謝宜含， 姚建勇

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 江蘇 南京 210094)

引言

傳統(tǒng)的機(jī)電伺服系統(tǒng)存在諸多的不確定性，各類不確定性的存在往往會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生極大的影響，同時(shí)也是提升系統(tǒng)整體性能的關(guān)鍵。這些影響因素的存在對(duì)機(jī)電伺服系統(tǒng)的快速性和抗干擾性提出了更高的要求。已有非線性控制方法盡管可以處理系統(tǒng)的不確定性，但是對(duì)于系統(tǒng)高頻跟蹤的要求較難滿足，而傳統(tǒng)的線性頻寬控制方法又因?yàn)槿狈χ鲃?dòng)補(bǔ)償不確定性的手段而難以達(dá)到高精度控制要求。

現(xiàn)代社會(huì)中，尖端機(jī)械電子設(shè)備的一類發(fā)展方向?yàn)槠涓呔鹊膭?dòng)態(tài)控制，而控制性能指標(biāo)是其中最主要的性能[1-2]。機(jī)電伺服系統(tǒng)的靜態(tài)、準(zhǔn)靜態(tài)高性能控制已經(jīng)得到較好的解決， 然而機(jī)電伺服系統(tǒng)仍存在高動(dòng)態(tài)控制的需求，即高頻下的指令跟蹤問(wèn)題。此時(shí)，系統(tǒng)的難建模高階動(dòng)態(tài)會(huì)被激發(fā)，進(jìn)而與系統(tǒng)固有的非線性、不確定性等耦合，導(dǎo)致非線性控制策略的設(shè)計(jì)更加復(fù)雜與困難。

目前已有的非線性實(shí)驗(yàn)結(jié)果仍然無(wú)法較好地處理機(jī)電伺服系統(tǒng)的高動(dòng)態(tài)控制問(wèn)題，其根本原因在于非線性控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程中忽略了頻寬這一設(shè)計(jì)要素，而一種基于L1自適應(yīng)控制法的跟蹤策略可以實(shí)現(xiàn)非線性控制器與線性頻寬間的一體化設(shè)計(jì)。通過(guò)將低通濾波器引入控制器的方案，L1自適應(yīng)控制法可以解耦系統(tǒng)的快速自適應(yīng)與魯棒性，使系統(tǒng)在實(shí)現(xiàn)快速性的同時(shí)保證良好的魯棒性[3]。正因如此，基于此方法來(lái)設(shè)計(jì)構(gòu)建機(jī)電伺服系統(tǒng)能夠很大程度上保證高動(dòng)態(tài)控制需求。L1自適應(yīng)控制法的概念由CAO Chengyu等[4]提出。一般控制系統(tǒng)的高增益通常會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生振蕩，這也是一般自適應(yīng)控制方法普遍存在的一類問(wèn)題。而新提出的L1自適應(yīng)控制法從結(jié)構(gòu)入手，于控制器中增添低通濾波器環(huán)節(jié)，使得系統(tǒng)控制信號(hào)中的高頻成分得以有效濾除，因此可以有效解決一般自適應(yīng)控制方法中無(wú)法同時(shí)保證高增益下的快速性與盡可能少地產(chǎn)生高頻振蕩的問(wèn)題。

而在對(duì)于機(jī)電伺服系統(tǒng)的信號(hào)處理上，存在一對(duì)微分關(guān)系的信號(hào)。基于此前提的數(shù)據(jù)處理可由對(duì)一組信號(hào)數(shù)值進(jìn)行微分運(yùn)算，從而得到系統(tǒng)所需的一對(duì)相關(guān)信號(hào)。一般情況下，信號(hào)處理中的微分運(yùn)算可以直接通過(guò)數(shù)值差分法得出。然而，各類控制系統(tǒng)中的信號(hào)都存在噪聲和不連續(xù)，很難完成微分計(jì)算。針對(duì)此情況，韓京清[5]于1994年提出了非線性跟蹤微分器的概念，利用數(shù)值積分優(yōu)于數(shù)值微分的狀況，將給定信號(hào)的微分轉(zhuǎn)化為一組微分方程的積分問(wèn)題，以完成信號(hào)的跟蹤及微分。此后文獻(xiàn)[6]進(jìn)一步提出的離散形式的跟蹤微分器，不僅可以消除顫振，并且具備良好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)和較高的穩(wěn)態(tài)精度，非常適合于機(jī)電伺服系統(tǒng)的信號(hào)處理與速度估計(jì)[7-12]。

本研究基于L1自適應(yīng)控制方法與離散形式跟蹤微分器設(shè)計(jì)機(jī)電伺服系統(tǒng)控制律，并經(jīng)過(guò)仿真驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制律的魯棒性與快速性，驗(yàn)證了跟蹤微分器的信號(hào)提取能力，提高了系統(tǒng)的抗干擾能力。

1 機(jī)電伺服系統(tǒng)

1.1 機(jī)電伺服系統(tǒng)物理模型

所考慮的機(jī)電伺服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。本研究考慮的為伺服電動(dòng)機(jī)直接驅(qū)動(dòng)慣性負(fù)載的直流電機(jī)，其目的是使慣性負(fù)載盡可能地跟蹤任何平滑的運(yùn)動(dòng)軌跡。

圖1 機(jī)電伺服系統(tǒng)

通常，驅(qū)動(dòng)的動(dòng)態(tài)部分可分為內(nèi)部電氣和外部機(jī)械2個(gè)子系統(tǒng)。由于自身的固有屬性，外部的機(jī)械子系統(tǒng)相較于內(nèi)部的電氣系統(tǒng)而言動(dòng)態(tài)響應(yīng)較慢。因此，控制系統(tǒng)的整體表現(xiàn)由外部的機(jī)械子系統(tǒng)決定。系統(tǒng)的方程可表示如下[13-14]：

(1)

(2)

其中，l1和l2代表不同的摩擦力；s1，s2,s3代表了各類摩擦效應(yīng)的系數(shù)。

1.2 機(jī)電伺服系統(tǒng)狀態(tài)空間描述

基于式(1)、式(2)的機(jī)電伺服系統(tǒng)物理模型，可以將系統(tǒng)狀態(tài)空間模型表述如下：

(3)

其中,x=[x1,x2]T為機(jī)電伺服系統(tǒng)的狀態(tài)和速度向量；設(shè)置參數(shù)集τ=[τ1,τ2,τ3,τ4,τ5]T，其中τ1=m/Ki，τ2=l1/Ki,τ3=B/Ki,τ4=dn/Ki，τ5=l2/Ki；并且d(x,t)=f(x,t)/Ki-dn/Ki；Sf(x2)=tanh(s1x2)；pf(x2)=tanh(s2x2)-tanh(s3x2)，τ4中的dn為總摩擦系數(shù)，使得所設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制律通過(guò)f(x,t)的緩慢變化保證跟蹤性能[16]。

系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不確定性通常由系統(tǒng)參數(shù)變化造成，例如機(jī)電伺服系統(tǒng)中的參數(shù)m,Ki,l1,l2,B以及dn。而由于系統(tǒng)組成、工作條件以及環(huán)境的差異，參數(shù)集τ可視為結(jié)構(gòu)不確定性。

在此基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步將系統(tǒng)的狀態(tài)空間表述為：

τ2tanh(s1x2)-τ5(tanh(s2x2)-

tanh(s3x2))-τ4-d(x,t))

(4)

其中的e,f均為已知可變常值，隨系統(tǒng)參數(shù)值變化而變化，以獲得最佳控制效果。上述表達(dá)式(4)與L1自適應(yīng)控制器的系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)相同。

2 L1自適應(yīng)控制器

2.1 L1自適應(yīng)控制器的設(shè)計(jì)

L1自適應(yīng)控制系統(tǒng)由被控對(duì)象、狀態(tài)預(yù)測(cè)器、控制器和自適應(yīng)律4部分組成[17-18]。其中狀態(tài)預(yù)測(cè)器用于估計(jì)模型的狀態(tài)和變化；自適應(yīng)律為用于估計(jì)參數(shù)；控制器采用補(bǔ)充低通濾波器的結(jié)構(gòu)。根據(jù)給定的跟蹤信號(hào)，L1自適應(yīng)控制器按照給出的自適應(yīng)律實(shí)時(shí)調(diào)整控制量，最后通過(guò)控制器中的低通濾波器對(duì)控制量的高頻分量進(jìn)行濾波，以實(shí)現(xiàn)既定性能。

1) 被控對(duì)象

(5)

其中,x(t)∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)向量(可測(cè)量)；u(t)∈R是控制輸入；y(t)∈R為系統(tǒng)輸出；b,c∈Rn為已知的常數(shù)向量；Am∈Rn×n是一個(gè)已知的Hurwitz矩陣，并要求滿足閉環(huán)動(dòng)態(tài)特性；ω∈R為一個(gè)含有已知符號(hào)的未知常量；θ(t)∈Rn為一個(gè)含有未知參數(shù)的時(shí)變矢量；σ(t)∈R為時(shí)變干擾。

2) 狀態(tài)預(yù)測(cè)器

(6)

3) 自適應(yīng)律

(7)

4) 控制器

將控制器的輸出作為系統(tǒng)的控制輸入：

(8)

而若要使L1自適應(yīng)控制器穩(wěn)定，需要滿足穩(wěn)定性條件：

(9)

通過(guò)式(5)～式(7)所定義的L1自適應(yīng)控制器需要滿足以下范數(shù)條件：

(10)

只有滿足方程式(10)的條件，才能確保所述系統(tǒng)的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能的一致有界性。

L1自適應(yīng)控制器結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 L1自適應(yīng)控制器結(jié)構(gòu)圖

2.2 L1自適應(yīng)控制器穩(wěn)定性分析

文獻(xiàn)[19]中指出，根據(jù)被控對(duì)象(5)以及狀態(tài)預(yù)測(cè)器(6)可以得到如下系統(tǒng)動(dòng)態(tài)誤差：

(11)

選取Lyapunov函數(shù)：

(12)

對(duì)其求導(dǎo)后化簡(jiǎn)，可通過(guò)自適應(yīng)律中的投影算子得到：

(13)

(14)

(15)

綜合上式可得：

(16)

那么，如果存在：

(17)

其中：

(18)

從而：

(19)

(20)

可得：

(21)

通過(guò)式(21)可得，狀態(tài)量的跟蹤誤差收斂，并無(wú)限趨近于數(shù)值零的一個(gè)范圍內(nèi)。同時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)誤差與自適應(yīng)增益Γ呈負(fù)相關(guān)。

3 跟蹤微分器

為了實(shí)現(xiàn)L1控制器，需要得到存在輕微噪聲干擾的位移信號(hào)和速度信號(hào)。而通過(guò)以下的跟蹤微分器，可盡可能快地獲得所需要的信號(hào)。下式中，跟蹤微分器以離散的形式給出[20]：

X1(i+1)=X1(i)+TX2,X2(i+1)=X2(i)+Tfhan

(22)

其中：

(23)

(24)

其中,R為速率限制參數(shù)；h為積分步長(zhǎng)，并可以通過(guò)選擇與采樣頻率T不同的數(shù)值來(lái)抑制噪聲；v為輸入信號(hào)；X1,X2為跟蹤微分器的輸出信號(hào)。在文獻(xiàn)[21-22]中可以找到對(duì)于上述跟蹤微分器穩(wěn)定性的討論，其結(jié)果表明，輸出信號(hào)X1能夠很好地跟蹤輸入信號(hào)v，而輸出信號(hào)X2可以跟蹤輸入信號(hào)v關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。因此，算法式(22)被稱為跟蹤微分器。

在接下來(lái)的仿真中將利用上述的跟蹤微分器，將系統(tǒng)的輸出x1應(yīng)用到跟蹤微分器，即可得到其關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)x2，即系統(tǒng)所需的狀態(tài)x1和x2。

4 系統(tǒng)仿真

4.1 常值期望指令下的控制效果

自適應(yīng)控制的輸入形式如下：

D(s)=(0.00002s+0.009)/(0.001s2+0.05s+1.45)

其標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)式中參數(shù)選取如下：

θ=[400 1.4-τ3]T=[400 -98.6]T

針對(duì)研究的機(jī)電伺服系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型，以目前使用廣泛的PID控制器為參考，綜合考慮控制器的快速性、魯棒性以及合理的控制輸入量，將其參數(shù)設(shè)置為：

KP=47.16,KI=24.91,KD=-5.49

針對(duì)外加時(shí)變干擾的情況，將設(shè)計(jì)的L1自適應(yīng)控制與PID控制律進(jìn)行對(duì)比仿真可得，圖3為系統(tǒng)存在時(shí)變干擾時(shí)的L1自適應(yīng)控制與PID控制對(duì)比效果曲線，圖4為L(zhǎng)1自適應(yīng)控制器與PID控制器的控制輸入隨時(shí)間變化情況，圖5為L(zhǎng)1控制器中參數(shù)估計(jì)的時(shí)變情況，圖6為跟蹤微分器的跟蹤效果圖。

從圖3～圖6可得出，系統(tǒng)輸出能快速跟蹤上參考輸入；控制輸入在一定范圍內(nèi)一致有界；參數(shù)估計(jì)一致有界；跟蹤微分器可從測(cè)量信號(hào)中合理提取連續(xù)信號(hào)及微分信號(hào)。L1自適應(yīng)控制器保證了系統(tǒng)在不確定的高頻時(shí)變擾動(dòng)下具有一致且光滑的暫態(tài)特性，當(dāng)自適應(yīng)增益適當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)誤差較小。通過(guò)將L1自適應(yīng)控制器與MATLAB自整定的PID控制器進(jìn)行對(duì)比可得：L1自適應(yīng)控制器引入的狀態(tài)預(yù)測(cè)器能夠更有效地識(shí)別外界干擾，快速跟蹤輸入誤差，具有良好的魯棒性。L1自適應(yīng)算法獨(dú)特之處在于能夠有效識(shí)別不確定參數(shù)并具備良好抗干擾能力。相比于圖4中PID控制器，L1自適應(yīng)控制器只需要較少的輸入量即可達(dá)到同PID控制相同甚至更好的效果。

圖3 L1控制器與PID控制器常值跟蹤效果對(duì)比圖

圖4 L1控制器與PID控制器控制輸入隨時(shí)間變化情況

圖5 L1控制器參數(shù)估計(jì)隨時(shí)間變化曲線

圖6 跟蹤微分器效果圖

為保證仿真結(jié)論的合理性與普適性，除對(duì)比控制器常值跟蹤效果外，補(bǔ)充2種時(shí)變信號(hào)期望指令下的控制效果與控制輸入對(duì)比效果。

4.2 正弦信號(hào)期望指令下的控制效果

其標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)式中參數(shù)選取如下：

其余參數(shù)保持與4.1中一致。仿真結(jié)果如圖7～圖9所示。

圖7～圖9分別為系統(tǒng)在正弦信號(hào)期望指令下的跟蹤效果、跟蹤誤差及控制輸入對(duì)比圖。與常值信號(hào)仿真結(jié)果相比仍可得普適性結(jié)論，即保證一定范圍內(nèi)控制輸入量時(shí)，L1自適應(yīng)控制器只需要較少的輸入量即可達(dá)到同PID控制相同甚至更好的效果。

圖7 L1控制器與PID控制器正弦信號(hào)跟蹤效果對(duì)比圖

圖8 L1控制器與PID控制器正弦信號(hào)跟蹤誤差對(duì)比圖

圖9 L1控制器與PID控制器正弦信號(hào)控制輸入對(duì)比圖

4.3 方波信號(hào)期望指令下的控制效果

選取方波信號(hào)參考輸入為：

其余參數(shù)保持與4.1中一致。仿真結(jié)果如圖10～圖12所示。

圖10 L1控制器與PID控制器方波信號(hào)跟蹤效果對(duì)比圖

圖11 L1控制器與PID控制器方波信號(hào)跟蹤誤差對(duì)比圖

圖12 L1控制器與PID控制器方波信號(hào)控制輸入對(duì)比圖

圖10～圖12分別為系統(tǒng)在方波信號(hào)期望指令下的跟蹤效果、跟蹤誤差及控制輸入對(duì)比圖。其仿真結(jié)果與上述兩類期望指令下的結(jié)果具有一致性，即時(shí)變信號(hào)期望指令下的控制效果L1自適應(yīng)控制器仍更優(yōu)于PID控制器。

綜合以上3類期望指令下的仿真結(jié)果可得出，對(duì)于機(jī)電伺服系統(tǒng)采用基于L1的自適應(yīng)控制方法后，其跟蹤精度較高，動(dòng)態(tài)響應(yīng)快。在干擾力矩的影響下，系統(tǒng)的位置響應(yīng)誤差仍能滿足系統(tǒng)靜態(tài)跟蹤要求?？梢姡琇1自適應(yīng)控制法能夠快速地實(shí)現(xiàn)位置跟蹤，具有良好的魯棒性。

5 結(jié)論

本研究采用了L1自適應(yīng)控制理論設(shè)計(jì)了機(jī)電伺服系統(tǒng)的控制器，得到了如下結(jié)論：

(1) 將線性頻寬與非線性控制器以一體化設(shè)計(jì)相結(jié)合，采用基于L1自適應(yīng)控制的理論應(yīng)用于機(jī)電伺服系統(tǒng)，并證明該方法的有效性，系統(tǒng)調(diào)節(jié)誤差收斂；

(2) 通過(guò)快速跟蹤微分器，以離散化的形式合理地提取連續(xù)信號(hào)及微分信號(hào)，同時(shí)有效抑制噪聲放大特性；

(3) 本研究設(shè)計(jì)的控制器能較好地實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的性能跟蹤，同時(shí)具備較高的系統(tǒng)跟蹤精度。其次，控制裝置通過(guò)引入頻寬的設(shè)計(jì)進(jìn)一步簡(jiǎn)化，為高性能的電機(jī)伺服系統(tǒng)研究奠定了較好的基礎(chǔ)。