唐迎春

摘?要：以極限分析法為基礎(chǔ)，通過建立土質(zhì)階梯型邊坡抗滑樁支護(hù)計(jì)算模型，研究了抗滑樁在不同位置加固邊坡時(shí)的穩(wěn)定性以及最佳加固位置，分析了樁土間橫向力、附加荷載、水平地震力等對(duì)階梯型邊坡穩(wěn)定性的影響。通過外部做功功率和內(nèi)部能量耗散率的計(jì)算，推導(dǎo)出抗滑樁加固階梯型邊坡安全系數(shù)Fs的顯性表達(dá)式。結(jié)合算例分析，驗(yàn)證了計(jì)算方法的合理性，并深入探究抗滑樁在不同位置時(shí)加固邊坡安全系數(shù)的變化規(guī)律和內(nèi)在機(jī)理，分析了高度參數(shù)、角度參數(shù)、臺(tái)階寬度、附加荷載系數(shù)以及地震系數(shù)對(duì)階梯型邊坡穩(wěn)定性系數(shù)的影響規(guī)律。

關(guān)鍵詞：極限分析法;階梯型邊坡;抗滑樁支護(hù);安全系數(shù)

中圖分類號(hào)：TU443文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi：10.3969/j.issn.1000-1379.2020.06.021

Stability Analysis of Stepped Slopes Reinforced with Piles

TANG Yingchun

（School of Management Science and Engineering， Guangxi University of Finance and Economics， Nanning 530003， China）

Abstract： Based on the limit analysis method， the stability of stepped slopes reinforced with piles and the optimal pile location were studied. The influence of lateral forces between piles and soil， the additional load and the horizontal earthquake force on the stability of stepped slopes was analyzed. The explicit formulation of the factor of safety was obtained by equating the external work rate to the internal energy dissipation. Through the numerical example， the validity of the proposed method was confirmed. Moreover， the variation law of the factor of safety under different pile locations was discussed in detail. The results can provide reference for the stability assessment of stepped slopes reinforced with piles in practical engineering.

Key words： limit analysis method; stepped slopes; anti-slide piles; safety factor

在巖土工程中，通過設(shè)置樁來穩(wěn)定邊坡是近年來具有創(chuàng)新性和有效性的邊坡加固技術(shù)[1-2]。到目前為止，研究者們已經(jīng)提出了許多方法來研究抗滑樁加固邊坡穩(wěn)定性問題，其大多分析集中在直線邊坡平面應(yīng)變機(jī)制上，對(duì)于階梯型邊坡的穩(wěn)定性分析還存在著不足。因此，對(duì)階梯型邊坡在抗滑樁加固下進(jìn)行穩(wěn)定性分析非常有必要。

目前分析邊坡穩(wěn)定性的方法主要?dú)w為傳統(tǒng)的極限平衡法[3]、數(shù)值方法[4-5]、極限分析法[6-7]三類。采用極限平衡法對(duì)邊坡進(jìn)行穩(wěn)定性分析，需要對(duì)內(nèi)力分布進(jìn)行不同的假設(shè)，但這些假設(shè)不容易被證明。在過去的幾十年中，數(shù)值方法被廣泛用于常規(guī)分析邊坡穩(wěn)定性中，然而，數(shù)值模擬通常非常耗時(shí)，并且在地質(zhì)條件復(fù)雜時(shí)難以實(shí)施。相比之下，簡(jiǎn)單、高效的極限分析方法（Limit Analysis Method，簡(jiǎn)寫為L(zhǎng)AM）近十年來在邊坡穩(wěn)定性分析中受到了越來越多的關(guān)注。LAM的優(yōu)點(diǎn)主要包括：不需要在破壞面上進(jìn)行任何應(yīng)力假設(shè)，只涉及一個(gè)未知參數(shù)（即邊坡安全系數(shù)），由內(nèi)部能量耗散率與外部功率的比值確定，便于計(jì)算。然而，大多數(shù)現(xiàn)有的LAM僅限用于未設(shè)置抗滑樁的邊坡問題。

在巖土結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析研究中，Chen[8]詳細(xì)分析了極限分析法在巖土邊坡穩(wěn)定性中的應(yīng)用;Li等[9]結(jié)合Newmark滑塊理論與極限上限分析法，求解了地震作用下排樁加固邊坡的永久位移;孫志彬[10]基于極限分析的上限定理，給出了確定邊坡潛在破壞面的方法。以上研究的對(duì)象均為直線邊坡，而對(duì)于階梯型邊坡，張宏偉[11]分析了強(qiáng)夯施工引起的坡面振動(dòng)效應(yīng)變化規(guī)律，提出了相應(yīng)的強(qiáng)夯振動(dòng)控制標(biāo)準(zhǔn)及強(qiáng)夯隔振措施;Yang等[12]考慮坡角和地震系數(shù)等因素對(duì)階梯型邊坡三維結(jié)構(gòu)進(jìn)行了穩(wěn)定性分析，并列出了不同邊坡參數(shù)下的安全系數(shù);Chen等[13]考慮階梯型邊坡不同位置和不同強(qiáng)度超載的情況，研究其穩(wěn)定性以及臨界滑動(dòng)面趨勢(shì)。

基于以上分析，本文提出了一種利用極限分析上限定理，估算階梯型邊坡在抗滑樁加固下的安全系數(shù)Fs的新方法。Fs的表達(dá)式通過內(nèi)部能量耗散功率與外部做功功率的比值得出，通過建立抗滑樁加固下的邊坡模型，利用MATLAB優(yōu)化變量來獲得安全系數(shù)。此外，提出并計(jì)算討論了階梯型邊坡各關(guān)鍵參數(shù)對(duì)邊坡安全系數(shù)的影響。

1?計(jì)算模型和計(jì)算原理

1.1?計(jì)算模型

本文采用極限分析法對(duì)階梯型邊坡抗滑樁加固下的穩(wěn)定問題進(jìn)行分析，假設(shè)邊坡土體均質(zhì)且各向同性，滿足理想彈塑性模型，服從庫(kù)侖屈服準(zhǔn)則與相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，滑動(dòng)面為對(duì)數(shù)螺旋滑動(dòng)面。建立階梯型邊坡基礎(chǔ)計(jì)算模型，如圖1所示，階梯型邊坡的剖面由水平地面線AB，具有傾斜角度β1的表面線BC，具有寬度a的水平臺(tái)階CD和具有傾斜角度β2的表面線DE組成。階梯型邊坡高度為H，上部高度為α1H，下部高度為α2H，其中α1、α2為高度參數(shù)，有

α1+α2=1（1）

邊坡滑動(dòng)面穿過階梯型邊坡的頂部和坡趾，滑動(dòng)土體以角速度ω繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)破壞，滑動(dòng)面軌跡為對(duì)數(shù)螺旋滑動(dòng)面r（θ）=r0e（θ-θ0）tan φ，基準(zhǔn)線OA與OE對(duì)應(yīng)的角度分別為θ0和θh，B、C、D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角度為θB、θC、θD，OA的長(zhǎng)度為r0，φ為土體的內(nèi)摩擦角，也是土體滑動(dòng)速度v與滑動(dòng)面切線的夾角。邊坡頂部與滑動(dòng)面接觸點(diǎn)A到坡肩B的水平距離為L(zhǎng)，坡肩與坡腳的水平距離為L(zhǎng)X，抗滑樁與坡腳的水平距離為XF。

1.2?安全系數(shù)

在邊坡穩(wěn)定性分析中，強(qiáng)度折減法被廣泛用于計(jì)算穩(wěn)定性系數(shù)Fs[14-15]，F(xiàn)s為使邊坡達(dá)到臨界狀態(tài)時(shí)土體強(qiáng)度的折減系數(shù)。由于強(qiáng)度折減法只能提供關(guān)于Fs的等式，沒有明確的表達(dá)式，在使用MATLAB對(duì)參數(shù)進(jìn)行檢索優(yōu)化時(shí)比較復(fù)雜且難以實(shí)現(xiàn)。除此之外，Swan[16]和Li[17]等將Fs定義為內(nèi)部能量耗散率與外力做功功率的比值，即

Fs=D/W（2）

式中：D為內(nèi)部能量耗散率;W為外力做功功率。

該方法提供了Fs明確表達(dá)式，在本文中使用該方法計(jì)算抗滑樁加固階梯型邊坡的穩(wěn)定性，并對(duì)比分析抗滑樁的最佳位置。

在計(jì)算Fs的過程中，對(duì)于不同的邊坡參數(shù)與土體參數(shù)，所對(duì)應(yīng)的滑動(dòng)面不一樣。為得到最小Fs以及相對(duì)應(yīng)的滑動(dòng)面，需要對(duì)幾何參數(shù)（θ0，θh）進(jìn)行優(yōu)化，可以表示為

Fs=min f（θ0，θh）（3）

除此之外，在計(jì)算過程中還涉及給定的參數(shù)土體重度γ、黏聚力c、內(nèi)摩擦角φ、抗滑樁樁徑d以及土坡幾何參數(shù)。

2?外功率與內(nèi)能耗散率

在本文中，外力做功包括滑動(dòng)土體重力做功Wy、附加荷載做功Wq以及水平地震力做功Wk，內(nèi)能耗散包括滑動(dòng)面土體摩擦內(nèi)能耗散DS以及克服抗滑樁樁土間橫向力的內(nèi)能耗散DP。其相應(yīng)關(guān)系用公式表示為

W=Wy+Wq+Wk（4）

D=DS+DP（5）

2.1?外力做功功率計(jì)算

階梯型邊坡受土體重力、外部附加應(yīng)力以及地震力的影響。與著名的Mononobe-Okabe模型[18-19]一樣，地震效應(yīng)被準(zhǔn)靜態(tài)慣性力所取代，其大小可以通過引入水平地震系數(shù)k來估算。一般來說，做功的外力由土體自重G、附加應(yīng)力q和水平地震荷載組成，如圖2所示。

2.1.1?土體重力做功

邊坡滑動(dòng)面上部土體重力做功公式為

Wr=ωγr40g1（6）

式中：ω為角速度;γ為土體重度。

式（6）中函數(shù)g1的定義為

g1=κ1H（f1-f2-f3-f4-f5）（7）

其中

κ1=e（θh-θ0）tan φsin θh-sin θ0（8）

f1=13（1+9tan2φ）[（3tan φcos θh+sin θh）·

e3（θh-θ0）tan φ-（3tan φcos θ0+sin θ0）]（9）

f2=13κ2sin θ0（cos θ0-12κ2）（10）

f3=13α1κ1（cos θ0-κ2+sin θ0cot β1）·

（cos θ0-κ2-12α1κ1cot β1）（11）

f4=13λaκ1（sin θ0+α1κ1）·

（cos θ0-κ2-α1κ1cot β1-12λaκ1）（12）

f5=13α2κ1e（θh-θ0）tan φsin（θh+β2）sin β2·

[e（θh-θ0）tan φcos θh+12α2κ1cot β2]（13）

κ2=cos θ0-e（θh-θ0）tan φcos θh-

（α1cot β1+α2cot β2+λa）κ1（14）

式中：λa為臺(tái)階寬度系數(shù)，λa=aH;φ為土體內(nèi)摩擦角。

2.1.2?附加荷載做功

外部附加荷載做功公式為

Wq=ωqr30g2 （15）

其中函數(shù)g2的定義為

g2=κ1κ2H（cos θ0-12κ2）（16）

2.1.3?地震力做功

地震力做功公式為

Wk=ωγkr40g3+ωqkr30g4（17）

其中函數(shù)g3和g4的定義為

g3=κ1H（f6-f7-f8-f9-f10）（18）

g4=κ1κ2Hsin θ0 （19）

其中

f6=13（1+9tan2φ）[（3tan φsin θh-cos θh）·

e3（θh-θ0）tan φ-3tan φsin θ0+cos θ0）]（20）

f7=13κ2sin2θ0（21）

f8=13α1κ1（cos θ0-κ2+sin θ0cot β1）·

（sin θ0+12α1κ1） （22）

f9=13λaκ1（sin θ0+α1κ1）2（23）

f10=13α2κ1e（θh-θ0）tan φsin（θh+β2）sin β2g·

g[e（θh-θ0）tan φsin θh-12α2κ1]（24）

2.2?內(nèi)部耗能計(jì)算

2.2.1?內(nèi)能耗散率

對(duì)于邊坡對(duì)數(shù)螺旋滑動(dòng)面上摩擦耗能DS的計(jì)算，Chen[8]已經(jīng)作出了解答：

DS=∫θhθ0c（υcos φ）rdθcos φ=cr20ω2tan φg·

g{exp[2（θh-θ0）tan φ]-1}（25）

式中：c為土體黏聚力;υ為土體的黏性系數(shù)。

2.2.2?樁土間橫向力能量損耗

針對(duì)抗滑樁加固的邊坡，Itot等[20]基于塑性變形理論，對(duì)樁土間橫向力計(jì)算作出了詳細(xì)解答。然而，不同于單層土坡，在階梯型邊坡坡面進(jìn)行抗滑樁加固時(shí)，需要對(duì)不同的坡面分別計(jì)算，模型如圖3所示。

p（z）=cD1（D1D2）N1/2φtan φ+Nφ-1{1Nφtan φ[exp（D1-D2D2·

Nφtan φtan（π8+φ4））-2N1/2φtan φ-1]+

2tan φ+2N1/2φ+N-1/2φN1/2φtan φ+Nφ-1}-

c[D12tan φ+2N1/2φ+N-1/2φN1/2φtan φ+Nφ-1-2D2N-1/2φ]+

γzNφ[D1（D1D2）N1/2φtan φ+Nφ-1·

exp（D1-D2D2Nφtan φtan（π8+φ4））-D2]（26）

其中

Nφ=tan（π4+φ2）

式中：D1為樁軸間距，在計(jì)算中取4d，d為樁徑;D2為樁邊界間距，在計(jì)算中取3d。

樁間橫向力做功功率DP由橫向力與深度z處的線速度在破壞面深度范圍內(nèi)的乘積來計(jì)算，公式為

DP=ω∫h0p（z）l（z）dz（27）

式中：p（z）為深度z處的樁土間橫向力;l（z）為深度z處樁土間橫向力的力臂;h為樁處破壞面深度。

如圖3所示，在BC、CD、DE段設(shè)置抗滑樁時(shí)，其破壞面深度h并不相同，這需要對(duì)其分別進(jìn)行分析。

（1）在BC段時(shí)，有

h=rpsin θp-rhsin θh+α2H+（XF-α2Htan β2-a）tan β1（28）

l（z）=rhsin θh-α2H-（XF-α2Htan β2-a）tan β1+z（29）

rpcos θp+（LX-XF）+L=r0cos θ0（30）

（2）在CD段時(shí)，有

h=α2H+rpsin θp-rhsin θh（31）

l（z）=rhsin θh-α2H+z（32）

（3）在DE段時(shí)，有

h=rpsin θp-rhsin θh+XFtan β2（33）

l（z）=rhsin θh-XFtan β2+z（34）

式中：rp為破壞面深度h處與O的距離;θp為rp所對(duì)應(yīng)的角度。

3?算例分析與參數(shù)分析

3.1?算例計(jì)算

本文分析中引入3個(gè)無量綱參數(shù)（即黏聚力系數(shù)λc、附加應(yīng)力系數(shù)λq和階梯寬度系數(shù)λa），它們由下面的表達(dá)式定義：

λc=cγH（35）

λq=qγH（36）

λa=aH（37）

邊坡幾何參數(shù)及土體參數(shù)見表1。

為驗(yàn)證上述分析計(jì)算方法的合理性，表1中給出的參數(shù)是直線邊坡模型參數(shù)，未考慮臺(tái)階以及角度參數(shù)不同的情況。按照第2節(jié)中的Fs計(jì)算優(yōu)化方法，計(jì)算得到抗滑樁在坡面不同位置時(shí)邊坡Fs的變化情況，如圖4所示。

由圖4可以看出，相比于自然邊坡而言，設(shè)置抗滑樁能大幅提高邊坡穩(wěn)定性。但在邊坡坡面不同位置用抗滑樁進(jìn)行加固的效果不同。當(dāng)XF/LX<0.7時(shí)，F(xiàn)s隨其增大而增大，在大約XF/LX=0.7處達(dá)到最大值，當(dāng)XF/LX>0.7，F(xiàn)s逐漸減小。其原因如下：當(dāng)XF/LX較小時(shí)，如XF/LX=0.3，雖然樁土間橫向力做功力臂l（z）較大，但其分布范圍較小;當(dāng)XF/LX較大時(shí)，如XF/LX=0.9，雖然分布范圍較大，但樁土間橫向力做功力臂l（z）較小。邊坡抗滑樁的最佳加固位置大約在XF/LX=0.7處，這與實(shí)際情況以及之前的理論研究得到的結(jié)果一致，證明了本文提出的分析計(jì)算方法的合理性與可靠性。接下來探討邊坡的幾何參數(shù)及外力因素對(duì)邊坡最佳抗滑樁加固位置的影響。

3.2?角度參數(shù)的影響

為研究上層邊坡與下層邊坡的坡角對(duì)抗滑樁加固下邊坡Fs的影響規(guī)律，分別對(duì)β1、β2取值45°、55°、65°進(jìn)行Fs計(jì)算，其他參數(shù)不變。計(jì)算結(jié)果如圖5、圖6所示。

由圖5可以看出，隨著β1的增大，邊坡Fs減小。值得注意的是，當(dāng)β1大于45°時(shí)，在大約XF/LX=0.5位置處，即坡面轉(zhuǎn)角處，F(xiàn)s有略微的減小，且β1與β2的差值越大，減小的幅度越明顯。其原因分析如下：隨著邊坡角度的增大，土體重力做功功率變大，整體Fs減小;當(dāng)β1不變，β2變大時(shí)，滑動(dòng)面也會(huì)隨之變化，導(dǎo)致樁土間橫向力分布范圍變小，使破壞結(jié)構(gòu)內(nèi)能耗散相對(duì)于外功率明顯減小，導(dǎo)致Fs變小。除此之外，隨著β1的增大，抗滑樁最佳加固位置不再處于XF/LX=0.7位置處，而向XF/LX>0.7的方向轉(zhuǎn)移。由圖6可以看出，隨著β2的增大，邊坡Fs減小。與β1的影響類似，抗滑樁最佳加固位置稍微向XF/LX>0.7的方向轉(zhuǎn)移。對(duì)比圖5與圖6可以看出，β2增大導(dǎo)致Fs減小的程度遠(yuǎn)大于β1的影響，原因是β1增大時(shí)，邊坡呈凹形，相較于β2增大時(shí)，邊坡呈凸形更穩(wěn)定。

3.3?高度參數(shù)的影響

為研究高度參數(shù)α1和α2對(duì)抗滑樁加固下邊坡Fs的影響規(guī)律，根據(jù)式（1），分別選用高度參數(shù)α1為0.1、0.3、0.5、0.7、0.9進(jìn)行抗滑樁加固邊坡Fs的計(jì)算，λa=0.1，其他參數(shù)取值不變。結(jié)果如圖7所示。

從圖7可以看出，邊坡Fs隨高度參數(shù)的變化明顯，即階梯型邊坡中臺(tái)階所處的位置對(duì)邊坡穩(wěn)定性有很大的影響。整體來看，隨著高度參數(shù)α1增大，即隨著臺(tái)階的高度降低，邊坡的穩(wěn)定性明顯增強(qiáng)。值得注意的是，F(xiàn)s曲線除了在大約XF/LX=0.7處存在波峰，在臺(tái)階所在位置處設(shè)置抗滑樁加固時(shí)也存在波峰的情況。其原因分析如下：從圖3中可以看出，C點(diǎn)與D點(diǎn)高度相同，但在這兩處設(shè)置抗滑樁時(shí)，D點(diǎn)的橫向力分布范圍更大，且其力臂l（z）相同，導(dǎo)致樁土間橫向力耗能增大，所以在D點(diǎn)（下層邊坡與臺(tái)階交界處）抗滑樁加固時(shí)抗滑作用更顯著。

綜上所述，當(dāng)臺(tái)階處于0.7LX處時(shí)，在XF/LX=0.7處進(jìn)行抗滑樁加固，其加固效果疊加增大。當(dāng)臺(tái)階位于其他位置時(shí)，還需對(duì)比分析下層邊坡與臺(tái)階交界處的安全系數(shù)。

3.4?臺(tái)階寬度的影響

為研究臺(tái)階寬度對(duì)抗滑樁加固下邊坡Fs的影響規(guī)律，分別對(duì)λa取值0.10、0.15、0.20、0.25、0.30時(shí)的Fs進(jìn)行計(jì)算，其他參數(shù)不變，結(jié)果如圖8所示。

由圖8可以看出，邊坡其他參數(shù)相同的情況下，其在抗滑樁加固下的Fs整體隨著臺(tái)階寬度的增大而增大，且臺(tái)階寬度對(duì)邊坡Fs影響非常顯著。除此之外，在3.3節(jié)中提到對(duì)階梯型邊坡進(jìn)行抗滑樁加固時(shí)，最佳加固位置除了XF/LX=0.7處，還需考慮下層邊坡與臺(tái)階交界處，在圖8中其影響更加明顯。隨著臺(tái)階寬度的增加，在臺(tái)階上該交界處進(jìn)行抗滑樁加固時(shí)，F(xiàn)s更大，加固效果更為顯著。

3.5?附加荷載系數(shù)與地震系數(shù)的影響

為研究附加荷載與地震系數(shù)對(duì)抗滑樁加固下邊坡Fs的影響規(guī)律，分別對(duì)λq取值0.00、0.05、0.10、0.20，以及k取值0.00、0.05、0.10、0.20，λa=0.1，進(jìn)行計(jì)算，其他參數(shù)不變。結(jié)果如圖9、圖10所示。

由圖9可以看出，在其他參數(shù)不變時(shí)，隨著附加荷載系數(shù)的增大，邊坡Fs減小。由圖10可以看出，其他參數(shù)不變時(shí)，地震系數(shù)增大，邊坡穩(wěn)定性降低。兩者變化規(guī)律基本一致，原因是附加荷載系數(shù)以及地震系數(shù)增大，會(huì)導(dǎo)致式（4）中的Wq與Wk相較于其他項(xiàng)有較大提升，使得破壞結(jié)構(gòu)的外部做功功率比內(nèi)能耗散率明顯增大，導(dǎo)致Fs減小。

4?結(jié)?語

通過建立抗滑樁加固階梯型邊坡模型，考慮階梯型邊坡高度參數(shù)、角度參數(shù)、臺(tái)階寬度、附加荷載系數(shù)以及地震系數(shù)等因素，計(jì)算分析了在邊坡不同位置進(jìn)行抗滑樁加固時(shí)的Fs，得出以下結(jié)論：

（1）單層均質(zhì)土坡抗滑樁最佳加固位置在XF/LX=0.7處，但對(duì)于階梯型邊坡，需要額外考慮下層邊坡與臺(tái)階交界處，當(dāng)臺(tái)階寬度較大時(shí)，該處可能為最佳加固位置。

（2）對(duì)階梯型邊坡而言，下層邊坡角度增大比上層邊坡角度增大導(dǎo)致的Fs下降更明顯。其他參數(shù)不變的情況下，臺(tái)階在邊坡所處高度越高，邊坡Fs越小，其寬度越大，邊坡Fs越大。附加荷載以及地震力均對(duì)階梯型邊坡有負(fù)面影響，且地震系數(shù)的影響幅度較大。

（3）三維情況下群樁加固階梯型邊坡的安全穩(wěn)定性是今后的研究方向。

致謝：本論文在研究中得到“管理科學(xué)與工程學(xué)科建設(shè)經(jīng)費(fèi)”支持，在此表示感謝！

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【責(zé)任編輯?張華巖】