◇ 王學(xué)強

從近幾年的高考試題來看，高考對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查已經(jīng)從直接利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(或利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的極值、最值問題)轉(zhuǎn)變成利用求導(dǎo)的方法證明不等式，探求參數(shù)的取值范圍，解決函數(shù)的零點、方程根等，甚至要求在某不等式成立的條件下，求某一參數(shù)或某兩個參數(shù)構(gòu)成的代數(shù)式的最值．

1 利用求導(dǎo)的方法證明函數(shù)不等式

突破策略1差函數(shù)法

證明函數(shù)不等式f(x)＞g(x)，可證f(x)－g(x)＞0，令h(x)＝f(x)－g(x)，或令h(x)為f(x)－g(x)表達(dá)式的某一部分，利用導(dǎo)數(shù)證明hmin(x)＞0．如果h(x)沒有最小值，那么可以先利用導(dǎo)數(shù)確定出h(x)的單調(diào)性，再分析h(x)與0的關(guān)系．若h′(x)＞0，則h(x)在(a，b)上是增函數(shù)，若h(a)≥0，則當(dāng)x∈(a，b)時，有h(x)＞0，即f(x)＞g(x)．

例1設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx－x＋1．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)證明當(dāng)x∈(1，＋∞)時

(3)設(shè)c＞1，證 明 當(dāng)x∈(0，1)時，1＋(c－1)x＞cx．

(1)由題設(shè)可知，f(x)的定義域為(0，＋∞)，，令f′(x)＝0，解得x＝1．

當(dāng)0＜x＜1時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x＞1時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減．

(2)由(1)可知，函數(shù)f(x)在x＝1處取得最大值，最大值為f(1)＝0，所以當(dāng)x≠1時，lnx＜x－1．故當(dāng)x∈(1，＋∞)時，

即

(3)由題設(shè)c＞1，設(shè)g(x)＝1＋(c－1)x－cx，則

令g′(x)＝0，解得

當(dāng)x＜x0時，g′(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x＞x0時，g′(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減．由(2)知c，故0＜x0＜1，又g(0)＝g(1)＝0，故當(dāng)0＜x＜1時，g(x)＞0．所以當(dāng)x∈(0，1)時，1＋(c－1)x＞cx．

突破策略2求最值法

求最值法證明函數(shù)不等式依據(jù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)有兩種不同的證明方法:

1)要證f(x)≥h(x)，可令φ(x)＝f(x)－h(huán)(x)，只需證明φmin(x)≥0；

2)要證f(x)≥h(x)，可證fmin(x)≥hmax(x)；有時，要證f(x)＞h(x)，可引入g(x)，使得f(x)＞g(x)，然后再證明gmin(x)＞hmax(x)．

選用哪種方法要看用哪種方法構(gòu)造出的函數(shù)的最值易求得．

例2已知函數(shù)

(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e2]上的最值；

(2)證明:對任意n∈N?，不等式都成立(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))．

突破策略3設(shè)導(dǎo)函數(shù)零點法

若使用策略1或策略2解答中遇到方程f′(x)＝0不易求解，或無法解出導(dǎo)函數(shù)的零點x0時，可利用函數(shù)零點存在性定理設(shè)出導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的零點x0，再判斷導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a，x0)，(x0，b)的正負(fù)情況，從而判斷出f(x)在x0處取得最值，求出最值，并通過對最值的處理消去x0使問題得到解決．

例3設(shè)函數(shù)f(x)＝e2x－alnx．

(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點的個數(shù)；

(2)證明:當(dāng)a＞0時

(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，

當(dāng)a≤0時，f′(x)＞0恒成立，f′(x)沒有零點；當(dāng)a＞0時，因為y＝e2x在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，y＝內(nèi)單調(diào)遞增，所以f′(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增．又f′(a)＞0，假設(shè)存在b滿足0＜b＜時，f′(b)＜0，故當(dāng)a＞0時，f′(x)存在唯一零點．

(2)設(shè)f′(x)在(0，＋∞)的唯一零點為x0，當(dāng)x∈(0，x0)時，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時，f′(x)＞0．故f(x)在(0，x0)內(nèi)單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝x0時，f(x)取得最小值，最 小 值 為f(x0)．由 于所以．故當(dāng)a＞0時

2 有限制條件的求參數(shù)范圍問題

突破策略1分離參數(shù)法

已知不等式在某一區(qū)間上恒成立，求參數(shù)的取值范圍，一般先分離參數(shù)再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，即f(x)≥g(k)?fmin(x)≥g(k)，

f(x)≤g(k)?fmax(x)≤g(k)．

例4已知函數(shù)f(x)＝a(tanx＋1)－ex．

(1)若f(x)在x＝0處的切線經(jīng)過點(2，3)，求a的值；

(2)由f(x)≥0，得令，則當(dāng)時，g′(x)＞0；當(dāng)時，g′(x)＜0．所以g(x)的最大值為故所求a的取值范圍是

突破策略2分類討論法

當(dāng)不等式中的參數(shù)無法分離或含參不等式中左、右兩邊的函數(shù)具有某些不確定元素時，需應(yīng)用分類討論的方法來處理，使求參數(shù)的范圍轉(zhuǎn)換成討論參數(shù)在哪些范圍能使不等式成立．

例5已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．

(1)當(dāng)a＝4時，求曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程；

(2)當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f(x)＞0，求a的取值范圍．(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)．當(dāng)a＝4時，．曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程為2x＋y－2＝0．

(2)當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f(x)＞0等價于lnx－設(shè)，則

當(dāng)a≤2，x∈(1，＋∞)時，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，因此g(x)＞0．

當(dāng)a＞2時，令g′(x)＝0，得x1＝a－1－和x1x2＝1，得x1＜1，故當(dāng)x∈(1，x2)時，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)內(nèi)單調(diào)遞減，因此g(x)＜g(1)＝0．

綜上，a的取值范圍是(－∞，2]．

突破策略3求函數(shù)最值法

若等式兩邊變量不同的函數(shù)不等式恒成立，求不等式中的參數(shù)范圍常用求函數(shù)最值法求解．

若對?x1∈I1，?x2∈I2，f(x1)＞g(x2)恒成立，則fmin(x)＞gmax(x)．

若對?x1∈I1，?x2∈I2，使得f(x1)＞g(x2)，則fmin(x)＞gmin(x)．

若對?x1∈I1，?x2∈I2，使得f(x1)＜g(x2)，則fmax(x)＜gmax(x)．

例6設(shè)

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

當(dāng)x變化時，g′(x)，g(x)隨x變化情況，如表1．

表1

由上表，可知

綜上，a≥1．

3 判斷、證明或討論函數(shù)零點個數(shù)

突破策略1求導(dǎo)與數(shù)形結(jié)合法

研究函數(shù)零點或方程根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，并借助函數(shù)的大致圖象判斷函數(shù)零點或方程根的情況．其基本的思路為:1)構(gòu)造函數(shù)并求其定義域；2)求導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)區(qū)間和極值點；3)通過數(shù)形結(jié)合挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點情況進(jìn)而求解．

例7函數(shù)f(x)＝(ax2＋x)ex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．

(1)當(dāng)a＞0時，解不等式f(x)≤0；

(2)當(dāng)a＝0時，求整 數(shù)t的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[t，t＋1]上有解．(1)因為ex＞0，所以不等式f(x)≤0等價于ax2＋x≤0．又因為a＞0，所以不等式可化為，所以不等式f(x)≤0的解集為

(2)當(dāng)a＝0時，方程f(x)＝x＋2即為xex＝x＋2．因為ex＞0，所以x＝0不是方程的解，所以原方程等價于

又h(1)＝e－3＜0，

所以方程f(x)＝x＋2有且只有2個實數(shù)根且分別在區(qū)間[1，2]和[－3，－2]上，所以整數(shù)t的所有值為{－3，1}．

突破策略2分類討論法

1)如果函數(shù)中沒有參數(shù)，那么可以直接一階求導(dǎo)得出函數(shù)的極值點判斷極值點大于0和小于0的情況，進(jìn)而判斷函數(shù)零點的個數(shù)；

2)如果函數(shù)中含有參數(shù)，那么一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)往往不好判斷，這時要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，判斷導(dǎo)數(shù)的符號．如果分類后也不容易判斷．那么需要對一階導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行再次求導(dǎo)，在判斷二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)時，可能也需要分類．

例8已知函數(shù)(a∈R)．

(1)當(dāng)a＝－1時，求函數(shù)f(x)的最小值；

(2)當(dāng)a≤1時，討論函數(shù)f(x)的零點個數(shù)．

(1)函數(shù)f(x)的定義域為{x|x＞0}，當(dāng)a＝

當(dāng)0＜a＜1時，x∈(0，a)時，f′(x)＞0，f(x)為增函數(shù)；x∈(a，1)時，f′(x)＜0，f(x)為減函數(shù)；x∈(1，＋∞)時，f′(x)＞0，f(x)為增函數(shù)．所以f(x)在x＝a處取得極大值，f(x)在x＝1處取得極小值．

當(dāng)0＜a＜1時，f(a)＜0，即當(dāng)x∈(0，1)時，f(x)＜0．而f(x)在x∈(1，＋∞)時為增函數(shù)，且x→＋∞時，f(x)→＋∞，所以此時f(x)有1個零點．

當(dāng)a＝1時在(0，＋∞)內(nèi)恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)．且x→0(從右側(cè)趨近于0)時，f(x)→－∞；x→＋∞時，f(x)→＋∞，所以f(x)有1個零點．

綜上所述，當(dāng)0≤a≤1或時，f(x)有1個零點；當(dāng)時，f(x)無零點；當(dāng)時，f(x)有2個零點．

4 專題總結(jié)

1)求解時，常常將不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；將證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與最值問題；將方程的求解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題、兩個函數(shù)圖象的交點問題等．

2)關(guān)于函數(shù)求導(dǎo)問題，在討論函數(shù)單調(diào)性時，如果導(dǎo)函數(shù)值的符號不容易確定，那么一般是對導(dǎo)函數(shù)再次求導(dǎo)判斷出導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性通過導(dǎo)函數(shù)的零點來確定導(dǎo)函數(shù)值的符號，從而判斷出原函數(shù)的單調(diào)性；利用求導(dǎo)的方法可求出某一函數(shù)的最值，如果求出的最值仍然是含有變量的表達(dá)式，那么確定這一表達(dá)式的最值時仍然需要求導(dǎo)．

3)“恒成立”與“存在性”問題的求解是“互補”關(guān)系，即f(x)≥g(a)對于x∈D恒成立應(yīng)求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立應(yīng)求f(x)的最大值．

4)所求問題如何轉(zhuǎn)化成能利用導(dǎo)數(shù)解決的問題是關(guān)鍵．直接利用導(dǎo)數(shù)解決的問題一個是函數(shù)的單調(diào)性，一個是函數(shù)的極值或最值，所以應(yīng)將具體問題通過等價轉(zhuǎn)換(或構(gòu)造函數(shù))，使所求問題轉(zhuǎn)化成與單調(diào)性或函數(shù)的極值、最值有關(guān)的問題．