崔競(jìng)

數(shù)學(xué)建模，就是根據(jù)實(shí)際問題來建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，然后根據(jù)結(jié)果去解決實(shí)際問題。在教學(xué)中，可以根據(jù)特定的研究目的，采用數(shù)學(xué)的符號(hào)和語言刻畫出所研究對(duì)象的主要特征、關(guān)系，“使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程”。眾所周知，“模型思想”已作為數(shù)學(xué)課程中應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展的考查能力之一。數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的有效開展離不開對(duì)各種教學(xué)資源進(jìn)行優(yōu)化組織。下面筆者以“螞蟻莊園中的數(shù)學(xué)”為例，談?wù)勅绾螌F(xiàn)實(shí)形態(tài)的數(shù)學(xué)建模課程資源變成教學(xué)形態(tài)。

一、數(shù)學(xué)建模課程資源的現(xiàn)實(shí)形態(tài)

數(shù)學(xué)建模課程在實(shí)施中離不開真實(shí)的問題情境，為了能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，問題情境應(yīng)來源于學(xué)生身邊，具有一定的趣味性，涉及的問題在初中生最近發(fā)展區(qū)。

螞蟻莊園是支付寶開發(fā)的網(wǎng)上公益活動(dòng)，網(wǎng)友使用支付寶付款能領(lǐng)取雞飼料，喂雞后獲得的雞蛋能進(jìn)行愛心捐贈(zèng)。

利用螞蟻莊園進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的可行性分析：游戲界面上數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)變化，可以讓學(xué)生感受到計(jì)算機(jī)編程在信息時(shí)代的重要性;作為網(wǎng)上公益活動(dòng)，螞蟻莊園背后的愛心捐贈(zèng)可以培養(yǎng)學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感;手機(jī)畫面實(shí)時(shí)投屏功能可以讓學(xué)生全程觀看數(shù)據(jù)變化過程，讓實(shí)驗(yàn)過程更加具有真實(shí)性;在螞蟻莊園中涉及許多知識(shí)，比如游戲界面的藝術(shù)設(shè)計(jì)、雞寶寶的服裝設(shè)計(jì)、莊園小課堂中的中華傳統(tǒng)文化等。

螞蟻莊園游戲中能直接提煉的數(shù)據(jù)就有許多，例如：1.點(diǎn)擊一次投喂，消耗180g飼料，小雞沒有吃完的情況下無法進(jìn)行下次投喂;2.小雞吃500g飼料就會(huì)產(chǎn)下1顆愛心雞蛋;3.飼料不被偷吃的情況下，每3次喂養(yǎng)就可以產(chǎn)下1顆愛心雞蛋;4.每滿5顆雞蛋就可以捐贈(zèng)，且捐贈(zèng)的最小單位為5顆，每捐贈(zèng)5顆雞蛋獲得1點(diǎn)榮耀;5.螞蟻莊園飼料盒存儲(chǔ)量每獲得5點(diǎn)榮耀值可多存儲(chǔ)180g飼料;6.屏幕會(huì)實(shí)時(shí)顯示剩余飼料吃完需要的時(shí)間以及外來小雞已經(jīng)進(jìn)食的量。

在螞蟻莊園游戲攻略中，我們還能獲得以下信息：

1.1袋180g的飼料，自家小雞需要5h吃完，進(jìn)食速度為36g/h。2.外來小雞來莊園蹭食時(shí)，自家小雞進(jìn)食速度不變，外來小雞進(jìn)食速度為18g/h。3.最多可以同時(shí)有兩只外來小雞一起進(jìn)食。4.加速卡功能：每次用1張加速卡可以縮短自家小雞1個(gè)小時(shí)的進(jìn)食時(shí)間。

二、數(shù)學(xué)建模課程資源的教學(xué)形態(tài)

在現(xiàn)實(shí)形態(tài)的課程資源中，我們可以獲得許多適合的信息，這些信息通過不同程度的加工，可以變成服務(wù)不同教學(xué)目的的教學(xué)內(nèi)容。在數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程中，教師在問題情境中引導(dǎo)學(xué)生探索得到的信息量的多少，決定了學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的開放程度。

（一）半開放式數(shù)學(xué)建模。

案例1. 當(dāng)你進(jìn)入這款互動(dòng)游戲，看到圖1場(chǎng)景，而自家糧食充足，此時(shí)多會(huì)救濟(jì)朋友的小雞。當(dāng)自家小雞在剩余進(jìn)食時(shí)間3h時(shí)邀請(qǐng)了朋友的小雞一起進(jìn)食，那么兩只雞可以一起愉快地進(jìn)食多長(zhǎng)時(shí)間呢？

師問：解決這個(gè)問題，需要收集哪些數(shù)據(jù)？（給學(xué)生時(shí)間思考，討論。）

討論結(jié)束后，學(xué)生根據(jù)外來小雞進(jìn)食速度為自家小雞一半以及“剩余飼料總量=進(jìn)食速度×剩余進(jìn)食時(shí)間”的模型，建立方程模型：3×36=（36+18）x，通過對(duì)模型進(jìn)行求解，可知共同進(jìn)食2h。點(diǎn)擊救濟(jì)卡后，屏幕顯示與計(jì)算結(jié)果一致，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ徒⒂行А?/p>

評(píng)價(jià)：在半開放的數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程中，手機(jī)、多媒體設(shè)備、螞蟻莊園游戲成為學(xué)生看得見的課程資源，情境新穎、有趣，能培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、獲取數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的能力。建模結(jié)果的反饋，增加了學(xué)生解決生活實(shí)際問題的信心，讓學(xué)生更加真切地感受到數(shù)學(xué)知識(shí)是有用的。

（二）開放式數(shù)學(xué)建模。

案例2. 打開螞蟻莊園界面顯示外來小雞吃16g、剩余進(jìn)食時(shí)間1小時(shí)57分，此時(shí)把外來小雞趕走，顯示剩余進(jìn)食時(shí)間3h。請(qǐng)通過實(shí)驗(yàn)分析：外來小雞進(jìn)園前后，屏幕顯示剩余時(shí)間之間的關(guān)系。

在開放式數(shù)學(xué)建模背景下，學(xué)生需要思考：

1. 前后剩余時(shí)間存在關(guān)系嗎？

2. 在什么條件下它們之間會(huì)存在關(guān)系？

3.需要哪些信息，可以建立它們之間的關(guān)系？

4.如何通過實(shí)驗(yàn)的方式獲得相關(guān)信息？

5.獲取信息后如何建立兩者之間的模型？

6.你能用數(shù)學(xué)的方式檢驗(yàn)?zāi)愕慕Y(jié)果嗎？

在師生共同討論、總結(jié)的情況下，完成如下的數(shù)學(xué)建模過程：

1.問題分析，提出基本假設(shè)。

生活常識(shí)告訴我們，作為一款游戲，為了公平和程序的可操作性，外來小雞到來前后的剩余時(shí)間不應(yīng)該是隨機(jī)的。根據(jù)“進(jìn)食時(shí)間=飼料總量÷進(jìn)食速度”的模型，通過飼料總量建立外來小雞到來前后剩余時(shí)間的聯(lián)系。為此，我們提出基本假設(shè)：外來小雞到來前后剩余飼料總量保持不變，記為S;自家小雞和外來小雞的進(jìn)食速度在游戲過程中保持勻速，分別記為V1，V2;自家小雞進(jìn)食剩余時(shí)間記為t;自家小雞+1只外來小雞進(jìn)食剩余時(shí)間記為T1;自家小雞+2只外來小雞進(jìn)食剩余時(shí)間記為T2。

2.實(shí)驗(yàn)操作，建立數(shù)學(xué)模型。

在基本假設(shè)的條件下，外來小雞進(jìn)來前后的剩余進(jìn)食時(shí)間存在函數(shù)關(guān)系。通過多次實(shí)驗(yàn)，獲得T1（T2）與t 對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)如表：

先將上述數(shù)據(jù)全部轉(zhuǎn)換成以小時(shí)為單位，利用HP圖形計(jì)算器中的雙變量統(tǒng)計(jì)功能對(duì)變量間的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合。擬合結(jié)果如下圖所示：

從數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果看，T1、T2與t 分別存在一次函數(shù)關(guān)系，即朋友小雞到來前后進(jìn)食剩余時(shí)間存在一次函數(shù)關(guān)系，但它們之間的函數(shù)表達(dá)式不太簡(jiǎn)潔，這是什么原因呢？教師拋出問題讓學(xué)生去思考，幫助他們體會(huì)生活數(shù)學(xué)與理論數(shù)學(xué)的差別。

3.模型分析，進(jìn)行數(shù)學(xué)化證明。

通過對(duì)前后進(jìn)食剩余時(shí)間的數(shù)據(jù)擬合，初步感受到它們之間的一次函數(shù)關(guān)系，這種關(guān)系建立在自家小雞和外來小雞進(jìn)食速度保持勻速的假設(shè)基礎(chǔ)上。我們同樣可以通過實(shí)驗(yàn)的方式檢驗(yàn)勻速的假設(shè)是否成立。觀察外來小雞進(jìn)食過程，記錄如下數(shù)據(jù)：

通過上表數(shù)據(jù)，借助HP圖形計(jì)算器可以推斷：外來小雞的進(jìn)食速度約3min/g，若將記錄時(shí)間精確到秒，會(huì)得到更加精確的外來小雞進(jìn)食速度為0.3g/min。

結(jié)果分析：從外來小雞進(jìn)食速度的實(shí)驗(yàn)分析上，可以發(fā)現(xiàn)時(shí)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系存在一定的滯后性。就外來小雞進(jìn)食看，時(shí)間變化的最小單位為分鐘，進(jìn)食量的最小單位為g，那么兩者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系也就存在一定的客觀誤差。這種誤差也就造成在表1中顯示的進(jìn)食剩余時(shí)間存在近似計(jì)算的可能。

由生活常識(shí)可知，外來小雞進(jìn)園后，由一只自家小雞吃變成兩只小雞一起吃，前后進(jìn)食速度的變化必然引起前后剩余時(shí)間的變化。反過來，我們可以根據(jù)剩余時(shí)間的變化，來推導(dǎo)出前后進(jìn)食速度的變化，得出自家小雞與外來小雞的進(jìn)食速度的關(guān)系。根據(jù)前后飼料總量不變建立方程模型，計(jì)算出前后剩余時(shí)間的準(zhǔn)確函數(shù)關(guān)系。

通過開放式數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，學(xué)生擁有解決螞蟻莊園問題的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。借助這些經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生可以繼續(xù)對(duì)加速卡的功能進(jìn)行分析，建立小雞成長(zhǎng)的快速進(jìn)階攻略。

三、反思

初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)從貼近學(xué)生身邊的問題切入，通過理論假設(shè)簡(jiǎn)化問題背景，活動(dòng)設(shè)置以適合初中生能力水平為準(zhǔn)繩，指向?qū)W生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題能力的提高。教師用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)建模資源，梳理潛在的現(xiàn)實(shí)形態(tài)的課程資源，是數(shù)學(xué)建模課程資源開發(fā)的起點(diǎn)。教師對(duì)課程資源的選取標(biāo)準(zhǔn)要適合學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，資源的組織形式則由教學(xué)目標(biāo)來決定。教學(xué)形態(tài)下的資源的呈現(xiàn)方式從半開放到開放的轉(zhuǎn)變過程，可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)建模就在我們身邊，感受到學(xué)術(shù)化的數(shù)學(xué)如何從生活化的數(shù)學(xué)中抽象出來，從而提高發(fā)現(xiàn)身邊數(shù)學(xué)的能力。

在開放式數(shù)學(xué)建模的教學(xué)中，學(xué)生自行從網(wǎng)絡(luò)或其他社會(huì)途徑中獲取資源。學(xué)生參與資源開發(fā)的經(jīng)歷，在無形中發(fā)展了他們數(shù)據(jù)調(diào)查的能力。教學(xué)形態(tài)下的師生互動(dòng)，充分突出學(xué)生的自主性，發(fā)揮學(xué)生在課程資源建設(shè)中的主導(dǎo)作用。

總之，在將生活中的現(xiàn)實(shí)資源轉(zhuǎn)變成教學(xué)資源后，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生自主去解決現(xiàn)實(shí)問題，體會(huì)數(shù)學(xué)建模的價(jià)值。在數(shù)學(xué)建模的過程中，學(xué)生不斷增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用能力，用數(shù)學(xué)的眼光看待周圍的世界，懂得從數(shù)學(xué)的角度去思考問題，解決問題。