王 振，劉蘋妮，馬國亮

（空軍工程大學空管領航學院，西安 710051）

0 引言

對定槳距小型四旋翼飛行器的研究已經(jīng)有十幾年的歷史。加拿大的A Tayebi 和S McGilvary 證明了使用四旋翼設計可以實現(xiàn)穩(wěn)定飛行［1］。澳大利亞的Phillip McKerrow 對其進行了精確的建模［2］。國內(nèi)學者對定槳距四旋翼飛行器的研究集中在飛行器控制算法方面［3-4］。然而，定槳距四旋翼飛行器由于定槳距機構(gòu)的限制，導致其只能通過改變直流電機的轉(zhuǎn)速來改變旋翼產(chǎn)生的升力，并且只能產(chǎn)生方向向上的升力。同時，由于電機存在轉(zhuǎn)動慣量，改變直流電機兩端的電壓，若要得到期望的轉(zhuǎn)速則需要較長時間。因此，定槳距機構(gòu)的限制將限制四旋翼飛行器的機動性能。

變槳距技術(shù)通過控制槳葉自動旋轉(zhuǎn)到主控制器設定的角度，使葉片的迎風角始終保持在最佳位置，從而獲得更好的空氣動力學性能［1-2］。變槳距調(diào)節(jié)技術(shù)分為同步變槳距調(diào)節(jié)技術(shù)和獨立變槳距調(diào)節(jié)技術(shù)［3-4］，已被廣泛應用于風力［5-6］、潮流［7］發(fā)電機組。將變槳距技術(shù)應用于微小型四旋翼飛行器控制系統(tǒng)，可極大地減小飛行器的控制延遲，提高姿態(tài)響應，增加飛行器的機動性和靈活性，因此，變槳距四旋翼飛行器控制技術(shù)逐漸成為研究熱點［8-11］。

針對四旋翼飛行器系統(tǒng)多變量、欠驅(qū)動、強耦合以及干擾敏感等特性［12］，本文在電機旋翼系統(tǒng)動力學模型的基礎上，推導變槳距電機旋翼系統(tǒng)控制律，基于牛頓-歐拉方程和四元數(shù)運動學，建立四旋翼飛行器動力學模型，推導槳距角分配矩陣，設計航跡跟蹤控制律，實現(xiàn)對變槳距四旋翼飛行器的高精度航跡跟蹤控制。

1 變槳距電機旋翼系統(tǒng)控制模型

1.1 電機旋翼系統(tǒng)動力學模型

四旋翼飛行器采用無刷直流電機作為驅(qū)動器來控制螺旋槳的轉(zhuǎn)速ω：

式中，v 為電機的終端電壓，KV為電機電壓常數(shù)，R為電機轉(zhuǎn)子的總阻抗，i0為空轉(zhuǎn)電流，KQ為電機轉(zhuǎn)矩常數(shù)，MD為電機的阻力矩。

根據(jù)葉素理論和動量理論，旋翼轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的升力和阻力矩分別為：

式中，ρ 為空氣密度，σ 為旋翼槳距角，c 為旋翼弦寬，R 為旋翼弦長，CLα為旋翼升力系數(shù)，CDα為旋翼阻力系數(shù)。

將式（3）代入式（1）可得：

將式（4）在四旋翼飛行器懸停時所需的槳距角σ0與轉(zhuǎn)速ω0進行小擾動線性化：

從式（5）可以看出，對于定槳距電機旋翼系統(tǒng)，升力的增加是通過增加直流電機兩端的電壓Δυ 得到的，升力的改變速度受到電機響應速度的影響。而變槳距電機旋翼系統(tǒng)的升力可以通過改變電壓Δυ 和槳距角Δσ 兩個因素來改變，如果只考慮改變槳距角，則升力改變的速度將不受限于電機的響應速度。

1.2 變槳距電機旋翼系統(tǒng)控制律

如果不考慮舵機的執(zhí)行速度，通過直接改變槳距角可瞬間得到需求的升力改變量ΔFLd：

則

根據(jù)式（7），若瞬間得到需求的升力改變量ΔFLd，則需要實時對狀態(tài)Δω 進行反饋，這會使控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)變得復雜。

現(xiàn)將槳距角改變量Δσ 變?yōu)殚_環(huán)形式：

對比式（8）與式（7）可知，若使Δω 盡快保持為0，升力的改變量也會迅速達到ΔFLd。那么，問題轉(zhuǎn)化為將式（8）代入式（5）后，調(diào)節(jié)電機兩邊的電壓Δυ，使轉(zhuǎn)速的改變量Δω 迅速變?yōu)?。

此時，

基于狀態(tài)方程式（10）可將變槳距電機旋翼系統(tǒng)控制問題建模為典型的連續(xù)時不變系統(tǒng)有限時間狀態(tài)跟蹤問題：

式中，p、q、r 分別為正實數(shù)，該模型是在滿足狀態(tài)方程約束與終端約束的條件下，使性能指標Γ最小。

根據(jù)最小二次型最優(yōu)控制求解方法，可得：

式中，K（t）滿足一階黎卡提微分方程：

K（t）的邊界條件K（tf）=p。

標量函數(shù)g（t）滿足微分方程：

基于上述模型可得到變槳距電機系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

圖1 變槳距電機系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

2 變槳距四旋翼飛行器航跡跟蹤控制

2.1 四旋翼飛行器動力學模型

定義如圖2 所示的地面坐標系OdXdYdZd和機體坐標系ObXbYbZb，其中ObXb軸取為飛行器的速度方向。

圖2 四旋翼飛行器坐標系

四旋翼飛行器動力學模型的建立基于以下假設：

1）飛行器機體為一個剛體；

2）不考慮電機、機架的安裝誤差，認為飛行器機體為對稱分布。

根據(jù)牛頓-歐拉方程和四元數(shù)運動學，建立模型如下［13］：

從四旋翼飛行器的特點可知，飛行器受到的除重力外的合外力為4 個旋翼產(chǎn)生的升力之和，方向為沿著軸或其反方向，即

合外力矩Mb有3 個分量，分別為俯仰力矩，橫滾力矩和偏航力矩。

式中，MDi為4 個電機旋翼產(chǎn)生的阻力矩，d 為升力矢量到坐標軸的徑向矢量距離。

將式（3）代入式（16）、式（17）可得：

定義控制量U：

則

根據(jù)式（19），若給定槳距角σ 與電機轉(zhuǎn)速ω 的關(guān)系，即可通過U 反求出4 個槳距角與4 個轉(zhuǎn)速。前面已證明，變槳距電機旋翼系統(tǒng)使電機轉(zhuǎn)速一直穩(wěn)定在某一個值時，升力的響應最快，因此，本文假設4 個電機轉(zhuǎn)速全部穩(wěn)定在固定值ω0。此時，可求解出4 個槳距角：

2.2 四旋翼飛行器航跡跟蹤控制律

四旋翼飛行器的航跡點為空間離散的狀態(tài)點，包括位置、速度、加速度信息。本文采用四元數(shù)方法來推導四旋翼的航跡跟蹤控制律。假設為飛行器提供目標點位置矢量和飛行器的目標偏航角，通過推導控制律，得到飛行器需產(chǎn)生的力與力矩。

運用PID 控制方法［14］，反饋加速度矢量可以表示為：

其中，e 為誤差距離矢量，rd為當前的位置矢量，為目標位置矢量。進而，可以求出四旋翼受到的合外力Fd：

將式（24）代入式（15）可得：

加入目標航偏角，得到目標四元數(shù)qd：

姿態(tài)誤差四元數(shù)qe：

式中，q*為q 的共軛四元數(shù)。

下面，推導誤差角速度。

于是，姿態(tài)誤差角速度Ωd為

其中

由于單位四元數(shù)空間是SO（3）的雙覆蓋，因此，單位四元數(shù)表示姿態(tài)誤差可能出現(xiàn)標量部分為負的情況，此時可直接將四元數(shù)表示的誤差轉(zhuǎn)換為其等效表示即可。

根據(jù)姿態(tài)誤差四元數(shù)qe與姿態(tài)誤差角速度Ωd，設計四旋翼飛行器的姿態(tài)控制器為：

變槳距四旋翼飛行器系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)，如圖3所示。

圖3 變槳距四旋翼飛行器系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)圖

3 仿真實驗與分析

3.1 變槳距電機旋翼系統(tǒng)控制仿真

對提出的變槳距電機旋翼系統(tǒng)控制策略的控制性能進行仿真，并與只改變槳距角或只改變電機電壓兩種控制策略的控制性能進行對比，仿真在MATLAB/Simulink 環(huán)境中進行，仿真所用參數(shù)如表1 所示。

表1 變槳距電機旋翼系統(tǒng)參數(shù)表

從圖4、圖5 所示升力變化曲線、電機轉(zhuǎn)速變化曲線可以看出，只改變槳距角會導致電機轉(zhuǎn)速降低，升力出現(xiàn)較大的超調(diào)；而只改變電機兩端電壓，由于電機的固有動態(tài)響應，升力變化緩慢。而本文給出的基于最優(yōu)控制方法同時改變槳距角和電機電壓的控制策略，升力的暫態(tài)響應遠遠優(yōu)于前兩者。

圖4 升力變化曲線圖

圖5 電機轉(zhuǎn)速變化曲線圖

3.2 航跡跟蹤控制仿真

航跡跟蹤控制性能仿真所用的四旋翼飛行器參數(shù)如表2 所示。

表2 四旋翼飛行器參數(shù)表

圖6 Z 軸位置變換曲線圖

仿真2：基于提出的航跡跟蹤控制律計算變槳距四旋翼對給定航路的跟蹤性能。圖7 給出了軌跡跟蹤三維圖，圖8、圖9 分別給出了飛行器x 與y 方向的速度位移曲線，仿真結(jié)果表明，所設計基于航跡跟蹤控制律能夠?qū)崿F(xiàn)變槳距四旋翼飛行器對給定航路的高精度追蹤，具有良好的魯棒飛行能力。

圖7 飛行軌跡跟蹤三維圖

圖8 x 方向速度、位移曲線

圖9 y 方向速度、位移曲線

4 結(jié)論

本文在變槳距電機旋翼系統(tǒng)動力學模型的基礎上，基于最優(yōu)控制理論推導出其控制律；運用四元數(shù)方法建立了四旋翼飛行器的動力學模型，設計了航跡跟蹤控制律，通過仿真驗證了變槳距四旋翼飛行器在機動性上要優(yōu)于定槳距四旋翼飛行器，提出的控制方法能夠?qū)崿F(xiàn)對變槳距四旋翼飛行器的高精度航跡跟蹤控制。盡管性能上具有明顯優(yōu)勢，但變槳距控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)遠比定槳距控制系統(tǒng)復雜，因此，下一步將從飛行試驗的層面深入研究變槳距技術(shù)在微小型四旋翼飛行器的工程應用問題。