徐 池，韓 東，田曉銘，李 梁

（海軍大連艦艇學(xué)院 大連 116018）

0 引言

短波通信具有通信距離遠(yuǎn)、開通迅速、機(jī)動靈活、網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)便捷等優(yōu)點(diǎn)，是軍事通信和應(yīng)急通信的重要手段之一［1-4］。例如，美國羅克韋爾·柯林斯公司在近幾年多次成功演示了新一代寬帶高頻通信系統(tǒng)，用以驗(yàn)證美軍在無衛(wèi)星通信保障條件下的遠(yuǎn)程通信能力。

隨著通信技術(shù)的不斷發(fā)展，短波通信在寬帶高速數(shù)據(jù)傳輸、遠(yuǎn)距離通信鏈路自動建立、綜合組網(wǎng)協(xié)議構(gòu)建等方面都取得了一定的技術(shù)突破［5］。其中，短波通信頻率的優(yōu)選一直是短波通信中的關(guān)鍵問題之一，特別是在軍事通信領(lǐng)域，短波通信頻率的優(yōu)選需要綜合多種技術(shù)手段，進(jìn)而滿足軍事訓(xùn)練、作戰(zhàn)需求。按照技術(shù)原理劃分，短波通信頻率的優(yōu)選可分為頻率預(yù)測和頻率探測兩大類，頻率預(yù)測又可以進(jìn)一步劃分為在時間維上的頻率預(yù)測和空間維上的頻率重構(gòu)，時間維的預(yù)測和空間維的重構(gòu)適用于不同的應(yīng)用背景。當(dāng)前，國內(nèi)外學(xué)者研究出了很多時間維上的頻率預(yù)測方法，例如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊小波、混沌算法等預(yù)測方法［6-7］?？臻g維上的頻率重構(gòu)技術(shù)也取得了一定的發(fā)展。經(jīng)過研究驗(yàn)證和實(shí)際應(yīng)用表明，空間局部估計(jì)（或稱空間局部插值）法在短波頻率重構(gòu)中具有較好的使用效果，充分提高了已廣泛采集的、大量的短波頻率數(shù)據(jù)的使用效益［8-9］。本文利用短波通信實(shí)測頻率數(shù)據(jù)，構(gòu)建基于球狀模型的泛克里金法，將方法應(yīng)用于短波頻率重構(gòu)中，驗(yàn)證方法的可行性，并研究短波頻率沿不同漂移方向的變化情況，給出具體應(yīng)用流程及計(jì)算過程。

1 泛克里金法基礎(chǔ)理論

克里金法能夠基于采樣數(shù)據(jù)反映的區(qū)域化變量的結(jié)構(gòu)信息（由變異函數(shù)或協(xié)方差函數(shù)提供），根據(jù)待估點(diǎn)有限領(lǐng)域內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)，考慮樣本點(diǎn)的空間相互位置關(guān)系、與待估點(diǎn)的空間位置關(guān)系，對待估點(diǎn)進(jìn)行一種無偏最優(yōu)估計(jì)，并且給出估計(jì)精度［10］。常用的克里金法有簡單克里金法、普通克里金法、泛克里金法等，考慮到電離層變化的漂移特性、采樣數(shù)據(jù)的稀疏程度等因素，可將泛克里金法引入短波頻率重構(gòu)中，在相關(guān)變程內(nèi)構(gòu)建符合頻率數(shù)據(jù)變化規(guī)律的球狀變異函數(shù)模型，沿不均勻體漂移方向建立頻率數(shù)據(jù)的漂移方程，基于大量短波通信實(shí)測頻率數(shù)據(jù)反映的空間結(jié)構(gòu)信息［10-12］，對該區(qū)域內(nèi)未知點(diǎn)處的區(qū)域化變量進(jìn)行無偏最優(yōu)估計(jì)。

1.1 泛克里金法基本原理

泛克里金法是一種基于空間分布的結(jié)構(gòu)性和隨機(jī)性對區(qū)域化變量進(jìn)行無偏最優(yōu)估計(jì)的方法［13］。該方法首先分析數(shù)據(jù)中存在的變化趨勢，獲得擬合模型；其次，對殘差數(shù)據(jù)進(jìn)行克里金法分析；最后，將趨勢面分析和殘差分析的克里金法結(jié)果加和，得到最終結(jié)果。

當(dāng)一個變量呈現(xiàn)空間分布時，就稱之為區(qū)域化變量Z（x）。這種變量反映了空間某種屬性的分布特征。泛克里金法中非平穩(wěn)區(qū)域化變量Z（x）可分解為漂移m（x）、漲落R（x）兩部分，即Z（x）=m（x）+R（x）。漂移m（x）=E［Z（x）］定義為Z（x）的數(shù)學(xué)期望，也具有非平穩(wěn)性，通常采用多項(xiàng)式的表達(dá)形式：

可依據(jù)變量具體的漂移特性寫成與坐標(biāo)有關(guān)的函數(shù)。已知某區(qū)域內(nèi)n 個樣本鄰域點(diǎn)xi（i=1，2，…，n）處的區(qū)域化變量為Z（xi）（i=1，2，…，n），則待估域內(nèi)未知點(diǎn)x0處Z（x0）的估計(jì)量為：

其矩陣形式可寫為：

其中，γij為變異函數(shù)值。

1.2 基于球狀模型的變異函數(shù)

變異函數(shù)是以區(qū)域化變量理論為基礎(chǔ)建立的基本函數(shù)，能夠描述區(qū)域化變量的結(jié)構(gòu)性、隨機(jī)性變化。變異函數(shù)理論模型主要包括球狀模型、高斯模型、指數(shù)模型等［5］。其中，球狀模型又稱Matheron（馬特隆）模型，在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)95%以上的實(shí)驗(yàn)變異函數(shù)（h，γ*（h））離散數(shù)據(jù)均可采用該模型進(jìn)行擬合，適用范圍廣泛。球狀模型的表達(dá)式可具體參考文獻(xiàn)［10］。

需要強(qiáng)調(diào)的是，為了定量地描述整個區(qū)域的變量特征，必須給出實(shí)驗(yàn)變異函數(shù)曲線配以相應(yīng)的理論模型，而要使該理論模型精確、真實(shí)地反映變量的變化規(guī)律，就需要在建立理論模型過程中對模型進(jìn)行最優(yōu)擬合，即根據(jù)實(shí)驗(yàn)變異函數(shù)值，選擇合適的理論模型來擬合一條最優(yōu)的理論變異函數(shù)曲線，最優(yōu)擬合的過程實(shí)質(zhì)是擬合最優(yōu)模型的過程。變異函數(shù)理論模型的最優(yōu)擬合主要包括3 個步驟：確定變異函數(shù)模型形態(tài)；模型參數(shù)的最優(yōu)估計(jì)；模型擬合評價。變異函數(shù)最優(yōu)擬合主要是曲線擬合，因此，可將曲線模型先進(jìn)行適當(dāng)變換，變換為線性模型，然后可用最小二乘法原理估計(jì)模型參數(shù)，最小二乘法擬合的優(yōu)點(diǎn)是簡單方便。

2 基于泛克里金法的短波頻率重構(gòu)算法驗(yàn)證

基于某型短波頻率管理系統(tǒng)中大量的通信實(shí)測數(shù)據(jù)，選取2015 年某日上午某區(qū)域內(nèi)移動通信臺站與同一固定臺站通信的可用頻率作為驗(yàn)證的樣本數(shù)據(jù)，利用其中的部分?jǐn)?shù)據(jù)對基于球狀模型的變異函數(shù)進(jìn)行構(gòu)建，其余數(shù)據(jù)用于驗(yàn)證泛克里金法應(yīng)用于短波頻率重構(gòu)算法的可行性及有效性。

2.1 基于球狀模型的變異函數(shù)構(gòu)建

在短波頻率重構(gòu)中，建立基于球狀模型的變異函數(shù)的具體步驟為：

1）求解任意通信兩點(diǎn)之間的滯后距h：

其中，Long（A）表示通信A 處的地理經(jīng)度，Lat（A）表示通信A 處的地理緯度，φ 是電離層距離轉(zhuǎn)化比例系數(shù)。

2）依據(jù)實(shí)際情況設(shè)置一定的距離間隔并將樣本數(shù)據(jù)的滯后距h 按照距離間隔進(jìn)行劃分，依次取各區(qū)間內(nèi)h 的平均值［9］?；谑剑?）計(jì)算出各區(qū)間平均滯后距所對應(yīng)的實(shí)驗(yàn)變異函數(shù)γ*（h）：

3）基于球狀模型的一般表達(dá)式，通過最小二乘法對樣本頻率數(shù)據(jù)下的實(shí)驗(yàn)變異函數(shù)進(jìn)行球狀模型擬合，獲得研究區(qū)域內(nèi)變異函數(shù)γ（h）與滯后距h的關(guān)系曲線。變異函數(shù)最優(yōu)擬合主要是曲線擬合，因此，可將曲線模型先進(jìn)行適當(dāng)變換，變換為線性模型。這里選用最小二乘法原理估計(jì)模型參數(shù)，最小二乘法擬合的優(yōu)點(diǎn)是簡單方便。

此例中依據(jù)實(shí)際情況設(shè)置距離間隔為2 km，各間隔區(qū)間內(nèi)的平均滯后距h 及其相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)變異函數(shù)γ*（h）的計(jì)算結(jié)果如表1 所示。

表1 實(shí)驗(yàn)變異（h，γ*（h））函數(shù)數(shù)據(jù)

基于最小二乘法的線性表達(dá)式對離散數(shù)據(jù)（h，γ*（h））進(jìn)行曲線擬合，構(gòu)建出相應(yīng)的理論變異函數(shù)（h，γ（h）），球狀模型的最小二乘表達(dá)如表2 所示，模型構(gòu)建曲線如圖1 所示。其中，a≈35.666 6，c≈135.356 2，c0≈8.349 2。

表2 基于最小二乘法的球狀模型表達(dá)及參數(shù)求解

圖1 球狀模型擬合曲線

將各參數(shù)值代入球狀模型的一般表達(dá)式中，可得研究區(qū)域內(nèi)的變異函數(shù)為：

2.2 基于泛克里金法的短波頻率重構(gòu)

隨機(jī)選取5 個未參與變異函數(shù)模型構(gòu)建的頻率樣本數(shù)據(jù)，其通信地理位置分別記作A 點(diǎn)～E點(diǎn)，地理位置及短波通信可用頻率實(shí)測值如表3所示。

表3 A 點(diǎn)～E 點(diǎn)地理位置及實(shí)測短波可用頻率

假設(shè)某點(diǎn)為待重構(gòu)的未知通信點(diǎn)，簡稱頻率未知點(diǎn)，其余各點(diǎn)為已知通信頻率數(shù)據(jù)的鄰域點(diǎn)，通過交叉驗(yàn)證的方式，仿真驗(yàn)證基于球狀模型的泛克里金法的可行性。這里以重構(gòu)A 點(diǎn)頻率為例，給出具體的計(jì)算過程。

第1 步：計(jì)算理論變異函數(shù)值。

由式（4）計(jì)算各鄰域點(diǎn)與未知點(diǎn)及任意鄰域點(diǎn)之間的滯后距，并通過球狀模型表達(dá)式（6）獲得相應(yīng)的理論變異函數(shù)值，其中電離層距離轉(zhuǎn)化比例系數(shù)取平均值φ=2。表4 記錄了A 點(diǎn)為未知點(diǎn)時球狀模型下（h，γ（h））的值。

表4 上三角是滯后距下三角是理論變異函數(shù)值

第2 步：建立泛克里金法漂移方程。

由于電離層等離子體在水平方向上存在漂移，且不均勻體的漂移速度沿傳播方向線性增加，因此，需要分析研究短波頻率數(shù)據(jù)沿經(jīng)（緯）度方向、水平方向存在線性漂移時的重構(gòu)效果。以分析頻率數(shù)據(jù)沿經(jīng)度方向上的漂移特性為例，其漂移表達(dá)式可設(shè)為：

其中，x 表示經(jīng)度；如僅分析頻率數(shù)據(jù)沿緯度方向上的漂移特性時，其表達(dá)式不變，此時x 表示緯度；若需分析頻率數(shù)據(jù)沿經(jīng)、緯度兩個方向（即水平方向）上的漂移特性時，其漂移表達(dá)式可設(shè)為：

其中，x 表示經(jīng)度，y 表示緯度。

結(jié)合頻率數(shù)據(jù)的漂移特性，在描述研究區(qū)域內(nèi)短波頻率沿經(jīng)（緯）度方向變化時，將漂移式（7）代入泛克里金方程組（3），利用鄰域點(diǎn)（B 點(diǎn)～E 點(diǎn)）的地理位置信息及通信頻率數(shù)據(jù)對未知點(diǎn)A 處的短波頻率進(jìn)行重構(gòu)，可獲得泛克里金方程組矩陣形式表達(dá)式：

第3 步：求解泛克里金法漂移方程重構(gòu)值。

將基于球狀函數(shù)模型計(jì)算的理論變異函數(shù)值A(chǔ)點(diǎn)～E 點(diǎn)的緯度及B 點(diǎn)～E 點(diǎn)的頻率數(shù)據(jù)代入矩陣式（9）中，經(jīng)運(yùn)算可得頻率數(shù)據(jù)沿緯度方向漂移時A點(diǎn)處的短波頻率重構(gòu)值Z*（xa）為：

根據(jù)上述步驟，同理可知頻率數(shù)據(jù)沿經(jīng)度方向漂移時A 點(diǎn)處的短波頻率重構(gòu)值Z*（xa）為：

在研究某區(qū)域內(nèi)短波頻率沿水平方向變化時，將漂移式（8）代入泛克里金方程組，利用已知鄰域點(diǎn)（B 點(diǎn)～E 點(diǎn)）的地理位置信息及通信頻率數(shù)據(jù)對未知點(diǎn)A 處的頻率進(jìn)行重構(gòu)，可獲得泛克里金方程組矩陣形式表達(dá)式：

將基于球狀函數(shù)模型計(jì)算的理論變異函數(shù)值A(chǔ)點(diǎn)～E 點(diǎn)的經(jīng)度及B 點(diǎn)～E 點(diǎn)的頻率數(shù)據(jù)代入矩陣式（10）中，經(jīng)運(yùn)算可得頻率數(shù)據(jù)沿水平方向漂移時A點(diǎn)處的短波頻率重構(gòu)值Z*（xa）為：

依據(jù)上述方法對其余各點(diǎn)的通信頻率進(jìn)行重構(gòu)，基于變異函數(shù)球狀模型研究經(jīng)（緯）度、及水平方向的漂移變化對頻率重構(gòu)的影響，其重構(gòu)結(jié)果如表5 所示。

表5 頻率數(shù)據(jù)沿不同方向存在漂移時球狀模型下的泛克里金重構(gòu)值（MHz）

2.3 重構(gòu)結(jié)果的驗(yàn)證與分析

為了進(jìn)一步研究基于球狀模型的泛克里金法在短波頻率重構(gòu)中應(yīng)用的有效性，分析研究區(qū)域內(nèi)短波頻率數(shù)據(jù)的變化特征，將重構(gòu)獲得的頻率值和基于“亞大模型”的頻率預(yù)測值與實(shí)際頻率值相比較，計(jì)算相對誤差。依次計(jì)算球狀模型下頻率沿不同漂移方向變化時其余各點(diǎn)的相對誤差，記錄于表6 中。

表6 頻率數(shù)據(jù)沿不同方向漂移時球狀模型下的相對誤差及相對誤差均值（%）

“亞大模型”由中國電波傳播研究所于1987 年提出，在北緯65°至南緯40°、東經(jīng)60°至東經(jīng)150°范圍內(nèi)具有良好的應(yīng)用效果。為避免參數(shù)換算誤差，2007 年又對“亞大模型”進(jìn)行了修正，提出了新版“亞大模型”，新版模型重點(diǎn)提高了低緯度地區(qū)的預(yù)測精度［14-15］。根據(jù)通信雙方地理位置信息、通信時間、太陽黑子數(shù)等輸入?yún)?shù)，基于“亞大模型”的頻率預(yù)測結(jié)果及與實(shí)測值的相對誤差如表7 所示。A 點(diǎn)～E 點(diǎn)頻率實(shí)測值、預(yù)測值和重構(gòu)值的比較曲線如下頁圖2 所示。

表7 “亞大模型”預(yù)測結(jié)果

圖2 各點(diǎn)頻率實(shí)測值、預(yù)測值、重構(gòu)值比較曲線

泛克里金重構(gòu)算法考慮了電離層的變化，引入了隨經(jīng)度、緯度、水平方向的漂移方程，利用相同樣本數(shù)據(jù)，比較泛克里金重構(gòu)算法與文獻(xiàn)［8］中普通Kriging 法的重構(gòu)精度?；凇皝喆竽Ｐ汀钡念l率預(yù)測結(jié)果及與實(shí)測值的相對誤差如表8 所示。A 點(diǎn)～E 點(diǎn)頻率實(shí)測值、預(yù)測值和重構(gòu)值的比較曲線如圖3 所示。

表8 普通Kriging 法頻率重構(gòu)結(jié)果

圖3 各點(diǎn)頻率實(shí)測值、普通克里金法重構(gòu)值、泛克里金法重構(gòu)值比較曲線

通過基于上述方法的大量數(shù)據(jù)分析，結(jié)合該樣本區(qū)域短波通信實(shí)際應(yīng)用情況［16-22］，可得出如下結(jié)論：

1）基于球狀模型的泛克里金法適用于短波頻率的重構(gòu)?；谀澈Ｓ蛞巡杉拇罅慷滩ㄍㄐ艑?shí)際數(shù)據(jù)，隨機(jī)選取樣本點(diǎn)條件下的驗(yàn)證結(jié)果表明：在頻率數(shù)據(jù)球狀模型擬合條件下，各漂移方向上重構(gòu)結(jié)果的相對誤差均值均低于4.5%；在沿緯度方向構(gòu)建漂移方程時，單點(diǎn)的重構(gòu)相對誤差值低至0.188 2%，具有較好的重構(gòu)精度?？梢姡捎梅嚎死锝鸱ㄔ诳臻g相關(guān)變程內(nèi)進(jìn)行頻率重構(gòu)，能夠預(yù)測未知區(qū)域的短波通信用頻。

2）基于泛克里金法的短波頻率重構(gòu)效果優(yōu)于中長期的頻率預(yù)測。基于本次選擇的樣本區(qū)域數(shù)據(jù)，相比較基于“亞大模型”的頻率中長期預(yù)測，基于泛克里金法的短波頻率重構(gòu)結(jié)果更接近實(shí)測值，重構(gòu)精度能夠滿足實(shí)際使用需求?；趤喆竽Ｐ偷念A(yù)測軟件是當(dāng)前比較常用的中、長期頻率預(yù)報軟件，分別具有點(diǎn)對點(diǎn)、點(diǎn)對面、面對面通信頻率預(yù)測功能。然而，軟件在進(jìn)行電離層傳播模型構(gòu)建時，有關(guān)中國區(qū)域電離層結(jié)構(gòu)信息仍然較少，這也導(dǎo)致該軟件的適用范圍受限，在該樣本數(shù)據(jù)中，預(yù)測值的相對誤差均值達(dá)到了9.811 4%，預(yù)測精度有限。

3）泛克里金重構(gòu)方法的短波頻率重構(gòu)精度高于普通克里金方法。建立在區(qū)域化變量結(jié)構(gòu)信息基礎(chǔ)上的泛克里金重構(gòu)方法滿足變量非平穩(wěn)性的需求，考慮了變量局部漂移的影響，能夠在空間相關(guān)變程內(nèi)對區(qū)域化變量進(jìn)行無偏最優(yōu)估計(jì)?；诙滩l率管理系統(tǒng)中大量的通信實(shí)測數(shù)據(jù)，通過樣本數(shù)據(jù)重構(gòu)精度比較發(fā)現(xiàn)，普通克里金方法重構(gòu)的相對誤差均值為6.427 8%，誤差大于泛克里金重構(gòu)，但部分樣本點(diǎn)的精度較高。例如樣本中的B 點(diǎn)，相對誤差僅為1.811 9%，主要原因可能是該收發(fā)兩點(diǎn)的電離層反射點(diǎn)受電離層漂移影響較小。

4）根據(jù)具體的重構(gòu)區(qū)域電離層特點(diǎn)構(gòu)建漂移方程?；谘芯繀^(qū)域內(nèi)電離層不均勻體、等離子體的線性漂移特性，分別沿經(jīng)度方向、緯度方向及水平方向構(gòu)建漂移方程。通過表6 可以觀察到，在符合短波頻率數(shù)據(jù)空間特征的球狀模型的交叉驗(yàn)證中，漂移方程的構(gòu)建方向?yàn)榫暥确较驎r，重構(gòu)效果最佳為2.125 7 %，且各點(diǎn)的重構(gòu)相對誤差均低于4.5%，重構(gòu)效果較好。而當(dāng)沿經(jīng)度方向或水平方向建立漂移方程時，其重構(gòu)效果稍遜于緯度方向，特別是在沿經(jīng)度方向構(gòu)建方程的情況下，C 點(diǎn)處重構(gòu)值與實(shí)測值的相對誤差高達(dá)13.205 7%。表明本次樣本區(qū)域內(nèi)短波頻率數(shù)據(jù)具有沿緯度方向漂移的變化特點(diǎn)，在泛克里金法應(yīng)用于該區(qū)域的短波通信頻率重構(gòu)時，可直接采用沿緯度方向構(gòu)建的漂移方程。值得說明的是，不同區(qū)域?qū)?yīng)的電離層不均勻體、等離子體的漂移方向可能不同，在實(shí)際應(yīng)用中，可先對重構(gòu)區(qū)域的電離層特點(diǎn)進(jìn)行分析研究，以確定適合電離層變化方向及變化特征的漂移方程，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)基于泛克里金法的短波頻率重構(gòu)。

3 結(jié)論

針對短波通信頻率優(yōu)選技術(shù)的不同應(yīng)用需求，基于短波頻率在空間維上的重構(gòu)原理，利用前期采集的某海域短波通信實(shí)際頻率數(shù)據(jù)，選取在空間局部估計(jì)中廣泛應(yīng)用的球狀模型，構(gòu)建了符合頻率數(shù)據(jù)變化特征的基于球狀模型的變異函數(shù)，并建立了沿經(jīng)度、緯度、水平方向的漂移方程。利用樣本數(shù)據(jù)驗(yàn)證了泛克里金法在短波頻率優(yōu)選中的適用性及可靠性，驗(yàn)證結(jié)果表明，頻率重構(gòu)算法能夠?yàn)槎滩ㄖ羞h(yuǎn)程通信的頻率優(yōu)選提供技術(shù)支撐和手段。重構(gòu)算法有效利用了歷史數(shù)據(jù)信息，依據(jù)通信頻率的空間相關(guān)性進(jìn)行估計(jì)，彌補(bǔ)了以電離層模型、傳輸模型為基礎(chǔ)的頻率預(yù)測方法手段的單一性和預(yù)測精度存在局限性的不足，同時可以有效避免探測方法中通信雙方進(jìn)行探測選頻所帶來的耗時長、占用信道、目標(biāo)易暴露等問題。

樣本數(shù)據(jù)的漂移特性影響著頻率重構(gòu)精度，因此，可進(jìn)一步研究各區(qū)域內(nèi)電離層的變化特征，構(gòu)建適用于不同樣本數(shù)據(jù)的沿經(jīng)度、緯度方向及水平方向變化的漂移方程，完善基于球狀模型的泛克里金法。同時，考慮重構(gòu)算法的工程軟件化，研究中變異函數(shù)理論模型的最優(yōu)擬合選用了簡單方便的最小二乘法，該方法由于對實(shí)驗(yàn)變異函數(shù)曲線中開端幾個點(diǎn)的重要性認(rèn)識不足，導(dǎo)致曲線有時不太理想，下一步可考慮選用加權(quán)回歸方法予以克服。