楊小李 鄭陽倫 鐘 睿 蔣凌霄 陳奕璋 汪中厚 江小輝 吳世青

（上海理工大學(xué) 上海200093）

成形磨削時(shí)，成形砂輪與工件接觸且繞自軸線旋轉(zhuǎn)，從而磨削出整個(gè)工件廓形，是一種高效率、高精度、低成本、高利潤的磨削加工方法[1-2]。隨著新型材料與復(fù)雜形狀曲面工件使用的增多，以及市場對(duì)高精度、高效率、低成本的生產(chǎn)要求的提高，成形磨削技術(shù)得到了前所未有的快速發(fā)展[3-5]。成形磨削技術(shù)通常包括往復(fù)式成形磨削、緩進(jìn)給強(qiáng)力磨削、連續(xù)修整成形磨削、電鍍超硬磨具等[6-7]。其中運(yùn)用最廣的是往復(fù)式磨削方法，其磨削進(jìn)給量在不同磨削階段都會(huì)變化，精磨一般在 0.01mm 左右，而粗磨削一般在 0.05mm 左右。該磨削方式具有高效率、高表面質(zhì)量、高經(jīng)濟(jì)性等加工特點(diǎn)，這使得該磨削方式常用來磨削超硬或難加工材料，一般運(yùn)用于磨削面簡單、待磨削量小的場合[8]。緩進(jìn)給強(qiáng)力磨削的進(jìn)給量很小，是一般磨削幾十分之一，磨削深度可達(dá) 30mm，因而該磨削方式在所需縱向進(jìn)給量小而磨削深度大的場合具有一定優(yōu)勢(shì)。由于其較深的磨削和低進(jìn)給量磨削，因而高金屬切除效率、高精度、高表面質(zhì)量等特點(diǎn)，但與此同時(shí)，因切削面積大而厚，存在發(fā)熱量大、工件易燒傷等問題。故較好冷卻方式是必不可少的，此方式常運(yùn)用于短時(shí)間磨削、中等切除量的場合[9]。連續(xù)修整成形磨削以其高效率磨削特點(diǎn)而被廣泛運(yùn)用，又稱 CD 成形磨削。該磨削方式利用金剛石滾輪對(duì)砂輪進(jìn)行接觸式修整，修整的砂輪磨削效率高、精度高，適用于磨削面多、高效高精磨削場合。為了適應(yīng)自動(dòng)更換砂輪和工件多品種少批量高效生產(chǎn)的需要，CD成形磨削不斷朝 FMS自動(dòng)緩進(jìn)磨削系統(tǒng)發(fā)展。另外電鍍超硬磨具(如 CBN 砂輪)在超高速高效磨削技術(shù)中的應(yīng)用與發(fā)展日新月異，其以超高磨削線速度、磨削效率、金屬切除率等優(yōu)勢(shì)被廣泛運(yùn)用于各種齒輪加工[10]。目前，在成形磨削技術(shù)領(lǐng)域，國外許多研究學(xué)者取得了較大進(jìn)展，如德國 Gubing 自控公司的 FD612磨床上可在很短時(shí)間內(nèi)(70s)完成磨削加工鉻錳鋼齒輪，可見其經(jīng)濟(jì)性之好、效率之高[11]。日本機(jī)械技術(shù)研究所為解決磨削過程中燒傷等問題發(fā)明了一種電鍍砂輪，顯著降低磨削熱等冷卻問題[12]。德國KAPP 公司研制的主軸轉(zhuǎn)速高達(dá)62 000 r/min 的磨床已經(jīng)運(yùn)用于磨削加工葉片棒開槽[13]。

可知，國內(nèi)外成形磨削技術(shù)發(fā)展迅速，磨削加工速度、效率、精度等都在不斷提高。超高硬度材料、復(fù)雜難加工零件的出現(xiàn)以及市場對(duì)高精高效加工方式的迫切需求，推動(dòng)了成形磨削技術(shù)的發(fā)展。在成形磨削中，決定其磨削精度的關(guān)鍵技術(shù)是成形砂輪的修整，下文將分析研究兩種主要的成形砂輪修整方法。

1 直線插補(bǔ)修整

空間直線插補(bǔ)是在已知該直線始末兩點(diǎn)的位置和姿態(tài)的條件下，求各軌跡中間點(diǎn)（插補(bǔ)點(diǎn)）的位置和姿態(tài)。大多數(shù)情況下，機(jī)器人沿直線運(yùn)動(dòng)時(shí)姿態(tài)不變，所以無姿態(tài)插補(bǔ)，即保持第一個(gè)示教點(diǎn)的姿態(tài)。空間直線插補(bǔ)如圖1所示，已知直線始末兩點(diǎn)的坐標(biāo)值p0(x0,y0,z0) 、pe(xe,ye,ze) 及姿態(tài)，其中p0， pe是相對(duì)于基坐標(biāo)系，這些位置和姿態(tài)通常是通過示教方式得到的。設(shè)v為要求的沿直線運(yùn)動(dòng)速度，Ts為插補(bǔ)時(shí)間間隔。

為減小實(shí)時(shí)計(jì)算量，示教完成后，可求出以下數(shù)值。

于是可以實(shí)時(shí)計(jì)算各插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)值

圖1 空間直線插補(bǔ)

2 樣條插補(bǔ)修整

對(duì)于某些復(fù)雜零件，當(dāng)無法通過基本的直線、圓弧以及其它的二次曲線形式來描述其輪廓時(shí)，可以通過離散表格或高次曲線給出。為此，在有些高檔 CNC系統(tǒng)中設(shè)置了相應(yīng)的插補(bǔ)方法，而下面介紹的三次樣條插補(bǔ)方法就是其中的一種。

2.1 三次樣條插補(bǔ)基本原理

三次樣條函數(shù)定義：已知n個(gè)離散點(diǎn)為P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn)，且x1

(1)曲線通過所有型值點(diǎn)，即S(xi)=yi(i=1,2,3,…,n) ；

三次樣條函數(shù)廣泛應(yīng)用于給定型值點(diǎn)的曲線擬合等研究領(lǐng)域。根據(jù)被插補(bǔ)高次曲線給出一定數(shù)量的型值點(diǎn)，用三次樣條函數(shù)求解出插補(bǔ)中間點(diǎn)，無疑是高次曲線插補(bǔ)的一種思路。但是，若要將三次樣條函數(shù)直接應(yīng)用于高次曲線的插補(bǔ)，則必須滿足三次樣條函數(shù)定義的所有條件。事實(shí)上，由于插補(bǔ)前給出的型值點(diǎn)已經(jīng)是被插補(bǔ)高次曲線上的點(diǎn)，當(dāng)然也基本能滿足相應(yīng)的三個(gè)條件。但是型值點(diǎn)自變量區(qū)間的劃分條件并非都能得到滿足。這是由于機(jī)床加工任何輪廓曲線過程中均有兩種加工方向，如圖 2所示零件輪廓曲線，當(dāng)起點(diǎn)在A1(x1,y1) ，終點(diǎn)在An(xn,yn) 時(shí)，可以滿足區(qū)間劃分條件x1

圖2 加工方向示意圖

針對(duì)這些情況，為了應(yīng)用樣條插補(bǔ)，就必須對(duì)有關(guān)條件進(jìn)行處理，主要包括如下幾個(gè)方面：

(1)設(shè)定合適的坐標(biāo)原點(diǎn)。一般情況下，為了簡化計(jì)算過程，大多將插補(bǔ)坐標(biāo)系的原點(diǎn)平移到第一個(gè)型值點(diǎn)(x1,y1) 處。

通過選擇上述弦長作為參數(shù)，降低了對(duì)于單個(gè)坐標(biāo)軸x或y的單調(diào)性要求，從而使大部分曲線均能滿足樣條插補(bǔ)的條件。

圖3 弦長參數(shù)示意圖

(3)進(jìn)行合適的分段處理。當(dāng)經(jīng)過上述兩步處理后，如果在整個(gè)型值點(diǎn)區(qū)間上仍不能滿足弦長遞增這一條件，可將整個(gè)區(qū)間進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆侄翁幚?，以保證在每一段內(nèi)均能滿足弦長遞增的條件，然后分段插補(bǔ)即可構(gòu)成整個(gè)零件輪廓。

顯然，以(ti,Xi)(i=1,2,…,n) 構(gòu)成的三次樣條函數(shù)X(t) 嚴(yán)格經(jīng)過Xi(i=1,2,…,n)點(diǎn)，以(ti,Xi)(i=1,2,…,n)構(gòu)成的三次樣條函數(shù)Y(t)嚴(yán)格經(jīng)過Yi(i=1,2,…,n)點(diǎn)?？梢宰C明：在1,2,…,n?1區(qū)間內(nèi)，以t為參數(shù)，Xit,Yit構(gòu)成的參數(shù)三次樣條函數(shù)雖不滿足三次樣條函數(shù)的能量極小性，但仍具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。

現(xiàn)根據(jù)每一步插補(bǔ)的弦長增量?t ，由參數(shù)三次樣條函數(shù)計(jì)算出相應(yīng)坐標(biāo)軸增量?x和?y，即可完成高次曲線的插補(bǔ)。下面可以證明，通過適當(dāng)選取弦長增量?t，不需要復(fù)雜的實(shí)時(shí)計(jì)算，即可保證每一個(gè)插補(bǔ)周期內(nèi)的插補(bǔ)步長恒定，同時(shí)可達(dá)到很高的插補(bǔ)精度。

如圖 4所示，設(shè)有兩個(gè)相鄰插補(bǔ)點(diǎn)分別為Ai(xi,yi),Ai+1(xi+1,yi+1) ，它們對(duì)應(yīng)的弦長參數(shù)為，現(xiàn)假設(shè)Ai和Ai+1即為插補(bǔ)點(diǎn)，則步距角θ=∠AiA1Ai+1，進(jìn)給步長為。由于插補(bǔ)周期Ts 很小，所以用弦來代替曲線AiAi+1實(shí)行插補(bǔ)進(jìn)給，其間的誤差仍是允許的。

圖4 樣條插補(bǔ)示意圖

2.2 三次樣條插補(bǔ)基本算法

為了求出式（6）所示三次樣條函數(shù)中的系數(shù) ，自定義：

則由三次樣條函數(shù)一、二階函數(shù)連續(xù)的條件，可以推導(dǎo)出如下關(guān)系式：

顯然，根據(jù)式（6）可以得到(n?2) 個(gè)線性方程，如果再補(bǔ)充兩個(gè)端點(diǎn)條件，則可采用各種數(shù)值計(jì)算方法求解出式（6）中的系數(shù)Ai,Bi,Ci,Di。一般給的端點(diǎn)條件有：

然后根據(jù)加工零件的有關(guān)情況，選擇相應(yīng)的端點(diǎn)條件補(bǔ)充到式（9）中去即可。同理，可求得式（7）中的系數(shù)。在求得上述系數(shù)后，即可根據(jù)弦長參數(shù) 所在區(qū)間段，由式（6）和式（7）求得插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)值xi, yi和對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)增量值?xi,?yi。

通過以上分析可以看出，三次樣條插補(bǔ)方法是屬于數(shù)據(jù)采樣方法中的一種，并且其插補(bǔ)計(jì)算量相對(duì)其它插補(bǔ)算法來講是相當(dāng)大的，這也對(duì) CNC系統(tǒng)中CPU處理速度提出很高要求。但是，目前計(jì)算機(jī)處理速度已經(jīng)取得迅速發(fā)展，為樣條插補(bǔ)算法的實(shí)現(xiàn)提供了保證。 總之，在其他插補(bǔ)方法無能為力的時(shí)候，采用三次樣條函數(shù)進(jìn)行插補(bǔ)無疑是極為有效的補(bǔ)充手段。

3 實(shí)驗(yàn)

前面介紹了兩種數(shù)控插補(bǔ)方案，本文采用NUM Flexium68數(shù)控系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，此系統(tǒng)提供直線插補(bǔ)和樣條插補(bǔ)功能，所以通過實(shí)驗(yàn)對(duì)這兩種插補(bǔ)方法進(jìn)行比較。分別對(duì)砂輪進(jìn)行直線插補(bǔ)修整與樣條插補(bǔ)修整并進(jìn)行磨齒實(shí)驗(yàn)，磨齒效果如圖7所示。

圖7 插補(bǔ)修整對(duì)比

圖7（a）為直線插補(bǔ)修整磨齒后的齒面情況，圖7（b）為樣條插補(bǔ)修整磨齒后的齒面情況，兩次磨齒采取相同的磨齒工藝，公法線去除量、粗磨精磨進(jìn)刀量與進(jìn)刀數(shù)、砂輪線速度、砂輪沖程速度等都相等。對(duì)比可以看出，樣條插補(bǔ)磨齒后的齒輪表面更光順，而且經(jīng)檢測之后發(fā)現(xiàn)，樣條插補(bǔ)磨齒后的齒廓形狀偏差較小，因此可以得出結(jié)論，相同的磨齒工藝下，樣條插補(bǔ)磨齒精度比直線插補(bǔ)要高。

4 結(jié)語

本文研究了成形砂輪直線插補(bǔ)修整和樣條插補(bǔ)修整的基本原理與基本算法，然后采用這兩種插補(bǔ)方法分別對(duì)砂輪進(jìn)行直線插補(bǔ)修整與樣條插補(bǔ)修整，并且進(jìn)行磨齒實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相同的磨齒工藝下，樣條插補(bǔ)修整磨齒精度比直線插補(bǔ)修整要高。