趙亦嵐，朱小燕，盛文洋，高慧敏，陳健琳

（1.杭州市電力設(shè)計(jì)院有限公司，杭州 310012；2.杭州電子科技大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，杭州 310018）

0 引言

配電網(wǎng)無(wú)功優(yōu)化規(guī)劃是一個(gè)滿足約束條件下求取目標(biāo)函數(shù)極值的復(fù)雜非線性優(yōu)化問(wèn)題，通常需要先確定補(bǔ)償點(diǎn)，再用優(yōu)化算法確定補(bǔ)償量[1-7]。

通常采用靈敏度分析法來(lái)確定無(wú)功補(bǔ)償點(diǎn)。采用靈敏度分析法選擇配電網(wǎng)無(wú)功補(bǔ)償點(diǎn)時(shí)，考慮到靈敏度往往與負(fù)荷相關(guān)，往往按補(bǔ)償前潮流算出的靈敏度排序，得出的結(jié)果常常是同一條支路上相鄰的幾個(gè)節(jié)點(diǎn)，而這些高靈敏度節(jié)點(diǎn)中，一般只有一個(gè)節(jié)點(diǎn)是主節(jié)點(diǎn)，其余節(jié)點(diǎn)的靈敏度依賴于該節(jié)點(diǎn)潮流。當(dāng)主節(jié)點(diǎn)加上無(wú)功補(bǔ)償時(shí)，其他節(jié)點(diǎn)的靈敏度大幅下降。若將這些虛假的高靈敏度節(jié)點(diǎn)作為待補(bǔ)償節(jié)點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，則增大了尋優(yōu)的搜索空間，加重了優(yōu)化算法負(fù)擔(dān)，難以得到最優(yōu)解[8-9]。文獻(xiàn)[8]提出采用二階靈敏度矩陣來(lái)考慮系統(tǒng)的非線性特性及前后補(bǔ)償節(jié)點(diǎn)的影響，一定程度上避免了選擇虛高靈敏度節(jié)點(diǎn)，但它只考慮了二階非線性特性，更高階非線性特性難以求解。文獻(xiàn)[9]采用的層次聚類方法也可以一定程度上避免選擇虛高靈敏度節(jié)點(diǎn)。另外還有無(wú)功精確二次矩法、負(fù)荷功率阻抗矩法等方法，這些都是基于傳統(tǒng)潮流的方法，可能存在潮流無(wú)法求解的情況，無(wú)法分離出線性靈敏度部分和各階非線性靈敏度部分。

HELM（全純函數(shù)嵌入方法）是最近提出的一種潮流計(jì)算方法，這種方法完全顛覆了傳統(tǒng)的牛頓-拉夫遜法，它不依靠節(jié)點(diǎn)初始值，無(wú)需迭代，可以明確潮流解是否存在[10-12]。這種方法可以完全改變傳統(tǒng)的電力系統(tǒng)潮流計(jì)算、無(wú)功優(yōu)化、電壓穩(wěn)定分析等問(wèn)題[13]，但如何利用HELM 計(jì)算網(wǎng)損靈敏度、進(jìn)行無(wú)功優(yōu)化目前尚無(wú)相關(guān)文獻(xiàn)研究。

本文針對(duì)配電網(wǎng)無(wú)功補(bǔ)償選點(diǎn)的靈敏度計(jì)算依賴潮流等非線性問(wèn)題，提出了利用HELM 計(jì)算相關(guān)網(wǎng)損靈敏度的方法，并基于K-Means 聚類分析提出無(wú)功補(bǔ)償選點(diǎn)的策略。通過(guò)28 節(jié)點(diǎn)配電網(wǎng)算例仿真分析，驗(yàn)證了該算法的有效性。相比文獻(xiàn)[8-9]和其他方法，本文采用新的潮流計(jì)算方法，保證潮流確定可解，分離出了線性靈敏度和各階非線性靈敏度，易于求解。

1 HELM 潮流計(jì)算方法

由節(jié)點(diǎn)功率方程建立配電網(wǎng)潮流計(jì)算的數(shù)學(xué)模型（除根節(jié)點(diǎn)外無(wú)PV 節(jié)點(diǎn)，根節(jié)點(diǎn)為平衡節(jié)點(diǎn)，假設(shè)無(wú)接地支路）：

式中：m 為PQ 節(jié)點(diǎn)集合，在配電網(wǎng)中除了根節(jié)點(diǎn)為平衡節(jié)點(diǎn)，其他節(jié)點(diǎn)均為PQ 節(jié)點(diǎn)；i，k 為節(jié)點(diǎn)號(hào)；Vi，Vk分別為節(jié)點(diǎn)i 和節(jié)點(diǎn)k 的電壓；Yik為節(jié)點(diǎn)i、節(jié)點(diǎn)k 之間的導(dǎo)納；Si為節(jié)點(diǎn)i 的注入功率；N 為節(jié)點(diǎn)總數(shù)；上標(biāo)*表示共軛關(guān)系。

由于節(jié)點(diǎn)電壓與節(jié)點(diǎn)注入功率等存在關(guān)系，而注入功率包括有功和無(wú)功，常用復(fù)數(shù)表示，全純函數(shù)是復(fù)數(shù)分析方法，因此根據(jù)內(nèi)嵌全純函數(shù)方法，可以構(gòu)造一個(gè)節(jié)點(diǎn)i 電壓的內(nèi)嵌純虛函數(shù)：

式中：s 為內(nèi)嵌參數(shù)算子；ci（s）為i 節(jié)點(diǎn)的s 級(jí)數(shù)展開(kāi)；n 為s 級(jí)數(shù)階數(shù)；ci[n]為i 節(jié)點(diǎn)的電壓的s級(jí)數(shù)n 階項(xiàng)系數(shù)。

代入式（1）可得：

假設(shè)：

將式（2）和式（4）代入式（3）可得：

根據(jù)式（5）中s 級(jí)數(shù)的0 階系數(shù)相等，可以得到：

由式（6）可以求出ck[0]。

根據(jù)式（7）中s 級(jí)數(shù)的0 次方系數(shù)相等，可以得到：

當(dāng)s 階數(shù)為1 時(shí)，由式（5）中s 級(jí)數(shù)的1 階系數(shù)相等可得：

可以求出ck[1]。

由式（7）中s 級(jí)數(shù)的1 次方系數(shù)相等，可得：

求解可以得到dk[1]。

同理，逐步比較s 的n 次方級(jí)數(shù)的系數(shù)，逐步求解。

根據(jù)s 的n 次方級(jí)數(shù)的系數(shù)相等，由式（5）可知：

由式（7）中s 級(jí)數(shù)的n 次方系數(shù)相等，可得：

n 一直可以增加，可以逐步算出所有的ck[n]和dk[n]。

從而由式（2）可以得到Vi（s）。

當(dāng)s=1 時(shí)，代入式（2），可以得到潮流的解，如式（13）所示。

2 利用HELM 潮流計(jì)算網(wǎng)損相關(guān)靈敏度

要想求得電壓對(duì)節(jié)點(diǎn)注入有功功率和無(wú)功功率的靈敏度，也就是要求

由計(jì)算過(guò)程可知，ci[0]與注入功率無(wú)關(guān)，因此，均為0。

當(dāng)j=i 時(shí)：

由式（12）可知：

由此推出：

同理，由式（11）方程兩邊對(duì)Pj，Qj求偏導(dǎo)，可以得到：

由前面算出的電壓靈敏度就可以得到電力系統(tǒng)網(wǎng)損靈敏度，也可以得到每個(gè)部分的分項(xiàng)網(wǎng)損靈敏度。

分析可知，因?yàn)閏k[0]恒定，dSSdQ（0）為0；與負(fù)荷無(wú)關(guān)，因此dSSdQ（1）與負(fù)荷無(wú)關(guān)；與負(fù)荷一次方成正比，因此dSSdQ（2）與負(fù)荷一次方成正比；與負(fù)荷二次方成正比，因此dSSdQ（3）與負(fù)荷二次方成正比；以次類推。

3 基于聚類和HELM 分項(xiàng)網(wǎng)損靈敏度確定配電網(wǎng)無(wú)功補(bǔ)償點(diǎn)及容量

從前面推導(dǎo)可以看出，dSSdQ（2）與負(fù)荷一次方成正比，dSSdQ（3）與負(fù)荷二次方成正比，而且從后面仿真可以看出各分項(xiàng)網(wǎng)損靈敏度的排序一致，因此本文采用dSSdQ（2）來(lái)選擇無(wú)功補(bǔ)償節(jié)點(diǎn)。首先選擇dSSdQ（2）網(wǎng)損靈敏度最大的節(jié)點(diǎn)；然后對(duì)各節(jié)點(diǎn)根據(jù)dSSdQ（2）靈敏度和文獻(xiàn)[9]提出的負(fù)荷功率阻抗矩進(jìn)行K-Means 聚類，如果該節(jié)點(diǎn)不在無(wú)功補(bǔ)償集中，則根據(jù)網(wǎng)損最小確定補(bǔ)償容量，比較網(wǎng)損的減少量是否小于設(shè)備的投資費(fèi)用，如果小于則將該節(jié)點(diǎn)加入無(wú)功補(bǔ)償集；確定無(wú)功補(bǔ)償點(diǎn)后用遺傳算法優(yōu)化補(bǔ)償容量，這樣確定配電網(wǎng)無(wú)功補(bǔ)償節(jié)點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的容量。計(jì)算流程如圖1 所示。

4 算例分析

4.1 潮流計(jì)算結(jié)果分析

28 節(jié)點(diǎn)配電網(wǎng)單線圖如圖2 所示。支路參數(shù)和節(jié)點(diǎn)參數(shù)參照文獻(xiàn)[8]。

從圖3 中可以看出，HELM 潮流計(jì)算結(jié)果與前推回代法計(jì)算結(jié)果基本完全一致，是正確可行的。

圖1 無(wú)功補(bǔ)償優(yōu)化流程

圖2 28 節(jié)點(diǎn)配電網(wǎng)

圖3 2 種潮流計(jì)算結(jié)果對(duì)比

圖4 28 節(jié)點(diǎn)網(wǎng)損無(wú)功靈敏度曲線

4.2 網(wǎng)損無(wú)功靈敏度分析

28 節(jié)點(diǎn)網(wǎng)損無(wú)功靈敏度如圖4 所示。網(wǎng)損靈敏度通過(guò)擾動(dòng)加以驗(yàn)證是正確的。

從圖4 中可以看出，總的網(wǎng)損靈敏度dSSdQ與dSSdQ（2）接近，說(shuō)明網(wǎng)損靈敏度主要受負(fù)荷的一次方影響更大。dSSdQ（1）很小，說(shuō)明網(wǎng)損靈敏度受網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)影響較小。dSSdQ（3）也會(huì)一定程度地影響網(wǎng)損靈敏度的數(shù)值。階數(shù)越高，分項(xiàng)網(wǎng)損靈敏度越小。

另外，從圖中還可以看出，dSSdQ，dSSdQ（2），dSSdQ（3），dSSdQ（4）網(wǎng)損靈敏度的節(jié)點(diǎn)排序基本一致，但計(jì)算dSSdQ（3），dSSdQ（4）等后面的靈敏度需要先計(jì)算dSSdQ（2），說(shuō)明如果需要計(jì)算網(wǎng)損靈敏度排序來(lái)選擇節(jié)點(diǎn)時(shí)，可只計(jì)算dSSdQ（2）等其中一項(xiàng)即可，大大提高了計(jì)算速度。各個(gè)網(wǎng)損靈敏度的計(jì)算時(shí)間如表1 所示。

表1 各個(gè)網(wǎng)損靈敏度計(jì)算時(shí)間比較

由表1 可知，計(jì)算dSSdQ（2）靈敏度時(shí)間為0.003 583 s，計(jì)算dSSdQ時(shí)間為0.102 979 s，時(shí)間縮短了20 多倍，系統(tǒng)越大，計(jì)算速度提高得越明顯。

節(jié)點(diǎn)23，24，25，26 注入無(wú)功按照比例λ 變化，網(wǎng)損各項(xiàng)靈敏度如圖5 所示。

圖5 某些區(qū)域節(jié)點(diǎn)無(wú)功變化時(shí)網(wǎng)損無(wú)功靈敏度曲線

從圖5 中可以看出，當(dāng)節(jié)點(diǎn)23，24，25，26無(wú)功按照比例λ 變化時(shí)，dSSdQ 與dSSdQ（2），dSSdQ（3），dSSdQ（4）網(wǎng)損靈敏度變化趨勢(shì)一致，可以采用dSSdQ（2）來(lái)分析網(wǎng)損靈敏度的變化趨勢(shì)和排序。另外，當(dāng)節(jié)點(diǎn)23，24，25，26 無(wú)功補(bǔ)償增加時(shí)，這個(gè)區(qū)域的網(wǎng)損靈敏度得到顯著提升，導(dǎo)致系統(tǒng)網(wǎng)損靈敏度排序發(fā)生改變，說(shuō)明這種網(wǎng)損靈敏度改變有明顯的區(qū)域性，因此可以根據(jù)這些值進(jìn)行聚類分析選點(diǎn)。

結(jié)合dSSdQ（2）及文獻(xiàn)[9]提出的負(fù)荷功率阻抗矩對(duì)28 節(jié)點(diǎn)配電網(wǎng)進(jìn)行K-Means 聚類分析，并將28 個(gè)節(jié)點(diǎn)分成8 類，得到最佳聚類結(jié)果如圖6 所示。

圖6 28 節(jié)點(diǎn)聚類結(jié)果

由圖可知：節(jié)點(diǎn)4 為第一類節(jié)點(diǎn)；節(jié)點(diǎn)5，6，7，11 為第二類節(jié)點(diǎn)；節(jié)點(diǎn)8 為第三類節(jié)點(diǎn)；節(jié)點(diǎn)2，3，12，16 為第四類節(jié)點(diǎn)；節(jié)點(diǎn)13，14，15 為第五類節(jié)點(diǎn)；節(jié)點(diǎn)19，20 為第六類節(jié)點(diǎn)；節(jié)點(diǎn)9，10，17，18，21，27，28 為第七類節(jié)點(diǎn)；節(jié)點(diǎn)22，23，24，25，26 為第八類節(jié)點(diǎn)。在上述各類節(jié)點(diǎn)中選出該類HELM 靈敏度最高的節(jié)點(diǎn)作為無(wú)功補(bǔ)償點(diǎn)，并結(jié)合遺傳算法計(jì)算出這8 個(gè)點(diǎn)的最佳補(bǔ)償容量，如表2 所示。

表2 IEEE 28 配電網(wǎng)補(bǔ)償節(jié)點(diǎn)及容量

利用本文提出的方法選擇無(wú)功補(bǔ)償點(diǎn)，將得到的無(wú)功優(yōu)化結(jié)果與文獻(xiàn)[8]、文獻(xiàn)[9]方法進(jìn)行比較，如表3 所示。

表3 IEEE 28 配電網(wǎng)結(jié)果比較

從表3 可以看出，采用本文所提方法得到的無(wú)功補(bǔ)償容量更少，網(wǎng)損更低，從而驗(yàn)證了該方法的有效性。

5 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)傳統(tǒng)配電網(wǎng)無(wú)功優(yōu)化在選擇無(wú)功補(bǔ)償點(diǎn)時(shí)存在的問(wèn)題，基于HELM 推導(dǎo)了電壓對(duì)功率的靈敏度和網(wǎng)損對(duì)功率的靈敏度的計(jì)算方法，并提出利用網(wǎng)損分項(xiàng)靈敏度來(lái)選擇無(wú)功補(bǔ)償裝置安裝位置的新方法。通過(guò)28 節(jié)點(diǎn)配電系統(tǒng)的仿真驗(yàn)算，并與傳統(tǒng)靈敏度分析方法比較，驗(yàn)證了本文方法的有效性。與傳統(tǒng)網(wǎng)損靈敏度計(jì)算方法相比，這種網(wǎng)損靈敏度計(jì)算方法具有潮流確定可解，計(jì)算速度快，可以得到與負(fù)荷成比例關(guān)系的分項(xiàng)靈敏度，如果網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不變則其結(jié)構(gòu)靈敏度不變；如果網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)改變，則可以通過(guò)修改導(dǎo)納矩陣快速得到，其計(jì)算速度可以提高。