李剛

摘要：極坐標(biāo)與參數(shù)方程是高考選考內(nèi)容，注重考查學(xué)生對(duì)本領(lǐng)域知識(shí)的理解和應(yīng)用。本文以2020年高考極坐標(biāo)與參數(shù)方程命題為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合以往的典型例題，以直線方程的三種形式為指導(dǎo)，以數(shù)形結(jié)合為核心，完成知識(shí)的應(yīng)用與遷移，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：極坐標(biāo)與參數(shù)方程 直線方程 一題多解

一、極坐標(biāo)與參數(shù)方程的背景分析

在新課程標(biāo)準(zhǔn)改革的推動(dòng)下，極坐標(biāo)與參數(shù)方程被納入新課程選修模塊中，在高考中以選做題形式考查，總分10分，總體難度不是很大，但是學(xué)生的總體得分率不高。在某些統(tǒng)計(jì)中發(fā)現(xiàn)，大約有三分之二的學(xué)生會(huì)選擇“極坐標(biāo)與參數(shù)方程”，但是這其中有50%的得分不足4分，70%的得分不足7分，滿分率不足7.5%，甚至超過(guò)15%的考生不得分。為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況？以下幾方面原因可供我們思考：1.學(xué)生對(duì)極坐標(biāo)和參數(shù)方程的理解不夠，很多學(xué)生只局限在轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)普通方程，思想方法沒(méi)有提升;2.直角坐標(biāo)普通方程的轉(zhuǎn)化實(shí)質(zhì)牽涉到知識(shí)的遷移和知識(shí)點(diǎn)的轉(zhuǎn)化，是多知識(shí)的交匯，思維品質(zhì)和運(yùn)算能力比很多同學(xué)理解的要求要高;3.高考的命題很多考查是對(duì)極坐標(biāo)與參數(shù)方程本身領(lǐng)域知識(shí)的理解和應(yīng)用，考查考生對(duì)新方法、新知識(shí)的思維能力和學(xué)習(xí)品質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，所以單純使用直角坐標(biāo)普通方程解題，高考題會(huì)感覺(jué)越來(lái)越難、計(jì)算量愈來(lái)愈復(fù)雜，有的時(shí)候甚至出現(xiàn)算不下去的情況。

在2020年高考中，全國(guó)卷三套試卷的落腳點(diǎn)都放在極坐標(biāo)與參數(shù)方程和直角坐標(biāo)的互化中，直線方程的三種形式在題目中依然明顯體現(xiàn)。卷Ⅰ是直線極坐標(biāo)方程化為直角方程的普通方程，卷Ⅱ是直線的參數(shù)方程化為普通方程，卷Ⅲ是普通方程化為極坐標(biāo)方程。那么，直線方程的三種形式在解題中的作用是什么？對(duì)解題方法的分析有什么樣的指導(dǎo)作用？在解題中如何選擇？這些問(wèn)題在歷年的高考題型和模擬題型中都有充分的體現(xiàn)。仔細(xì)分析，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，直線方程既是命題的基礎(chǔ)，更是我們解題的指南針。教學(xué)中，我們?cè)谶M(jìn)行這類(lèi)題型的分析過(guò)程中，抓住直線的特征和三種形式去指導(dǎo)學(xué)生審題，往往可以很容易突破和貫穿極坐標(biāo)與參數(shù)方程的解題過(guò)程。

二、直線方程三種形式以及在解題中的作用分析

直線的極坐標(biāo)方程，體現(xiàn)的是長(zhǎng)度ρ和角度θ的關(guān)系，本身就是兩個(gè)幾何量的關(guān)系。這里面通常有兩種情況：1.直線經(jīng)過(guò)極點(diǎn)。這時(shí)候ρ和θ幾何意義明確，在處理綜合題型時(shí)，提示選擇直線極坐標(biāo)知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合直接處理;2.直線不經(jīng)過(guò)極點(diǎn)。這時(shí)候直線的極坐標(biāo)方程幾何意義對(duì)高中學(xué)生來(lái)說(shuō)不明顯，處理時(shí)更多考慮與直角坐標(biāo)方程的互化。

直線的直角坐標(biāo)方程常見(jiàn)的兩種形式是普通方程和參數(shù)方程。

直線普通方程是解析幾何基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)生理解掌握相對(duì)較好，利用公式計(jì)算或是數(shù)形結(jié)合處理。在題型考查中，體現(xiàn)在圓或圓錐曲線以參數(shù)方程形式出現(xiàn)，求其上點(diǎn)的參數(shù)形式到直線普通方程的距離公式求解一些范圍和最值問(wèn)題。

直線的參數(shù)方程，特別是對(duì)于t幾何意義的理解比較靈活。直線的參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)形式為x=x0+tcosαy=y0+tsinα（t為參數(shù)），過(guò)定點(diǎn)M0（x0，y0）、傾斜角α體現(xiàn)著數(shù)形結(jié)合。其中t表示直線l上以定點(diǎn)M0為起點(diǎn)，任一點(diǎn)M（x，y）為終點(diǎn)的有向線段M0M的數(shù)量。

三、數(shù)形結(jié)合，利用直線方程形式來(lái)解決典型例題中的審題和解題

合肥市2020年高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)中，坐標(biāo)系與參數(shù)方程的選做題如下：在平面直角坐標(biāo)系中，直線m的參數(shù)方程為x=tcosαy=tsinα（t為參數(shù)，0≤α<π）。以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系。曲線E的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρcosθ-3=0，直線m與曲線E交于A、C兩點(diǎn)。

（1）求曲線E的直角坐標(biāo)方程和直線m的極坐標(biāo)方程;

（2）過(guò)原點(diǎn)且與直線m垂直的直線n交曲線E于兩點(diǎn)B，D，求四邊形ABCD面積的最大值。

在審題和解題中，方法選擇的多樣性和不確定性讓不少學(xué)生難于取舍，或是猶豫不決。如何快速找到解題的突破口，找到這類(lèi)題型的常用分析方法？直線方程的指導(dǎo)作用非常明顯。

策略1 審題中發(fā)現(xiàn)，直線m過(guò)極點(diǎn)，根據(jù)前面的分析，選擇直線的極坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)方程中的ρ和θ幾何意義明確，|AC|=|ρA-ρC|，同理處理|BD|。

由第（1）問(wèn)可得直線m的極坐標(biāo)方程，帶入代入E的極坐標(biāo)方程，并結(jié)合韋達(dá)定理可得|AC|=|ρ1-ρ2|=（ρ1+ρ2）2-4ρ1ρ2=2cos2α-3，用同樣方法求得|BD|=2sin2α-3，再利用SABCD=12|AC||BD|并極值判斷，便可得到SABCD的最大值為7。

策略2 根據(jù)題意，面積計(jì)算只牽涉到AC和BD的長(zhǎng)度，我們選擇直線的參數(shù)方程。根據(jù)直線參數(shù)方程和數(shù)形結(jié)合，定點(diǎn)選擇為坐標(biāo)原點(diǎn)。如圖，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，A對(duì)應(yīng)參數(shù)為t1，B對(duì)應(yīng)參數(shù)為t2，則|OA|=t1，|OC|=-t2|AC|=|t1-t2|，只需將將直線的參數(shù)方程帶入E的直角坐標(biāo)方程，化簡(jiǎn)并結(jié)合韋達(dá)定理便可得到AC和BD的長(zhǎng)度。

策略3 由于本題考查的是直線和圓，所以也可利用數(shù)形結(jié)合的方式，利用垂徑定理結(jié)合圖形求解。

從命題意圖看，本題考察的是極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用，對(duì)極坐標(biāo)與參數(shù)方程本身的知識(shí)理解是解題的關(guān)鍵，直線方程的三種形式是很明顯的突破口。教師要強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合的重要作用，采用一題多解的方式培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

四、綜合考慮已知條件，不同角度的審題策略對(duì)直線方程形式選擇的影響

（一）牽涉到二次曲線上點(diǎn)到直線距離問(wèn)題，優(yōu)先考慮直線的一般方程

例1在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的方程為ρ=4cosθ。設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為2，π3，點(diǎn)B在曲線C上，求△OAB面積的最大值。

分析：審題時(shí)，OA長(zhǎng)度一定，考慮面積公式S=12|OA|·h，h為曲線C上點(diǎn)B到OA的距離，根據(jù)教材中典型例題的方法，優(yōu)先考慮到直線OA的一般方程y=3x，而且曲線C的參數(shù)方程為x=2+2cosθy=2sinθ（θ為參數(shù)），把B用參數(shù)表示，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式表示出h，代入面積公式后，便可判斷出最大值。

當(dāng)然，數(shù)形結(jié)合的思想方法同樣適用。根據(jù)已知條件，s=12|OA||OB|sin∠AOB，|OA|=2，設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為（ρB，θ）（ρB>0）.由題設(shè)知|OA|=2，ρB=4cosθ，于是△OAB面積S=12|OA|·ρB·sin∠AOB=4cosθ·sinθ-π3=2sin2a-π3-32≤2+3。當(dāng)θ=-π12時(shí)，S取得最大值2+3。

（二）對(duì)于直線參數(shù)方程的非標(biāo)準(zhǔn)形式，引導(dǎo)學(xué)生抓住本質(zhì)，從幾何與代數(shù)方面做好轉(zhuǎn)化

例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為：x=-6-2ty=26+2t（t為參數(shù)）。以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的方程為ρ=46cosθ，

（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程;

（2）設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B，求|AB|的大小。

分析：一般題目中直線的參數(shù)方程提供為標(biāo)準(zhǔn)形式，但是本題題干為直線的非標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式是我們首先的思路，是我們利用直線參數(shù)方程幾何意義解題的關(guān)鍵，如何轉(zhuǎn)化，我們可以從兩個(gè)方面來(lái)考慮，一是幾何意義，二是代數(shù)形式。

解：（1）由ρ=46cosθ，得圓C的直角坐標(biāo)方程為（x-26）2+y2=24。

（2）方法一：題干所提供的是直線參數(shù)方程的非標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)直線的幾何意義，重新選擇定點(diǎn)，構(gòu)造新的直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，化非標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，利用標(biāo)準(zhǔn)方程中t的幾何意義求解。

根據(jù)圖形，取定點(diǎn)為（6，0），直線傾斜角為3π4，

所以，直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為x=6-22ty=22t（t為參數(shù)），

方法二：根據(jù)直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)形式的代數(shù)結(jié)構(gòu)，應(yīng)用換元的方法處理非標(biāo)準(zhǔn)形式參數(shù)方程。

直線的參數(shù)方程為x=-6-2ty=26+2tx=-6-22（2t）y=26+22（2t）（t為參數(shù)），

令s=2t，則x=-6-22sy=26+22s（s為參數(shù)）

直線參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式之后，代入圓的方程，整理后根據(jù)韋達(dá)定理即可求解。

當(dāng)然，對(duì)于掌握程度比較好的同學(xué)，可以提示抓住直線方程的本質(zhì)特征，直接使用直線的非標(biāo)準(zhǔn)形式來(lái)處理。直線l非標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程x=x0+aty=y0+bt（t為參數(shù)），設(shè)兩點(diǎn)M1、M2為l上任意兩點(diǎn)，M1、M2對(duì)應(yīng)t的值分別為t1、t2，由兩點(diǎn)間距離公式可得|M1M2|=a2+b2|t1-t2|。當(dāng)a2+b2=1時(shí)，非標(biāo)準(zhǔn)形式即為標(biāo)準(zhǔn)形式。

四、小結(jié)

運(yùn)用極坐標(biāo)與參數(shù)方程可使代數(shù)與幾何完美相結(jié)合，使許多繁雜的運(yùn)算變的巧妙簡(jiǎn)潔。處理這類(lèi)題型，直線方程的三種形式指標(biāo)意義明顯，對(duì)我們審題和解題都有指導(dǎo)作用。2019年全國(guó)Ⅰ卷中第二問(wèn)考查圓錐曲線參數(shù)到直線的距離，考慮選擇直線方程的一般形式;全國(guó)Ⅱ卷中第一問(wèn)直線過(guò)極點(diǎn)，第二問(wèn)也是過(guò)極點(diǎn)，考慮選擇極坐標(biāo)方程或是互化，利用數(shù)形結(jié)合解決;2018年全國(guó)Ⅱ卷參數(shù)方程幾何意義，考慮選擇直線參數(shù)方程……通過(guò)對(duì)直線形式的選擇，并以此為出發(fā)點(diǎn)，可以讓學(xué)生可以迅速找到的解題方法。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求我們要將學(xué)生的數(shù)學(xué)能力構(gòu)建納入他們今后的學(xué)習(xí)和思維能力上來(lái)。高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中逐漸形成的，滿足學(xué)生終身學(xué)習(xí)和社會(huì)發(fā)展需求的綜合能力與品質(zhì)，是高中數(shù)學(xué)學(xué)科課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)。直線方程三種形式在審題和解題中的不同體現(xiàn)，既是分析方法更是解題指導(dǎo)，貫穿了思考和解題的過(guò)程，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維和知識(shí)遷移能力，使得學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有依托、有根基，水到渠成。

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