吳小康,SCHMID Robert，張 帆，張瑩冰，趙晉泉

(1.河海大學能源與電氣學院，江蘇 南京 210098； 2.墨爾本大學工程學院，澳大利亞 墨爾本 3010)

直流降壓變壓器因載流量大、易于控制以及響應快等優(yōu)點，廣泛應用于機動車供電、機械手臂控制和通信系統(tǒng)能源供給等領域[1]。目前直流降壓變壓器產(chǎn)業(yè)面臨的主要挑戰(zhàn)包括高控制精度需求下對穩(wěn)態(tài)響應無誤差、對瞬態(tài)響應收斂速度快且無超調(diào)以及負載變化或環(huán)境干擾魯棒性等[2]。直流降壓變壓器控制方法主要有比例積分微分(PID)控制和狀態(tài)空間控制。

PID控制具有直接、程序簡單等優(yōu)點。周雪松等[3]為提高DC-DC變換器的抗擾性能，建立PID型滑?？刂破鳎M而推導出系統(tǒng)等效控制表達式。張巍等[4]使用模糊PID控制無刷直流電動機，消除轉(zhuǎn)矩脈動，削弱換相區(qū)轉(zhuǎn)矩脈動，提升電機運行的魯棒性。PID控制器設計的關鍵為對比例參數(shù)、積分參數(shù)和微分參數(shù)的選擇，這些決定了控制的整體效果。PID算法中參數(shù)的選擇和調(diào)整取決于設計者的經(jīng)驗和喜好，科學的設計方法包括對PID算法進行頻域變換和分析[5]。

狀態(tài)空間控制在拓展性方面具有優(yōu)勢，系統(tǒng)被抽象為一個矩陣后可以用數(shù)學的方法計算出控制向量對被控制系統(tǒng)的影響[5-6]。Glady 等[7]在POESLLC直流變壓器上設計了一種補償器和PID控制器進行對比，發(fā)現(xiàn)與PID控制器相比，補償器可以提供更快的收斂速度。

筆者基于Schmid等[8-10]推導出的計算控制向量參數(shù)NOUS (non-overshooting and non-undershooting) 算法，設計了基于NOUS算法的狀態(tài)空間控制系統(tǒng)(以下簡稱NOUS控制系統(tǒng))，將該控制系統(tǒng)應用于直流降壓變壓器上，并設計PID控制系統(tǒng)與之進行對比，擬為尋找一種更加優(yōu)越的直流降壓變壓器控制系統(tǒng)方案提供參考。

圖1 直流降壓變壓器電路Fig.1 Circuit of DC-DC buck converter

1 直流降壓變壓器設計和建模

標準的直流降壓變壓器電路[11]見圖1,圖中Vg為電源輸入電壓，RC為電容內(nèi)阻，C為電容，RL為電感內(nèi)阻，L為電感，R為電阻，Vcontrol為方波控制電壓。

分析圖1中的電路模型，可得脈沖寬度調(diào)制(pulse width modulation， PWM)占空比d到輸出電壓Vout在頻域s上的傳遞函數(shù)Gp[2，5]為

(1)

用現(xiàn)代控制理論分析電路可得狀態(tài)空間模型(式(2)):

(2)

式中：Vload——負荷兩端電壓。

采用美國食品與藥品管理局（FDA）有關口服固體藥物利用度和生物等效性研究指南中推薦使用的 f2相似因子法［9‐10］來評價自研藥（受試藥品）與原研藥（對照藥品）體外溶出曲線的相似性，以考察其內(nèi)在質(zhì)量的差異。f2計算公式如下：

根據(jù)式(2)，定義A、B、C、D矩陣分別為

2 3種控制系統(tǒng)設計

2.1 NOUS控制系統(tǒng)和使用觀測器的NOUS控制系統(tǒng)的設計

2.1.1NOUS算法

對于一個有p個極點的n階系統(tǒng)，Moore設計了一種根據(jù)計算特征向量集V={v1,v2,...,vn},(vi∈Rn)和W={w1,w2,...,wn},(wi∈Rp)計算控制向量F=WV-1的計算方法[12]。構(gòu)建Rosenbrock矩陣方程[13]：

(3)

式中：I——單位矩陣；λi——系統(tǒng)的特征值，每個特征值對應一個向量si，對于i=1,2,...,n-p,λi應等于系統(tǒng)的零點zi,對應的si為零矩陣。

Robert在此基礎上提出了一種設計方法，在數(shù)學上證明了他的方法可以實現(xiàn)無超調(diào)控制，并命名其為NOUS控制：對于式(3)中i=n-p+1,…,n，λi可以隨意選擇，si=In-p+i。定義當前狀態(tài)向量x(t)和穩(wěn)態(tài)狀態(tài)向量xss的差為ζ(t)=x(t)-xss，并定義變量α=[α1,α2,…,αn]T=V-1ζ(0)，根據(jù)選擇的特征值λi計算α，當α滿足判據(jù)時，閉環(huán)控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應無超調(diào)[8-10]。

2.1.2NOUS控制系統(tǒng)設計

將式(2)中A、B、C、D矩陣代入式(3)，根據(jù)選擇的特征值(λ1,λ2)，可求得特征向量集V，據(jù)此算出α。對于二階系統(tǒng)的NOUS算法，無超調(diào)的判據(jù)為(α1+α2)α2>0。如果選擇的向量組不滿足判據(jù)，則嘗試下一組特征值。找到滿足條件的特征值后可計算降壓變壓器的控制向量F, 并算出反饋向量參數(shù)[8]。NOUS算法程序的流程見圖2。

圖2 NOUS算法程序的流程Fig.2 Flow chart of NOUS algorithm

在完成NOUS算法程序的基礎上，用傳感器測量電路中的參數(shù)變化，并據(jù)此更新NOUS算法控制器的參數(shù)，即可實現(xiàn)因負荷變化或擾動等原因系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時，該控制器的控制效果保持一致。

2.1.3 使用觀測器的NOUS控制系統(tǒng)設計

觀測器是在狀態(tài)空間控制器基礎上設計的附加控制系統(tǒng)。在實際應用中，系統(tǒng)的一些狀態(tài)參數(shù)受環(huán)境條件或是成本限制等因素影響難以得到測量，使用觀測器可以通過數(shù)學方法代替對部分參數(shù)的測量[5-6]。對于直流降壓變壓器，減去電流傳感器可以為原型機減少約20%的成本。而實際產(chǎn)品中一般不需要配置開發(fā)板的單片機，因此不用電流傳感器減少的成本會高于20%。通過添加觀測器，可以減去這部分成本。

(4)

式中：G——觀測器反饋增益；u——控制輸入。

一般情況下，選擇觀測器的特征值使其收斂速度比閉環(huán)控制系統(tǒng)快2～6倍較為合適[6，14-15]。選定觀測器特征值后可以計算得觀測器反饋增益G。

2.2 PID控制系統(tǒng)設計

本文設計PID控制系統(tǒng)目的是作為NOUS控制系統(tǒng)的實驗對照組在直流降壓變壓器原型機上運行。PID控制系統(tǒng)的設計目標為擁有盡可能短的瞬態(tài)響應時間，使瞬態(tài)響應無超調(diào)和具有魯棒性[16-17]。本文用波特圖進行PID控制系統(tǒng)參數(shù)選擇。

標準PID控制的傳遞函數(shù)為[5]

(5)

式中：Kp、KI、KD——PID控制比例、積分、微分參數(shù)；K——傳遞函數(shù)的放大系數(shù)；Z1、Z2——傳遞函數(shù)的2個零點。

閉環(huán)傳遞函數(shù)正相關于式(1)(5)之積：

T(s)∝GP(s)GPID(s)

經(jīng)過在波特圖上繪制T(s)，選擇Z1=0.1，Z2=10-6可以使150 Hz以上幅頻降低以消除噪音；選擇K=1.86，可以使階躍響應無超調(diào)并獲得最短的達到穩(wěn)態(tài)時間。綜上，PID控制系統(tǒng)的3個參數(shù)分別為KP= 0.186、KI= 1.86、KD=1.86×10-7。

3 3種直流降壓變壓器控制系統(tǒng)性能對比

分別從階躍響應、魯棒性對PID控制系統(tǒng)、NOUS控制系統(tǒng)和含觀測器的NOUS控制系統(tǒng)的直流降壓變壓器控制性能進行對比。

3.1 階躍響應測試

階躍響應測試主要考察電路控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差和瞬態(tài)響應的特性。根據(jù)應用的需要，會對瞬態(tài)響應的特性有各種要求，最常見的包括收斂速度快、無超調(diào)等。本文定義成功的降壓變壓器的階躍響應具有的特征為：(a)10 V以階躍響應內(nèi)穩(wěn)態(tài)誤差小于0.1 V；(b)收斂到允許誤差以內(nèi)的時間短于20 ms；(c)瞬態(tài)響應無超調(diào)。0～6 V的階躍響應實驗中輸出電壓在示波器上的對比結(jié)果見圖3、表1。

圖3 3種控制系統(tǒng)下降壓變壓器0～6 V階躍響應在示波器上的結(jié)果Fig.3 0-6 V step response of the buck converter with 3 controllers on oscilloscope

表1 3種控制系統(tǒng)下變壓器0～6 V階躍響應實驗結(jié)果

圖3中可看出：從穩(wěn)態(tài)誤差的角度考察，NOUS控制系統(tǒng)、帶觀測器的NOUS控制系統(tǒng)和PID控制系統(tǒng)都能實現(xiàn)穩(wěn)態(tài)誤差小于0.1 V；從收斂速度的角度考察，NOUS控制系統(tǒng)收斂速度最快，帶觀測器的NOUS控制系統(tǒng)其次，PID控制系統(tǒng)收斂速度較慢；從超調(diào)的角度考察，PID控制系統(tǒng)和NOUS控制系統(tǒng)都如設計預想一樣，實現(xiàn)了瞬態(tài)響應無超調(diào)，帶觀測器的NOUS控制系統(tǒng)具有超調(diào)。

NOUS控制系統(tǒng)在階躍響應中展現(xiàn)出優(yōu)越性，它擁有更小的穩(wěn)態(tài)誤差，更快的收斂速度。而加入觀測器的NOUS控制系統(tǒng)表現(xiàn)不佳，它的穩(wěn)態(tài)誤差較大并且階躍響應有超調(diào)，和原本設計的意圖不符，但在收斂速度上仍然優(yōu)于PID控制系統(tǒng)。

狀態(tài)空間控制需要非常精確的建模才能保證控制結(jié)果符合預期，在反饋信息充足的情況下，系統(tǒng)可以修正有限的誤差，但是使用觀測器的情況下，用計算代替一部分反饋向量的信息，導致誤差被放大。而用相同的系統(tǒng)參數(shù)在MATLAB的仿真中NOUS控制系統(tǒng)和帶觀測器的NOUS控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應幾乎完全一樣，僅控制信號波形有些許不同，可見觀測器會導致建模誤差放大，使得控制效果與預期有差別。

3.2 魯棒性測試

圖4 負載電阻從21 Ω跳變?yōu)?.5 Ω時2種控制方法下變壓器瞬態(tài)響應Fig.4 Transient response of the converter with 2 controllers when load changes from 21 Ω to 4.5 Ω

負載電路中加一個開關可以使負載電阻在4.5 Ω和21 Ω之間切換，本文將以此測試系統(tǒng)的魯棒性。狀態(tài)空間控制方法需要所有準確的系統(tǒng)參數(shù)進行建模，包括負載電阻，所以當切換負載電阻的時候，控制方法也需要進行實時更新。本文中NOUS控制系統(tǒng)的算法，包括根據(jù)NOUS判據(jù)尋找符合條件的極點程序都被翻譯成C語言寫入單片機使其能夠檢測負載電阻的變化并在線更新控制器算法。檢測負載電阻需要對電流進行測量，而觀測器的價值就在于代替電感電流測量，所以這里不加入魯棒性測試對比。實驗分別記錄了NOUS控制系統(tǒng)和PID控制系統(tǒng)在電阻從21 Ω突變到4.5 Ω時的瞬態(tài)響應，結(jié)果如圖4所示。

圖4中，PID控制系統(tǒng)下直流降壓變壓器重新回到穩(wěn)態(tài)的時間為8.1ms，NOUS控制系統(tǒng)下直流降壓變壓器重新回到穩(wěn)態(tài)的時間為22.4 ms，證明了PID控制系統(tǒng)優(yōu)越的魯棒性。而狀態(tài)空間控制下每次系統(tǒng)的變化都需要對控制程序進行重新計算，從檢測到參數(shù)變化到計算出新的控制向量所花的時間以及這段時間內(nèi)產(chǎn)生的較大輸出偏差，導致其魯棒性不如PID控制。

4 結(jié) 語

a. 基于狀態(tài)空間控制的NOUS控制系統(tǒng)具有最優(yōu)秀的瞬態(tài)響應和收斂速度。在設定值頻繁變化，并且對控制的速度和精度有較高要求的時候，是更優(yōu)越的控制方法。但是基于狀態(tài)空間的算法需要對被控制系統(tǒng)進行準確的建模，這意味著系統(tǒng)中參數(shù)的變化會導致控制失效，不具備魯棒性。因為狀態(tài)空間控制的極點選擇和控制效果均可量化，在NOUS算法中表現(xiàn)為滿足一定判據(jù)下可保證瞬態(tài)響應的無超調(diào)，所以可以把控制程序的設計步驟寫入單片機，讓系統(tǒng)自行檢查系統(tǒng)中參數(shù)的變化實時更新控制算法，實現(xiàn)魯棒性。

b. 使用NOUS控制系統(tǒng)的直流降壓變壓器有成本較高的缺點，因為狀態(tài)空間算法需要更多的反饋參數(shù)，在直流降壓變壓器中表現(xiàn)為額外的電流傳感器的成本。但這個缺點可以通過設計觀測器來彌補。帶觀測器的NOUS控制系統(tǒng)仍保留了收斂速度快的優(yōu)點，但會導致控制系統(tǒng)建模中的誤差被放大，影響輸出結(jié)果。

c. PID控制系統(tǒng)在收斂速度和瞬態(tài)響應的波形均不如NOUS控制系統(tǒng)，但是具有程序簡潔、魯棒性好的優(yōu)點。這兩個優(yōu)點使PID控制系統(tǒng)在現(xiàn)代工業(yè)控制中最為常用。

d. NOUS控制系統(tǒng)和PID控制系統(tǒng)各有優(yōu)劣，在處理頻繁的設定值變化時應選擇NOUS控制系統(tǒng)；在系統(tǒng)無法精確建模，或系統(tǒng)模型需要持續(xù)變化時，PID控制系統(tǒng)是更好的選擇。

NOUS控制算法在直流降壓變壓器控制上的應用僅僅是一種簡單應用，它可以處理更高階的復雜系統(tǒng)[9]。在復雜系統(tǒng)中，基于狀態(tài)空間的控制算法更具價值和意義[18]。未來的研究可以著眼于更復雜的控制系統(tǒng)，如風電機控制、自動駕駛等，NOUS控制系統(tǒng)無超調(diào)的特性使其在這些領域會有更加具體和重要的意義。