diǎn)位置與測(cè)量誤差的計(jì)算公式，量化分析被測(cè)點(diǎn)位置對(duì)系統(tǒng)精度的影響。

4 被測(cè)點(diǎn)位置與測(cè)量誤差的數(shù)學(xué)模型

圖7 系統(tǒng)布局示意圖Fig.7 System layout diagram

圖7是對(duì)系統(tǒng)標(biāo)定后的布局示意圖。A、B、C為激光跟蹤干涉儀的測(cè)量中心點(diǎn)。以點(diǎn)A為坐標(biāo)系原點(diǎn)，點(diǎn)B位于x軸上，點(diǎn)C位于平面xOy內(nèi)?？臻g中第i個(gè)動(dòng)點(diǎn)的貓眼逆反射鏡光學(xué)中心為Pi(xi,yi,zi)?？臻g中A、B、C到測(cè)量動(dòng)點(diǎn)Pi的距離分別為lPA，lPB，lPC。對(duì)于任一動(dòng)點(diǎn)Pi(xi,yi,zi)和3臺(tái)激光跟蹤干涉儀的測(cè)量中心坐標(biāo)(xi,yi,zi),i=A、B、C，Pi點(diǎn)坐標(biāo)的求解公式為：

(5)

(6)

(7)

由式7～式9解得動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)(xi,yi,zi)為

(8)

(9)

(10)

由式8～式10可得出，影響動(dòng)點(diǎn)測(cè)量精度的因素除了測(cè)站點(diǎn)的坐標(biāo)精度外，還包括測(cè)站點(diǎn)到測(cè)量點(diǎn)之間的距離lPA，lPB，lPC。將式8～式10分別對(duì)lPA求偏導(dǎo)，得到：

(11)

(12)

(13)

分別對(duì)lPB求偏導(dǎo)，得到：

(14)

(15)

(16)

分別對(duì)lPC求偏導(dǎo)，得到：

(17)

(18)

(19)

P點(diǎn)的坐標(biāo)分量dP，p=x、y、z關(guān)于其偏導(dǎo)數(shù)滿足：

(20)

(21)

為了直觀的描述當(dāng)lPA、lPB、lPC3邊測(cè)量長(zhǎng)度變化時(shí)，動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)產(chǎn)生的誤差，建立了以下數(shù)學(xué)模型。如圖8所示，A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0,0)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(3 069,0,0)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(1 645,4 566,0)。P0點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)的初始位置，坐標(biāo)為(-800,3 200,5 200)。

圖8 數(shù)學(xué)模型示意圖Fig.8 Mathematical model diagram

圖9 x、y距離變化與誤差示意圖Fig.9 x,y distance change and error diagram

在此坐標(biāo)系下，過(guò)P0點(diǎn)向測(cè)量平面ABC做垂線，使P0點(diǎn)沿此垂線逐漸靠近平面ABC，得到點(diǎn)集Pi(i=1,2,…,n)。點(diǎn)集Pi的坐標(biāo)為(-800,3 200,zi)，zi的范圍為[0,5 200]。在此坐標(biāo)系中，P0點(diǎn)的z坐標(biāo)即為P0點(diǎn)到平面ABC的距離，圖9為當(dāng)P點(diǎn)由P0點(diǎn)逐漸靠近平面ABC時(shí)，x、y坐標(biāo)的變化情況。圖9顯示，當(dāng)P點(diǎn)由P0點(diǎn)逐漸靠近平面ABC時(shí)，x坐標(biāo)誤差小于0.3 μm，y坐標(biāo)誤差小于0.2 μm。

圖10 z方向距離變化與誤差示意圖Fig.10 z distance change and error diagram

圖10是當(dāng)P點(diǎn)逐漸靠近平面ABC時(shí)，P點(diǎn)z坐標(biāo)誤差的示意圖。在P點(diǎn)與平面ABC的距離 1 300.8 mm 時(shí)，z坐標(biāo)的誤差僅為2.2 μm，在P點(diǎn)與平面ABC的距離0 mm時(shí)，z坐標(biāo)的誤差達(dá)到 2 626.1 μm。

在特殊坐標(biāo)系下，通過(guò)對(duì)P點(diǎn)x、y、z坐標(biāo)誤差的仿真得出以下結(jié)論：當(dāng)測(cè)量點(diǎn)逐漸接近測(cè)站點(diǎn)平面時(shí)，測(cè)量點(diǎn)z坐標(biāo)的誤差、誤差變化率逐漸增大。x、y坐標(biāo)的誤差及誤差變化率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于z坐標(biāo)。在此過(guò)程中，相比于x、y坐標(biāo)，z坐標(biāo)對(duì)于距離變化更加敏感。測(cè)量點(diǎn)與測(cè)站點(diǎn)距離減小時(shí)，z坐標(biāo)誤差增大，使得系統(tǒng)坐標(biāo)誤差增大。

5 測(cè)量系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證322跟蹤方式和331跟蹤方式對(duì)系統(tǒng)精度的影響，采用高精度轉(zhuǎn)臺(tái)分別在兩種跟蹤方式下進(jìn)行了姿態(tài)精度驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)。

圖11是測(cè)量系統(tǒng)儀器布局圖，包括6臺(tái)激光跟蹤干涉儀和1臺(tái)激光跟蹤儀。

圖11 測(cè)量系統(tǒng)儀器布局圖Fig.11 Measuring system instrument layout

如圖12所示，將3個(gè)貓眼逆反射鏡固定在高精度轉(zhuǎn)臺(tái)，并將高精度轉(zhuǎn)臺(tái)放置在穩(wěn)定的大理石平臺(tái)上，用來(lái)驗(yàn)證姿態(tài)角精度。高精度轉(zhuǎn)臺(tái)的分辨率為0.1″，3個(gè)貓眼逆反射鏡之間的距離lAB、lAC、lBC提前標(biāo)定完成。

圖12 姿態(tài)角精度驗(yàn)證圖 Fig.12 Attitude angle accuracy verification chart

實(shí)驗(yàn)1、2、3采用322跟蹤方式，姿態(tài)解算結(jié)果如圖13所示。實(shí)驗(yàn)4、5、6采用331跟蹤方式，姿態(tài)測(cè)量誤差如圖14所示。

圖13 322跟蹤實(shí)驗(yàn)姿態(tài)測(cè)量誤差Fig.13 322 tracking experimental attitude measurement error

圖14 331跟蹤實(shí)驗(yàn)姿態(tài)測(cè)量誤差Fig.14 331 tracking experimental attitude measurement error

圖13顯示，實(shí)驗(yàn)1姿態(tài)誤差最大值為7 496.2″，平均值為338.3″，標(biāo)準(zhǔn)差為1 742.3″;實(shí)驗(yàn)2姿態(tài)誤差最大值為16 121.6″，平均值為324.7″，標(biāo)準(zhǔn)差為2 093.1″;實(shí)驗(yàn)3姿態(tài)誤差最大值為4 653.5″，平均值為53.5″，標(biāo)準(zhǔn)差為893.4″。對(duì)3組實(shí)驗(yàn)的測(cè)量誤差取模后計(jì)算可得，最大值為16 121.6″，平均值為1 143.6″，標(biāo)準(zhǔn)差為1 357.2″。

圖14顯示：實(shí)驗(yàn)4姿態(tài)誤差最大值為-24.4″，平均值為-1.8″，標(biāo)準(zhǔn)差為7.9″;實(shí)驗(yàn)5姿態(tài)誤差最大值為18.9″，平均值為5.2″，標(biāo)準(zhǔn)差為5.8″;實(shí)驗(yàn)6姿態(tài)誤差最大值為-22.6″，平均值為-10.0″，標(biāo)準(zhǔn)差為8.9″。對(duì)3組實(shí)驗(yàn)的測(cè)量誤差取模后計(jì)算可得，最大值為24.4″，平均值為6.4″，標(biāo)準(zhǔn)差為4.9″。

通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析可以得到：采用331跟蹤方式后，測(cè)量誤差最大值由16 121.6″降低到24.4″；誤差平均值由1 143.6″降低到6.4″；標(biāo)準(zhǔn)差由1 357.2″降低到4.9″。實(shí)驗(yàn)證明：采用322跟蹤測(cè)量時(shí)，在一些角度會(huì)出現(xiàn)遠(yuǎn)高于其他角度的測(cè)量誤差，從而嚴(yán)重影響系統(tǒng)測(cè)量精度；采用331跟蹤方式后可以避免這種現(xiàn)象的發(fā)生，姿態(tài)測(cè)量誤差分布在[-24.4″,18.9″]內(nèi),顯著提升了系統(tǒng)的測(cè)量精度。

6 結(jié) 論

提出了322和331兩種激光跟蹤干涉儀跟蹤貓眼逆反射鏡的方式，并對(duì)這兩種跟蹤方式對(duì)測(cè)量系統(tǒng)的精度影響展開(kāi)了研究。仿真結(jié)果顯示：在322跟蹤方式下，當(dāng)測(cè)量點(diǎn)接近測(cè)站點(diǎn)平面時(shí)，會(huì)對(duì)測(cè)量精度產(chǎn)生較大影響；331跟蹤方式下測(cè)量點(diǎn)與測(cè)站點(diǎn)平面始終保持較大距離，從而避免出現(xiàn)較大的測(cè)量誤差。通過(guò)對(duì)坐標(biāo)解算公式進(jìn)行偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，得到了空間內(nèi)被測(cè)點(diǎn)位置與測(cè)量誤差的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型仿真得到了以下結(jié)論：當(dāng)被測(cè)目標(biāo)點(diǎn)靠近多個(gè)測(cè)站點(diǎn)構(gòu)成的測(cè)量平面時(shí)，系統(tǒng)的測(cè)量誤差顯著增大。最后進(jìn)行了姿態(tài)測(cè)量實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示采：用331跟蹤方式時(shí)測(cè)量誤差分布在[-24.4″,18.9″]，有利于提高系統(tǒng)測(cè)量精度，為基于激光多邊法的坐標(biāo)測(cè)量系統(tǒng)的優(yōu)化布局提供了一種可量化的理論分析方法。