趙 瑜

(江蘇信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)課部，江蘇 無錫 214153)

0 引言

壓鑄成型是一種利用高壓強(qiáng)制將金屬熔液壓入形狀復(fù)雜的金屬模具內(nèi)的一種先進(jìn)的精致鑄造法[1]，其被廣泛于機(jī)械、電子、輕工、國防等領(lǐng)域，壓鑄成型主要包括壓鑄模、壓鑄設(shè)備和壓鑄工藝3大要素[2]。壓鑄成型工藝參數(shù)的選擇對鑄件成型質(zhì)量有著直接的影響[3]。在成型過程，模具的失效70%是由熱疲勞導(dǎo)引起[4]，因此，為解決壓鑄成型工藝參數(shù)對模具熱疲勞的影響，降低集中熱應(yīng)力，本文提出了一種基于代理模型的方法來建立壓鑄成型工藝參數(shù)與鑄件模具熱應(yīng)力之間的關(guān)系；常用的代理模型有Kriging[5]，響應(yīng)面[6]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[7]，支持向量機(jī)[8]等， 本文采用Kriging算法建立壓鑄成型工藝參數(shù)與模具熱疲勞應(yīng)力之間的數(shù)學(xué)模型，同時(shí)為提高Kriging代理模型的精度，采用量子粒子群算法對Kriging代理模型的變差函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，提高Kriging建立壓鑄成型工藝參數(shù)與模具熱應(yīng)力之間數(shù)學(xué)模型精度，從而為壓鑄成型工藝參數(shù)優(yōu)化提供更加精確的數(shù)學(xué)模型，基于建立的數(shù)學(xué)模型可采用相應(yīng)的智能優(yōu)化算法對其優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)壓鑄成型工藝參數(shù)與熱應(yīng)力之間的最佳匹配；降低熱應(yīng)，延長模具壽命，提高零件的成形質(zhì)量。

1 克里金代理模型

Kriging模型處理非線性擬合問題時(shí)，可較容易獲得理想的擬合結(jié)果。Kriging將擬擬合函數(shù)視為是某個(gè)靜態(tài)隨機(jī)過程的具體實(shí)現(xiàn)，即對于任意位置的x，對應(yīng)的函數(shù)值Y(x)被一個(gè)隨機(jī)函數(shù)y(x)代替，而y(x)只是Y(x)的可能結(jié)果之一。其插值結(jié)果為已知樣本函數(shù)響應(yīng)值的線性加權(quán)，即：

(1)

式中：fj(x) ——函數(shù)(多項(xiàng)式)；βj——相對應(yīng)的系數(shù)；Z(x) ——靜態(tài)隨機(jī)過程，其滿足均值為0，方差為σ2。

設(shè)計(jì)空間內(nèi)不同兩點(diǎn)處所對應(yīng)的隨機(jī)變量間的協(xié)方差定義如下：

Cov[Z(xi)，Z(xj)]=σ2R(xi，xj)

(2)

(3)

式中：R(xi，xj) ——相關(guān)性函數(shù)，它表針不同位置處隨機(jī)變量之間的相關(guān)性，常用的相關(guān)性函數(shù)為高斯型函數(shù)。

Kriging預(yù)測模型的近似表達(dá)式為：

(4)

式(3)中的θ為Kriging模型的超參數(shù)，它可以通過極大似然估計(jì)法求解優(yōu)化問題來確定：

(5)

2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)及響應(yīng)

2.1 鋁合金壓鑄成型工藝參數(shù)及水平

參考文獻(xiàn)[4]，以采用AL365材料壓鑄的咖啡機(jī)頂蓋為列，研究鋁合金壓鑄澆注溫度 、模具溫度 、充填速度和壓射比壓成型工藝參數(shù)對模具熱應(yīng)力的影響，工藝參數(shù)(澆注溫度、模具溫度、充填速度和壓射比壓)的取值范圍及其水平(每個(gè)因素取4水平)如表1所示。

表1 鋁合金壓鑄成型工藝參數(shù)范圍與水平表

2.2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)及其響應(yīng)

參考文獻(xiàn)[4]，本文采用正交試驗(yàn)對表1中進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)及響應(yīng)如表2、表3所示，其中，表2用于訓(xùn)練Kriging模型，用于測試建立的模型的精度。

表2 正交試驗(yàn)及其響應(yīng)(訓(xùn)練集)

表2(續(xù))

表3 正交試驗(yàn)及其響應(yīng)(測試集)

3 基于QPSO算法的預(yù)測模型改進(jìn)

標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法粒子的速度和位置更新公式為：

Vi，j(t+1)=w(t)Vi，j(t)+c1r1[Pi，j(t)-Xi，j(t)]+c2r2[Pg，j(t)-Xi，j(t)]

(6)

Xi，j(t+1)=Xi，j(t)+Vi，j(t+1)

(7)

上式中，*i，j(t)，*=V，P，X等表示第t次迭代粒子i第j維*分量；c1，c2為加速度常數(shù)，用于調(diào)整學(xué)習(xí)步長，r1，r2為[0，1]之間的隨機(jī)數(shù)。Vi，j一般在限制在[Xmin，Xmax]。

令φi，j(t)=c1(t)r1，j(t)/[c1(t)r1，j(t)+c2(t)r2，j(t))]，取c1=c2，因此有φi，j(t)～U(0，1)，1≤j≤N，則粒子收斂時(shí)以點(diǎn)pi(t)=(pi，l(t)，pi，2(t)，…，pi，N(t))為吸引且pi(t)為Pbest和gbest間的隨機(jī)值，其表達(dá)式為：

Pi，j(t)=φi，j(t)Pi，j(t)+(1-φi，j(t))Pi，j(t)

(8)

在迭代過程中，粒子不斷的靠近并最終到達(dá)點(diǎn)pi。因此，在迭代過程時(shí)，如果存在著一種勢能(吸引勢)在引導(dǎo)粒子向著pi點(diǎn)靠近，從而保證了整個(gè)粒子群體的聚集性，而不會趨向無窮大。

具有量子行為的粒子群算法的位置更新方程表達(dá)式為：

(9)

本文中采用Li，j(t)=2α|Cj(t)-Xi，j(t)，α為擴(kuò)張—收縮因子，QPSO方程可轉(zhuǎn)換為：

Xi，j(t+1)=pi，j(t)±α|Cj(t)-Xi，j(t)|ln(1/ui，j(t))，ui，j(t)～U(0，1)

(10)

pi，j(t)=Pg，j(t)+φi，j(t)[Pi，j(t)-Pg，j(t)]

(11)

(12)

4 數(shù)值仿真

利用MATLAB數(shù)字仿真軟件，分別利用Kriging和基于QPSO算法改進(jìn)的kriging算法建立壓鑄成型模具熱疲勞應(yīng)力預(yù)測模型，優(yōu)化前后的相關(guān)系數(shù)(R2)均方根誤差(RMSE)以及相對最大絕對誤差(RMAE)評價(jià)指標(biāo)情況如表4所示。

表4 優(yōu)化前后評價(jià)指標(biāo)情況

從表4中可以看出，本文所提出的基于量子粒子群算法改進(jìn)Kriging算法后，Kriging代理模型精度評價(jià)指標(biāo)R2提高了9.4741%，越接近于1全局近似能力提升，RMSE降低了82.3207%，接近于0，預(yù)測值與真實(shí)值之間的偏離程度越小，RMAE降低了84.9139%，減少了模型的局部誤差；綜合來看，采用基于量子粒子群算法改進(jìn)Kriging算法，提升了Kriging算法的擬合能力和精度。

利用Kriging和基于量子粒子群算法改進(jìn)Kriging算法建立的工藝參數(shù)與控制量之間的預(yù)測模型預(yù)測結(jié)果分別如圖1、圖2所示，預(yù)測殘差圖如圖3、圖4所示。

圖1 基于Kriging模型的預(yù)測結(jié)果 圖2 基于QPSO-Kriging模型的預(yù)測結(jié)果

圖3 基于Kriging模型的預(yù)測殘差圖 圖4 基于QPSO-Kriging模型的預(yù)測殘差圖

從圖1-圖4可以看出，改進(jìn)后的Kriging模型的預(yù)測誤差更小，由原來的[-2，10]優(yōu)化為[-2，1]之間，提高了Kriging模型的擬合精度，建立了壓鑄工藝參數(shù)與控制量之間的更加精確數(shù)學(xué)模型，為工藝參數(shù)優(yōu)化提供更加準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型。

5 結(jié)論

本文針對壓鑄成型的工藝參數(shù)系統(tǒng)難以建立精確的數(shù)學(xué)模型的問題，本文提出了一種基于量子粒子群算法改進(jìn)的Kriging算法，用于建立壓鑄成型工藝參數(shù)與壓鑄成型模具熱疲勞應(yīng)力之間的數(shù)學(xué)模型。

(1)基于量子粒子群算法改進(jìn)Kriging算法后，Kriging代理模型精度評價(jià)指標(biāo)R2提高了9.4741%，越接近于1全局近似能力提升，RMSE降低了82.3207%，接近于0，預(yù)測值與真實(shí)值之間的偏離程度越小，RMAE降低了84.9139%，減少了模型的局部誤差。

(2)改進(jìn)后的Kriging模型的預(yù)測誤差更小，由原來的[-2，10]優(yōu)化為[-2，1]之間，提高了Kriging模型的擬合精度，建立了壓鑄工藝參數(shù)與壓鑄成型模具熱疲勞應(yīng)力之間的更加精確數(shù)學(xué)模型。