何君青

方程是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”中重要的一部分內(nèi)容，蘇科版九年級(jí)教材的第一章主要研究方程中的一元二次方程。近幾年來(lái)，各地中考普遍從不同角度對(duì)一元二次方程的知識(shí)進(jìn)行比較全面、系統(tǒng)的考查，大部分試題通過(guò)直接考查一元二次方程的意義與解法，突出對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的考查;通過(guò)設(shè)置現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境，考查同學(xué)們列一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題的能力，突出對(duì)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用的考查;通過(guò)設(shè)置綜合性問(wèn)題，考查同學(xué)們對(duì)一元二次方程的靈活運(yùn)用，突出對(duì)方程思想的考查。下面就以一元二次方程與圖形結(jié)合的問(wèn)題為例進(jìn)行剖析，以期對(duì)同學(xué)們一元二次方程的學(xué)習(xí)有所幫助。

一、圖形構(gòu)成與一元二次方程

各地普遍采用設(shè)置符合同學(xué)們認(rèn)知的實(shí)際問(wèn)題情境的方式，考查列方程解決實(shí)際問(wèn)題的能力。特別突出的是，部分試題注重利用方程的結(jié)果，對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出判斷與預(yù)測(cè)，或?qū)?shí)際問(wèn)題設(shè)計(jì)實(shí)施方案等方式，強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的考查。

例1 用一條長(zhǎng)20cm的繩子能否圍成一個(gè)面積為30cm²的矩形？如能，說(shuō)明圍法;如果不能，說(shuō)明理由。

解：設(shè)矩形的長(zhǎng)為xcm，則寬為（10-x）cm。

根據(jù)題意，得x（10-x）=30，

即x²-10x+30=0。

因?yàn)棣?b²-4ac=10²-4×30=-20<0，所以此一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根。

答：用一條長(zhǎng)20cm的繩子不能圍成一個(gè)面積為30cm²的矩形。

【點(diǎn)評(píng)】題目在考查列方程的同時(shí)，更關(guān)注對(duì)實(shí)際問(wèn)題理解能力的考查。若所求幾何圖形能構(gòu)成，則能算出具體的值;若不能構(gòu)成，則找不到符合條件的值，或無(wú)實(shí)數(shù)根，或算出的根不在實(shí)際范圍內(nèi)。

二、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與一元二次方程

由于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是數(shù)學(xué)考試中重要的一類題型，所以一元二次方程還常常會(huì)與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題結(jié)合，考查同學(xué)們列方程解決問(wèn)題的能力。特別需要注意的是，部分試題會(huì)和面積、長(zhǎng)度等知識(shí)結(jié)合，考查同學(xué)們靈活運(yùn)用方程的能力。

例2 如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，CB=6.5cm。點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC邊向點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)（）從點(diǎn)C出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)。當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P停止移動(dòng)。