黃雪楠， 劉錫平

（上海理工大學 理學院，上海 200093）

1 問題的提出

由于分數(shù)階微積分在物理學、生態(tài)學、經(jīng)濟學等學科中具有廣泛的應用，國內(nèi)外學者對相關問題進行了大量的研究[1-8]。與經(jīng)典的整數(shù)階微積分不同，分數(shù)階導數(shù)與積分需要考慮左右不同的定義，而目前對同時包含左右兩個不同分數(shù)導數(shù)的微分方程的研究較少[9-11]。在現(xiàn)代工程技術與科學研究中，時滯對狀態(tài)的影響往往是不容忽視的，因此，時滯微分方程的理論研究受到人們的重視[12-14]。

現(xiàn)研究一類含左右分數(shù)導數(shù)的時滯微分方程

滿足積分邊界條件

有關分數(shù)階微積分的概念與基本性質(zhì)參見文獻[7-8]。本文的目的是建立一類含左右Caputo分數(shù)導數(shù)的時滯微分方程積分邊值問題（1），（2）解的存在性和唯一性定理。由于Riemann-Stieltjes 積分是Riemann 積分的推廣，Riemann-Stieltjes 積分邊值問題以兩點、多點以及一般的Riemann 積分邊值問題為特例，因此，本文所研究的問題更具有一般性。本文所研究的方程在非線性項中包含了狀態(tài)時滯項，該時滯項在分析系統(tǒng)的穩(wěn)定程度和性能方面具有重要的作用，某些情況下即使時滯很小也能給系統(tǒng)帶來嚴重的影響。同時含有左右分數(shù)階導數(shù)的微分方程在許多領域都有應用，如變分原理、分數(shù)階Lagrange 方程的極值問題、分數(shù)階導數(shù)泛函的最優(yōu)控制理論及哈密頓力學等。在文獻[15-16]中，作者提出了一種用分數(shù)階導數(shù)研究Euler-Lagrange 方程的方法，顯示出分數(shù)階微分方程在研究力學時所具有的優(yōu)勢。

2 預備知識

引理1設h∈C[0,1],a,b為常數(shù)，線性分數(shù)階微分方程非齊次邊值問題

因此，邊值問題（3）有解u=u(t), 并且為式（4）的形式。

反之，容易證明，若u=u(t)滿足式（4），則u=u(t)滿足式（3）。

由式（6）和式（7）可得引理2。

引理2對任意給定的(t,s)∈[0,1]×[0,1],G0(t,s)≥0,G1(t,s)≥ 0, 且G0(t,s),G1(t,s)在[0,1]×[0,1]上連續(xù)。

3 邊值問題的上下解方法

記E=C[?τ,1], 取范數(shù)是Banach 空間。設x,y∈E, 若對任意t∈[?τ,1], 都有x(t)≤y(t), 則記x≤y。

定義1若u∈C[?τ,1]滿足條件

綜上所述，xk≤xk+1。

由（H1）可得

即xk+1=xk+1(t)是邊值問題（10）的下解。

由引理3 可得引理4。

引理4假設（H1），（H2）成立，邊值問題（1），（2）存在上解yk(t)∈E，則邊值問題?

4 應用實例