魏東升

(江西省瑞金第一中學，342500)

在利用導數解題時,導函數零點的處理往往是一個關鍵環(huán)節(jié),其中無法精確求解的“隱零點”成為學生解題的難點.對于這類問題,常見的處理方式主要有虛設零點和化隱為顯兩大類.其中化隱為顯是指為了避免出現(xiàn)直接求導帶來的隱零點問題,通過采取重新構造函數的方式,把隱零點轉化為顯零點的一種處理技巧.本文結合近幾年的幾道高考導數壓軸題,探討隱零點問題中化隱為顯的幾種主要策略,以供大家參考.

一、“雙雄”構造

(1)求a,b;

(2)證明：f(x)>1.

解(1)a=1,b=2.(過程略)

綜上，當x>0時，g(x)>h(x),即f(x)>1.

評注本題對f(x)利用導數整體研究時會碰到隱零點問題,上述解法把證f(x)>1等價拆分成兩個易求零點的函數(稱之為“雙雄”構造),回避了難點,簡化了問題處理.

二、分離構造

例2(2017年全國高考題)已知函數f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)≥0.

(1)求a;

(2)略.

綜上,所求a=1.

評注分離是處理函數或不等式問題的一種常見手段,通常用于分離參數,或者分離含有類似xlnx這樣的超越式.本題中除了分離參數,還由f(x)含有xlnx而導致求導后出現(xiàn)隱零點問題,故而采取了將x和lnx分離的處理方式.

三、合并構造

例3(2018年全國高考題)已知函數f(x)=ex-ax2.

(1)若a=1,證明:當x≥0時,f(x)≥1;

(2)略.

解(1)當a=1時,f(x)≥1等價于(x2+1)e-x-1≤0.

設g(x)=(x2+1)e-x-1,則g′(x)=-(x2-2x+1)e-x≤0,g(x)在(0,+∞)單調減,可知當x≥0時,g(x)≤g(0)=0,即f(x)≥1.

評注對于含有ex的函數,根據求導法則,由于[f(x)ex]′=[f′(x)+f(x)]ex,所以像例3這樣把f(x)≥1等價于(x2+1)e-x-1≤0,即將x2+1和e-x合并在一起求導,可以很好地避免隱零點的出現(xiàn).

四、放縮構造

例4(2018年全國高考題)已知函數f(x)=aex-lnx-1.

(1)略;

五、主元構造

(1)略;

評注前四種構造策略都是建立在以x為主元的框架內進行的，對于含參的函數(比如例5)，可構造以參數為主元的函數來實現(xiàn)化隱為顯的目的.

在導數壓軸題的教學過程中,像這樣以專題的形式介紹隱零點問題的處理策略,盡量一次性徹底地解決與其有關的問題,對學生解題水平的提升、邏輯思維的訓練和核心素養(yǎng)的培養(yǎng),想必都是極好的.