張杏華

[摘 要]方程是初中數(shù)學的核心內(nèi)容之一，實施有效的方程教學的前提是對方程的教育價值有正確的認識.方程的教育價值在于方程蘊含著數(shù)學三大基本思想之一——模型思想.

[關鍵詞]方程;教育價值;模型思想

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2020）26-0001-03

在初中學段，無論是哪個版本的數(shù)學教材，方程都是核心內(nèi)容之一.因此，在實施教學前，教師有必要明確兩個問題：1.通過方程的學習，我們最希望學生獲得的是什么？2.基于這樣的需要，我們該如何開展教學？這是實現(xiàn)方程教學有效性的前提.本文以人教版教材為例，論述初中方程的教育價值及其在教學實踐中的實現(xiàn).

一、方程的概念

方程是含有未知數(shù)的等式.例如，[3x-6=0，34+2x=5 ， x2+2x=15-x].方程體現(xiàn)的是兩個數(shù)學式（如兩個數(shù)、函數(shù)、量、運算）之間的相等關系.

二、初中方程內(nèi)容的分布及結構

在初中數(shù)學教學內(nèi)容中，方程占有重要的地位.以人教版教材為例，編排了三個完整章和兩個分散節(jié)，共計十三節(jié).在內(nèi)容上，有一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程、分式方程;在結構上，分為三個板塊，即方程（方程組）的概念、方程（方程組）的解法、實際問題與方程（方程組）.

三、初中方程的教學要求

（一）基本知識和技能

使學生能根據(jù)所研究問題中的數(shù)量關系列出方程，并能用方程進行表述;掌握一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程、分式方程的解法.

（二）基本思想

使學生在用方程表述數(shù)量關系的過程中體會模型思想;在解方程的過程中體會化歸思想.

（三）基本活動經(jīng)驗

使學生經(jīng)歷 “實際問題—數(shù)學問題（方程、方程組）—實際問題”的過程，初步具備從不同角度分析問題和解決問題的能力并掌握一些基本方法.

四、方程的教育價值

關于方程的教育價值，七年級上冊第三章《一元一次方程》起始節(jié)中有一句點睛的話—— “通過今后的學習，你會逐步認識： 從算式到方程是數(shù)學的進步” . 這句話的引出在教材中是有其特殊背景的. 教材給出了一個問題：一輛客車和一輛卡車同時從A地出發(fā)沿同一公路同方向行駛，客車的行駛速度是[70 km/h]，卡車的行駛速度是[60 km/h]，客車比卡車早[1 h]經(jīng)過B地. A，B兩地間的路程是多少？教材先是提示學生嘗試列算式來解決，緊接著又引導學生利用小學的方程知識，列方程求解.

教學實踐證明，用算術的方法來解決，思維要求較高，相當一部分學生不能順利地解出，而用方程的方法，絕大多數(shù)學生可以較容易地列出方程.教材如此編排，意圖很明顯——讓學生親身體會在解決較復雜問題時方程優(yōu)于算式，從而對“從算式到方程是數(shù)學的進步”有初步的感性認識.

那么，方程優(yōu)于算式僅僅在于思維更簡捷嗎？ 其實不然.方程比算式的進步在于數(shù)學思想上的進步.作為初中數(shù)學核心內(nèi)容，方程是解決實際問題的重要數(shù)學模型之一（中學階段常見的模型還有不等式、函數(shù)等），更是算術法到代數(shù)法思維提升的重要標志. 它的進步性在于： 算術法的解題過程中只含有已知數(shù)，而方程通過等式使得未知數(shù)與已知數(shù)產(chǎn)生聯(lián)系，未知數(shù)得以參與運算，為解決問題提供了更多便利.這不是簡單的解題技巧，而是思維上的飛躍.

（一）方程的教育價值之一：模型思想

何謂“數(shù)學模型”？廣義地說，數(shù)學模型是一種數(shù)學關系（ 包括數(shù)量關系、位置關系、邏輯關系） 或結構，它采用形式化的數(shù)學語言，抽象、概括地描述了特定對象的特征.數(shù)學概念、數(shù)學理論體系、數(shù)學公式、數(shù)學方程以及由之構成的算法系統(tǒng)都可以稱為數(shù)學模型.

《課標》指出：模型思想的建立是學生體會理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑.在解決實際問題時，人們往往需要先剝?nèi)ゾ唧w對象的物質(zhì)性，將現(xiàn)實世界中的具體事物抽象為數(shù)學元素，再用數(shù)學符號建立方程、函數(shù)等數(shù)學模型來表示問題中各相關要素的數(shù)量關系或者變化規(guī)律，接著解決與實際問題毫無聯(lián)系的數(shù)學問題，最后再將結果還原至實際情境中，進行是否符合現(xiàn)實意義的驗證.在這個過程中，關鍵環(huán)節(jié)是建立模型.

下面以上述路程問題為例，體會模型思想在解決問題時所起的重要作用.

1.算術解法

由題意可知，因客車的時速已知，欲求路程，須求出客車的行駛時間.因為客車比卡車早[1 h]到達B地，所以客車到達時卡車距B地仍有60 km（60 × 1），而每經(jīng)過一個小時，客車便比卡車多行駛10 km（70 - 60），因此可以知道客車和卡車已經(jīng)分別行駛了[6 h6010].列出的算式為[70×60×170-60=420（km）].

2.方程解法

設A，B兩地相距[x km]，從A地到B地，客車和卡車的行駛時間分別為[x70，x60]，列出的方程為[x60-x70=1].

3.兩種解法的賞析

解此題時，可以判斷學生對于“[路程=速度×時間]”或其等價變形如“[時間=路程速度]”是比較熟悉的.

采用算術法時，由于已知速度，所以必須求出總時間，基礎一般的學生可能會試圖去求取總路程，但總路程也是未知，因此產(chǎn)生了難度，需要挖掘更本質(zhì)的關系，即

[客車行駛的時間=客車比卡車多走的路程客車時速-卡車時速]，方可列出正確的算式，[即客車行駛的時間=60×170-60=6（h）]，進而列出A、B兩地間的路程[=70×6=420（km）].

采用方程解法時，依據(jù)求什么就設什么的一般原則，可設[A、B兩地相距x km]，根據(jù)“[時間=路程速度]”，可知客車行駛的時間[=x70]，[卡車行駛的時間=x60]，由于[從A地到B地]，客車的行駛時間比卡車少[1 h]，所以列出方程為[x60-x70=1].

不難看出，雖然兩種解法在本質(zhì)上都是運用了“[時間=路程速度]”這個模型，但方程解法并不必像算術解法那樣挖掘更本質(zhì)的關系，思維難度明顯降低了.

4.結論

事實上，算式的思維方式是從結果倒推的逆向思維（為了求出路程，必須求出時間; 為了求出時間，必須求出…… ），列算式時是從已知出發(fā)，追本溯源，最后才能發(fā)現(xiàn)結果.在這個過程中，思路千頭萬緒，紛繁復雜，很難看出求解的路徑.方程則體現(xiàn)了模型思想，它最突出的優(yōu)勢是實現(xiàn)正向思考.更通俗的表述：方程法引入未知數(shù)，并把未知數(shù)視為已知數(shù)，相當于增加了已知條件，未知數(shù)與已知數(shù)享有相同權利，一起參與正向思考，更易于找到未知數(shù)與真正的已知條件的等量關系，便于列出方程.本質(zhì)上是利用列方程求解的正向操作，回避了對問題的逆向思考，從而降低了解決問題的難度.

當問題的各相關要素關系復雜時，與算術法相比，方程法是一種思路更清晰的解法.方程法的兩個步驟： （1）翻譯.實現(xiàn)從文字語言向數(shù)學語言的轉(zhuǎn)化.即用方程來表述問題中的等量關系;（2）解方程. 由于解方程有機械方法（程序性），故方程法的真正難點在第一步，與算式法相比，思維難度不可同日而語. 方程可以使用簡單的等量關系，付出相對復雜的計算的代價來解決問題.算術方法則相反， 必須挖掘出更本質(zhì)的等量關系，思維的難度顯然要大得多，得到的回報是計算容易了.

（二）方程的教育價值之二：化歸思想

化歸，就是在研究問題時，把待解決的研究對象，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結到一類已經(jīng)能解決或可能更容易解決的問題中去，最終使原問題得到解決的思維方法.化歸思想的精髓在于對各種數(shù)學問題進行合理變換，從而達到化陌生為熟悉、化未知為已知、化復雜為簡單、化抽象為具體的目的.

化歸思想主要體現(xiàn)在解方程的過程中.

解一元一次方程的過程是利用等式的性質(zhì)及運算律使方程形式逐步化簡，直至化為[x=a]（a為已知數(shù)）. 在此過程中，化歸思想起了重要作用.

解二元一次方程組時，通過消元，把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”，二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，這個過程體現(xiàn)了化歸思想.

解一元二次方程的基本思路則是把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解.具體做法是利用配方、因式分解等方法達到“降次”的目的.

解分式方程時，關鍵步驟在于將分式方程化歸為整式方程，最常用的辦法是去分母.

五、方程的教育價值的實現(xiàn)

著名荷蘭數(shù)學教育家弗賴登塔爾曾經(jīng)說過：數(shù)學中最主要的成分始終是思想方法，真正能夠指導思維訓練作用的是數(shù)學方法而不是具體的題材，因而必須強調(diào)方法，并盡可能使之明確. 因此，在方程的教學中，應設法提供足夠多的機會讓學生親身體會模型思想和化歸思想.

以下以筆者的一次教學實踐為例，闡述如何開發(fā)現(xiàn)有教學材料，讓學生充分體會模型思想.

原題：幾個人共同種一批樹苗，如果每人種10棵，則剩下6棵樹苗未種;如果每人種12棵，則缺6棵樹苗.求參與種樹的人數(shù).

此題是人教版七年級上冊第三章《一元一次方程》第二節(jié)《解一元一次方程（一）》的課后習題.由于剛剛學習了一元一次方程的概念和解法，為了達到及時鞏固新知識和熟練掌握新技能的目的，大多數(shù)教師對此題的處理都是要求學生列方程求解，不鼓勵甚至不允許學生列算式求解. 筆者認為，這是一道值得深挖內(nèi)在價值的好題目，無論是用算式求解還是方程求解，都繞不開數(shù)學模型，可以讓學生充分地體會模型思想.因此，筆者做了如下的教學設計.

環(huán)節(jié)一：請用算式和方程分別求解.

算式：[6-（-6）12-10=6（人）].

方程：設有[x]人種樹，則[10x+6=12x-6].

分析：

（1）算術法的思路：欲求人數(shù)，須求樹苗總棵數(shù);樹苗總棵數(shù)難求，但兩次種樹的人均種樹棵數(shù)有差異，導致總棵數(shù)也有差異，根據(jù)這個隱含的條件可以不必求出總棵數(shù)而求出人數(shù).

運用的數(shù)學模型是：

[種樹人數(shù)=第二次所有人多種的棵數(shù)總數(shù)第二次每人多種的棵數(shù)]

需要注意的是，此解法有一個“假設前提”，即第一種種樹方式要假設把剩下的6棵樹苗也種上，第二種種樹方式則要假設缺少的6棵數(shù)也要補種，這是算術解法繼如上分析需要挖出隱含條件后的第二個障礙.

（2）方程法的思路：找到等量關系，經(jīng)過“翻譯”，列方程.

運用的數(shù)學模型是“第一次的樹苗數(shù)=第二次的樹苗數(shù)”.

環(huán)節(jié)二：

變式一：幾個人共同種一批樹苗，如果每人種10棵，則剩下6棵樹苗未種;如果每人種11棵，則正好種完.求參與種樹的人數(shù).要求用算式和方程分別求解.

算式：[6-011-10=6].

方程：設有[x]人種樹，則[10x+6=11x].

分析：思路與原題完全一致.變式的目的是鞏固算術法和方程法的模型，強化模型意識，為變式二做準備.

環(huán)節(jié)三：

變式二：幾個人共同種一批樹苗，如果每人種11棵，正好種完;如果其中2人各種7棵，其余每人種13棵，也正好種完.求參與種樹的人數(shù).要求用算式和方程分別求解.

算式：[2+（11-7）×213-11=6].

方程：設有[x]人種樹，則[11x=2×7+13（x-2）].

分析：

（1）算術法

由于第二次種樹時2人少種，其他人多種，因此雖然算術法運用的數(shù)學模型表面仍然是[“種樹人數(shù)=第二次多種的總棵數(shù)第二次每人多種的棵數(shù)”]，但這個模型本質(zhì)上應該修正為[“種樹人數(shù)=第二次與第一次的總棵數(shù)差第二次與第一次的每人棵數(shù)差”]，難度隨之增大.

（2）方程法

運用的數(shù)學模型仍然是[“第一次的樹苗數(shù)=第二次的樹苗數(shù)”]，難度并沒有隨種樹方式趨于復雜而增加.

環(huán)節(jié)四：

請歸納出此類題型的算式模型、方程模型，并體會這兩種模型的優(yōu)劣.

此環(huán)節(jié)的設計意圖是讓學生親身體會模型思想并不是方程特有的，學生在小學階段曾經(jīng)非常熟悉的算式也是蘊含著模型思想的.但經(jīng)過對比，學生可以體會到方程在處理復雜問題時，運用模型思想的思維簡約美，并初步具備建模的意識和主動建模的意愿.

六、結語

數(shù)學是在對客觀世界進行不斷抽象概括的過程中逐漸形成的科學語言與工具.數(shù)學在人類社會的高速發(fā)展進程中發(fā)揮著越來越大的作用.數(shù)學也在不斷地發(fā)展、進步.學習數(shù)學，從根本上講是要獲得數(shù)學的思想和方法.從算式到方程之所以是數(shù)學的進步，是因為方程較之算式不但是技能上的進步，更是數(shù)學思想上的飛躍.初中方程的教育價值在于方程蘊含著深刻的數(shù)學思想.因此，在方程的教學中，基本知識和技能的學習和訓練固然不可缺失，但數(shù)學思想方法的揭示和提煉更重要.深刻理解方程的教育價值，結合學生實際，進行符合認知規(guī)律和學習心理的教學設計，使學生充分體會方程的思想并形成主動運用方程的意識，才能夠從根本上實現(xiàn)方程教學的課程目標.

[ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻 ? ]

[1] ?教育部.義務教育教科書：數(shù)學七年級上冊[M].北京：人民教育出版社，2012.

[2] ?李靜.數(shù)學課程標準（2011年版）的關鍵詞與初中數(shù)學教學[M].上海：華東師范大學出版社，2015.

[3] ?楊承軍.義務教育階段滲透數(shù)學模型思想的意義與策略探究[J].教育評論，2014（4）：117-119.

[4] ?中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[5] ?明清河.數(shù)學分析的思想與方法[M].濟南：山東大學出版社，2004.

（責任編輯 黃桂堅）