基于改進型趨近律的PMSM滑?？刂?/h1>
2020-10-12 00:26:28劉楊青王保華
湖北汽車工業(yè)學院學報 2020年3期 關鍵詞：系統(tǒng)
劉楊青，王保華
（湖北汽車工業(yè)學院 汽車工程學院，湖北 十堰442002）
近年來永磁同步電機（Permanent Magnet Syn?chronous Motor,PMSM）由于其可靠性高、力能指標好、功率因數(shù)高等優(yōu)點在電動汽車、軌道交通、醫(yī)療機械、風機水泵［1］等領域得到了廣泛的應用。目前矢量控制是PMSM 調速控制策略中運用最多的控制方法，采用PI算法構成轉速、電流雙閉環(huán)讓整個控制系統(tǒng)的結構變得簡單明了。傳統(tǒng)PI控制可消除靜差，改善系統(tǒng)響應能力，在工業(yè)設計中應用廣泛。實際工程中電機各項參數(shù)會隨著工況和外界環(huán)境的不同而不斷發(fā)生變化［2］，由此帶來的不確定性增大了PI 參數(shù)的整定難度，導致系統(tǒng)輸出波動變大、穩(wěn)定性變差，因此選擇魯棒性強、不易受參數(shù)變化影響的控制算法尤為重要。
滑?？刂疲⊿liding Model Control, SMC）具有響應迅速、魯棒性強、對系統(tǒng)參數(shù)變化不敏感等優(yōu)點，因而在各種復雜非線性系統(tǒng)的控制中能夠起到較好的效果。文獻［3］采用改進的冪次指數(shù)趨近率和Super-twisting 滑?？刂破鳂嫵闪薖MSM 直接轉矩控制系統(tǒng)，使得電機控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性均得到了提高；文獻［4］針對無人機動力學模型復雜且耦合性強的特點，以內環(huán)角速率為控制對象，提出了基于反饋線性化的滑?？刂撇呗裕贡豢貙ο笤谟幸欢ㄍ牧鳝h(huán)境下飛行具有穩(wěn)定性；文獻［5］將2種SMC方式相結合，設計了新型混合終端滑模觀測器，用于估測電機轉子的速度和位置；文獻［6］在改善水電機運行過程中的“假穩(wěn)定”問題時，引入了非線性滑?？刂撇呗?，將非線性滑模控制策略與傳統(tǒng)PID控制策略進行對比，結果表明SMC魯棒性優(yōu)于PID 控制。上述文獻的研究結果均證實了SMC方法的優(yōu)越性，但常規(guī)SMC方法具有嚴重的抖振［7］現(xiàn)象，會影響系統(tǒng)穩(wěn)定，因此文中提出以系統(tǒng)反饋誤差作為狀態(tài)變量的改進型趨近率SMC 方法，并采用光滑連續(xù)的準滑模函數(shù)取代傳統(tǒng)非連續(xù)函數(shù)符號函數(shù)，將其運用到電機轉速環(huán)控制策略中，并與傳統(tǒng)PI控制結果進行對照。
1 三相永磁同步電機數(shù)學模型
三相永磁同步電機由于結構復雜、參數(shù)繁多，各參數(shù)之間相互耦合、影響，因而是冗雜的非線性系統(tǒng)。為便于理論分析，將模型進行簡化［8］：1）電機鐵芯的飽和問題可忽略不計；2）電機中的渦流現(xiàn)象和磁滯損耗現(xiàn)象對電機性能不產生影響；3）通入電機的電流時刻為對稱的三相正弦波電流。
建立d-q 坐標系（同步旋轉坐標系）下PMSM的數(shù)學模型，其三相電壓方程為
磁鏈方程為
電磁轉矩方程為
電機機械運動方程為
式中：u3s為三相繞組相電壓；R為三相繞組電阻；i3s為三相繞組電流；ψ3s為三相繞組磁鏈；L3s為三相繞組電感；F3s(θe)為三相繞組不同電角度下對應的單位磁鏈系數(shù)；ψf為轉子永磁體磁鏈；Te為電磁轉矩；pn為三相PMSM的極對數(shù)；J為轉動慣量；TL為負載轉矩；B為阻尼系數(shù)；ωm為電機的機械角速度。
2 趨近律控制方法
滑模變結構控制系統(tǒng)中，任一狀態(tài)空間點在系統(tǒng)內部的運行軌跡通常由2個部分組成：1）從遠離滑模面的任意位置趨近滑模面直至到達滑模面附近的趨近運動；2）在滑模面附近沿滑模面的滑動運動。具體運動軌跡如圖1 所示，x 為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，AB 稱作為系統(tǒng)空間點的趨近運動階段。此階段系統(tǒng)點的運動特性需滿足可達性條件，即系統(tǒng)的狀態(tài)空間變量能從任意位置在一定時間內到達滑模面附近，但點A 到達點B 的運動方式是任意的，傳統(tǒng)的SMC方法不能反映系統(tǒng)是以何種方式趨近于滑模切換面，而基于趨近律的控制方法則可彌補這一不足。由于趨近律可人為設計，故總能找到一種最為恰當?shù)内吔绞?，提高趨近運動階段系統(tǒng)的動態(tài)品質，同時減弱系統(tǒng)點在滑動運動階段因頻率過高而導致的系統(tǒng)抖振現(xiàn)象。
圖1 滑?？刂茽顟B(tài)運動軌跡
2.1 傳統(tǒng)指數(shù)型趨近律
傳統(tǒng)指數(shù)型趨近律如式（5）所示：
式中：s為滑模面函數(shù)；-εsgn(s)為等速趨近項；-qs為指數(shù)趨近項；ε為等速趨近律系數(shù)；q為指數(shù)趨近律系數(shù)。由式（5）可看出，q 的存在使得系統(tǒng)任一狀態(tài)空間點都能按照指數(shù)變化規(guī)律趨近滑模面。然而指數(shù)切換過程為一帶狀過程，當空間點到達滑模面附近時，會在滑模面兩側來回穿梭。為減少穿梭次數(shù)，減輕系統(tǒng)抖振，需要設計合理的ε值和q值，并采用連續(xù)函數(shù)取代符號函數(shù)sgn(s)，以保證系統(tǒng)的動態(tài)品質。
2.2 新型趨近律設計
在趨近運動階段，因為系統(tǒng)所存在的初始誤差無法被直接控制，而系統(tǒng)響應又容易受到內外條件波動所帶來的影響，因此在設計趨近律時應盡可能提高系統(tǒng)狀態(tài)空間點的趨近運動速度，縮短運動時間，降低內外干擾對系統(tǒng)響應的影響程度；但若速度過快，當空間點即將貼近切換面進入滑動運動狀態(tài)時無法及時減速，容易引發(fā)系統(tǒng)抖振。因此設計的趨近率需要滿足：當狀態(tài)空間點離滑模切換面較遠時，趨近運動的速度快速增加；而即將到達切換面時，趨近速度降低。新型趨近率為
式中：s 為滑模切換面函數(shù)；ε,q 為自定義的參數(shù)；ωref為電機參考轉速；ωm為電機實際反饋轉速；x1為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，其大小是電機參考轉速與實際反饋轉速的差值。
當系統(tǒng)狀態(tài)空間點遠離滑模切換面時，新型趨近律等價于
此時|s|>> 0，x1>> 0，趨近運動的速度近似與成正比，且|s|越大，運動速度越快，系統(tǒng)能夠在更短的時間內到達滑模面附近。
當系統(tǒng)狀態(tài)空間點達到切換面附近時，趨近律等價于
即s →0，x1→0，<< 1，系統(tǒng)速度近似為ε，趨近速度更小，系統(tǒng)空間狀態(tài)不會由于慣性而在切換面附近發(fā)生高頻振動現(xiàn)象，減弱了系統(tǒng)抖振。
為了進一步抑制到達滑模切換面時系統(tǒng)狀態(tài)空間變量運動軌跡的抖振，采用sigmoid（s）函數(shù)替代符號函數(shù)的作用，以改善電機的控制性能。sig?moid（s）函數(shù)定義如下：
與符號函數(shù)相比，sigmoid（s）函數(shù)可通過調整參數(shù)a 的數(shù)值來改變函數(shù)的斜率，使函數(shù)值在［-1,1］之間連續(xù)變化，如圖2所示。由圖2可知，當a值減小時，函數(shù)的斜率也隨之減小，控制效果更平順，函數(shù)值的變化速度較慢。當a為1時，sigmoid（s）函數(shù)的曲線變化率最接近開關函數(shù)，并且s為0 時函數(shù)值不會出現(xiàn)斷點。在|s|趨近于0的過程中，函數(shù)值逐漸減小直至為0；在|s|逐漸增大的過程中，函數(shù)值又會迅速增大變?yōu)橹涤蛏舷陆纭?/p>
圖2 不同a值下的sigmoid函數(shù)
綜上，改進型趨近律表達式為
2.3 穩(wěn)定性分析
定義Lyapunuov函數(shù)為
對式（11）求導，得
將式（10）代入式（12）可得：
式中：sigmoid（s）函數(shù)為奇函數(shù)。當s不等于0 時，小于0；當且僅當s等于0時，等于0。
綜上所述，改進型趨近律存在且穩(wěn)定，系統(tǒng)最終能夠到達滑模平衡點。
2.4 滑模轉速控制器設計
采用id= 0 的矢量控制方法，以表貼式三相PMSM為控制對象，建立d-q坐標系下的數(shù)學模型，如式（14）所示：
選擇合適的狀態(tài)變量，定義如下：
將式（14）與式（15）相結合，可得：
滑模面函數(shù)定義如下：
式中：c為需要設計的參數(shù)值,c > 0。
聯(lián)立式（10）與式（16），得速度滑模控制器表達式：
對式（20）進行積分，得速度滑模控制器輸出電流：
3 仿真與結果分析
為了驗證文中設計的SMC算法是否能帶來更優(yōu)越的控制效果，基于Matlab/Simulink平臺搭建三相PMSM矢量控制系統(tǒng)，將改進型SMC算法和傳統(tǒng)SMC算法、傳統(tǒng)PI算法進行比較。
3.1 仿真模型搭建
圖3 三相PMSM控制系統(tǒng)結構圖
PMSM控制系統(tǒng)結構圖如圖3所示。仿真對比實驗采用3 種控制系統(tǒng)進行對比：1）文獻［8］中工程整定法得到的PI 控制系統(tǒng)；2）基于普通指數(shù)趨近律的傳統(tǒng)SMC 系統(tǒng)；3）采用改進型趨近律的SMC系統(tǒng)。為保證仿真結果的客觀性，2種SMC系統(tǒng)中速度滑模控制器的趨近律中各項參數(shù)值相同，并設置c為50,ε為200,q為300。仿真電機模型采用180ST-M19015型號電機，各項參數(shù)如表1所示。
表1 電機參數(shù)
3.2 仿真結果分析
為驗證控制系統(tǒng)的全范圍調速能力和加載能力，設置電機初始轉速為1500 r·min-1，t為0.2 s時突增負載19 N·m，t為0.4 s時轉速由1500 r·min-1下降至500 r·min-1；仿真時間為0.6 s。仿真結果如圖4所示：在電機啟動階段，電流環(huán)作用較大，系統(tǒng)存在較大的轉矩波動，額定轉矩范圍內3種控制系統(tǒng)的轉速上升時間相差無幾，但改進型SMC 系統(tǒng)沒有超調動作，在快到達指定速度時上升速度減緩并完全跟隨給定速度，而PI 控制系統(tǒng)存在較大的超調行為，傳統(tǒng)SMC系統(tǒng)的超調動作更大，兩者的調節(jié)時間較長，達到0.9 s。
圖4 仿真結果波形圖
圖5 仿真結果詳細對比圖
從圖5a～5b可看出：當電機在額定轉速的情況下，增加負載轉矩至額定轉矩時，新型SMC系統(tǒng)轉速波動較小，轉矩響應較快，轉矩變化曲線較平滑，擾動抑制性能較好。由圖5c～5d可看出：電機處于額定負載情況下，轉速發(fā)生突變降至500 r·min-1時，新型SMC 系統(tǒng)能更加快速地到達指定轉速且不發(fā)生超調，并且此時電磁轉矩的變化最為平滑。相比之下，基于改進型趨近律的SMC 系統(tǒng)的響應性能和抗干擾性能均優(yōu)于傳統(tǒng)SMC和PI控制。
4 結論
為進一步改善三相PMSM 控制系統(tǒng)的調速能力和魯棒性，增強系統(tǒng)的抗干擾能力，提出了一種基于改進型趨近律的SMC算法，并在PMSM矢量控制系統(tǒng)中搭建了基于改進型趨近律的速度滑?？刂破?，將其與傳統(tǒng)PI 算法和傳統(tǒng)SMC 算法進行比較。仿真結果表明：改進型速度滑?？刂破鞯恼{速性能更為優(yōu)越，當外界條件發(fā)生突變時，其轉速超調量更小，且輸出的電磁轉矩波動更為平順，在抑制抖動、抗干擾等方面具有良好的性能，滿足電動汽車驅動電機性能需求。
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滑?？刂疲⊿liding Model Control, SMC）具有響應迅速、魯棒性強、對系統(tǒng)參數(shù)變化不敏感等優(yōu)點，因而在各種復雜非線性系統(tǒng)的控制中能夠起到較好的效果。文獻［3］采用改進的冪次指數(shù)趨近率和Super-twisting 滑?？刂破鳂嫵闪薖MSM 直接轉矩控制系統(tǒng)，使得電機控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性均得到了提高；文獻［4］針對無人機動力學模型復雜且耦合性強的特點，以內環(huán)角速率為控制對象，提出了基于反饋線性化的滑?？刂撇呗裕贡豢貙ο笤谟幸欢ㄍ牧鳝h(huán)境下飛行具有穩(wěn)定性；文獻［5］將2種SMC方式相結合，設計了新型混合終端滑模觀測器，用于估測電機轉子的速度和位置；文獻［6］在改善水電機運行過程中的“假穩(wěn)定”問題時，引入了非線性滑?？刂撇呗?，將非線性滑模控制策略與傳統(tǒng)PID控制策略進行對比，結果表明SMC魯棒性優(yōu)于PID 控制。上述文獻的研究結果均證實了SMC方法的優(yōu)越性，但常規(guī)SMC方法具有嚴重的抖振［7］現(xiàn)象，會影響系統(tǒng)穩(wěn)定，因此文中提出以系統(tǒng)反饋誤差作為狀態(tài)變量的改進型趨近率SMC 方法，并采用光滑連續(xù)的準滑模函數(shù)取代傳統(tǒng)非連續(xù)函數(shù)符號函數(shù)，將其運用到電機轉速環(huán)控制策略中，并與傳統(tǒng)PI控制結果進行對照。
1 三相永磁同步電機數(shù)學模型
三相永磁同步電機由于結構復雜、參數(shù)繁多，各參數(shù)之間相互耦合、影響，因而是冗雜的非線性系統(tǒng)。為便于理論分析，將模型進行簡化［8］：1）電機鐵芯的飽和問題可忽略不計；2）電機中的渦流現(xiàn)象和磁滯損耗現(xiàn)象對電機性能不產生影響；3）通入電機的電流時刻為對稱的三相正弦波電流。
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2 趨近律控制方法
滑模變結構控制系統(tǒng)中，任一狀態(tài)空間點在系統(tǒng)內部的運行軌跡通常由2個部分組成：1）從遠離滑模面的任意位置趨近滑模面直至到達滑模面附近的趨近運動；2）在滑模面附近沿滑模面的滑動運動。具體運動軌跡如圖1 所示，x 為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，AB 稱作為系統(tǒng)空間點的趨近運動階段。此階段系統(tǒng)點的運動特性需滿足可達性條件，即系統(tǒng)的狀態(tài)空間變量能從任意位置在一定時間內到達滑模面附近，但點A 到達點B 的運動方式是任意的，傳統(tǒng)的SMC方法不能反映系統(tǒng)是以何種方式趨近于滑模切換面，而基于趨近律的控制方法則可彌補這一不足。由于趨近律可人為設計，故總能找到一種最為恰當?shù)内吔绞?，提高趨近運動階段系統(tǒng)的動態(tài)品質，同時減弱系統(tǒng)點在滑動運動階段因頻率過高而導致的系統(tǒng)抖振現(xiàn)象。
圖1 滑?？刂茽顟B(tài)運動軌跡
2.1 傳統(tǒng)指數(shù)型趨近律
傳統(tǒng)指數(shù)型趨近律如式（5）所示：
式中：s為滑模面函數(shù)；-εsgn(s)為等速趨近項；-qs為指數(shù)趨近項；ε為等速趨近律系數(shù)；q為指數(shù)趨近律系數(shù)。由式（5）可看出，q 的存在使得系統(tǒng)任一狀態(tài)空間點都能按照指數(shù)變化規(guī)律趨近滑模面。然而指數(shù)切換過程為一帶狀過程，當空間點到達滑模面附近時，會在滑模面兩側來回穿梭。為減少穿梭次數(shù)，減輕系統(tǒng)抖振，需要設計合理的ε值和q值，并采用連續(xù)函數(shù)取代符號函數(shù)sgn(s)，以保證系統(tǒng)的動態(tài)品質。
2.2 新型趨近律設計
在趨近運動階段，因為系統(tǒng)所存在的初始誤差無法被直接控制，而系統(tǒng)響應又容易受到內外條件波動所帶來的影響，因此在設計趨近律時應盡可能提高系統(tǒng)狀態(tài)空間點的趨近運動速度，縮短運動時間，降低內外干擾對系統(tǒng)響應的影響程度；但若速度過快，當空間點即將貼近切換面進入滑動運動狀態(tài)時無法及時減速，容易引發(fā)系統(tǒng)抖振。因此設計的趨近率需要滿足：當狀態(tài)空間點離滑模切換面較遠時，趨近運動的速度快速增加；而即將到達切換面時，趨近速度降低。新型趨近率為
式中：s 為滑模切換面函數(shù)；ε,q 為自定義的參數(shù)；ωref為電機參考轉速；ωm為電機實際反饋轉速；x1為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，其大小是電機參考轉速與實際反饋轉速的差值。
當系統(tǒng)狀態(tài)空間點遠離滑模切換面時，新型趨近律等價于
此時|s|>> 0，x1>> 0，趨近運動的速度近似與成正比，且|s|越大，運動速度越快，系統(tǒng)能夠在更短的時間內到達滑模面附近。
當系統(tǒng)狀態(tài)空間點達到切換面附近時，趨近律等價于
即s →0，x1→0，<< 1，系統(tǒng)速度近似為ε，趨近速度更小，系統(tǒng)空間狀態(tài)不會由于慣性而在切換面附近發(fā)生高頻振動現(xiàn)象，減弱了系統(tǒng)抖振。
為了進一步抑制到達滑模切換面時系統(tǒng)狀態(tài)空間變量運動軌跡的抖振，采用sigmoid（s）函數(shù)替代符號函數(shù)的作用，以改善電機的控制性能。sig?moid（s）函數(shù)定義如下：
與符號函數(shù)相比，sigmoid（s）函數(shù)可通過調整參數(shù)a 的數(shù)值來改變函數(shù)的斜率，使函數(shù)值在［-1,1］之間連續(xù)變化，如圖2所示。由圖2可知，當a值減小時，函數(shù)的斜率也隨之減小，控制效果更平順，函數(shù)值的變化速度較慢。當a為1時，sigmoid（s）函數(shù)的曲線變化率最接近開關函數(shù)，并且s為0 時函數(shù)值不會出現(xiàn)斷點。在|s|趨近于0的過程中，函數(shù)值逐漸減小直至為0；在|s|逐漸增大的過程中，函數(shù)值又會迅速增大變?yōu)橹涤蛏舷陆纭?/p>
圖2 不同a值下的sigmoid函數(shù)
綜上，改進型趨近律表達式為
2.3 穩(wěn)定性分析
定義Lyapunuov函數(shù)為
對式（11）求導，得
將式（10）代入式（12）可得：
式中：sigmoid（s）函數(shù)為奇函數(shù)。當s不等于0 時，小于0；當且僅當s等于0時，等于0。
綜上所述，改進型趨近律存在且穩(wěn)定，系統(tǒng)最終能夠到達滑模平衡點。
2.4 滑模轉速控制器設計
采用id= 0 的矢量控制方法，以表貼式三相PMSM為控制對象，建立d-q坐標系下的數(shù)學模型，如式（14）所示：
選擇合適的狀態(tài)變量，定義如下：
將式（14）與式（15）相結合，可得：
滑模面函數(shù)定義如下：
式中：c為需要設計的參數(shù)值,c > 0。
聯(lián)立式（10）與式（16），得速度滑模控制器表達式：
對式（20）進行積分，得速度滑模控制器輸出電流：
3 仿真與結果分析
為了驗證文中設計的SMC算法是否能帶來更優(yōu)越的控制效果，基于Matlab/Simulink平臺搭建三相PMSM矢量控制系統(tǒng)，將改進型SMC算法和傳統(tǒng)SMC算法、傳統(tǒng)PI算法進行比較。
3.1 仿真模型搭建
圖3 三相PMSM控制系統(tǒng)結構圖
PMSM控制系統(tǒng)結構圖如圖3所示。仿真對比實驗采用3 種控制系統(tǒng)進行對比：1）文獻［8］中工程整定法得到的PI 控制系統(tǒng)；2）基于普通指數(shù)趨近律的傳統(tǒng)SMC 系統(tǒng)；3）采用改進型趨近律的SMC系統(tǒng)。為保證仿真結果的客觀性，2種SMC系統(tǒng)中速度滑模控制器的趨近律中各項參數(shù)值相同，并設置c為50,ε為200,q為300。仿真電機模型采用180ST-M19015型號電機，各項參數(shù)如表1所示。
表1 電機參數(shù)
3.2 仿真結果分析
為驗證控制系統(tǒng)的全范圍調速能力和加載能力，設置電機初始轉速為1500 r·min-1，t為0.2 s時突增負載19 N·m，t為0.4 s時轉速由1500 r·min-1下降至500 r·min-1；仿真時間為0.6 s。仿真結果如圖4所示：在電機啟動階段，電流環(huán)作用較大，系統(tǒng)存在較大的轉矩波動，額定轉矩范圍內3種控制系統(tǒng)的轉速上升時間相差無幾，但改進型SMC 系統(tǒng)沒有超調動作，在快到達指定速度時上升速度減緩并完全跟隨給定速度，而PI 控制系統(tǒng)存在較大的超調行為，傳統(tǒng)SMC系統(tǒng)的超調動作更大，兩者的調節(jié)時間較長，達到0.9 s。
圖4 仿真結果波形圖
圖5 仿真結果詳細對比圖
從圖5a～5b可看出：當電機在額定轉速的情況下，增加負載轉矩至額定轉矩時，新型SMC系統(tǒng)轉速波動較小，轉矩響應較快，轉矩變化曲線較平滑，擾動抑制性能較好。由圖5c～5d可看出：電機處于額定負載情況下，轉速發(fā)生突變降至500 r·min-1時，新型SMC 系統(tǒng)能更加快速地到達指定轉速且不發(fā)生超調，并且此時電磁轉矩的變化最為平滑。相比之下，基于改進型趨近律的SMC 系統(tǒng)的響應性能和抗干擾性能均優(yōu)于傳統(tǒng)SMC和PI控制。
4 結論
為進一步改善三相PMSM 控制系統(tǒng)的調速能力和魯棒性，增強系統(tǒng)的抗干擾能力，提出了一種基于改進型趨近律的SMC算法，并在PMSM矢量控制系統(tǒng)中搭建了基于改進型趨近律的速度滑?？刂破?，將其與傳統(tǒng)PI 算法和傳統(tǒng)SMC 算法進行比較。仿真結果表明：改進型速度滑?？刂破鞯恼{速性能更為優(yōu)越，當外界條件發(fā)生突變時，其轉速超調量更小，且輸出的電磁轉矩波動更為平順，在抑制抖動、抗干擾等方面具有良好的性能，滿足電動汽車驅動電機性能需求。
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