吳凡

一元二次方程的學(xué)習(xí)是同學(xué)們繼學(xué)習(xí)了一元一次方程、二（三）元一次方程（組）、可化為一元一次方程的分式方程等知識之后，對方程的繼續(xù)探究學(xué)習(xí)，所以在人手時較為簡單。在方程求解過程中，借助轉(zhuǎn)化的思想，我們可將一元二次方程降次為一元一次方程來解決，因此前面所學(xué)的解方程的知識對本章的學(xué)習(xí)有著很好的鋪墊作用。同時，一元二次方程的學(xué)習(xí)與一元二次不等式、二次函數(shù)的學(xué)習(xí)也有著極大的關(guān)聯(lián)。我們還能發(fā)現(xiàn)本章的學(xué)習(xí)來自生活實際，最終又回到了生活實際，體現(xiàn)了方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系的有效模型。

學(xué)習(xí)中，我們首先要明確本章的具體學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.理解并會運(yùn)用配方法、公式法、因式分解法解含數(shù)字系數(shù)的一元二次方程;

2.會用一元二次方程根的判別式判別該方程是否有實數(shù)根以及兩個實數(shù)根是否相等;

3.了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系;

4.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，解決實際問題。

下面我們結(jié)合具體例題，一起來看看一元二次方程這一章中的主要知識點及常見考題。

知識點1 解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程

例1 （2020·江蘇南京）解方程：x²-2x-3=0。

【分析】先觀察這個方程的結(jié)構(gòu)，這是一元二次方程，且a=1，b=-2，C=-3，我們可以選擇配方法或者因式分解法來解。

解法一（配方法）：

移項，得X²-2X=3，

配方，得X²-2X+1²=3+1²，

即（x-1）²=4，

由此可得x-1=±2，

所以x₁=x₂=3。

解法二（因式分解法）：

原方程可變形為（x+1）（x-3）=0，

x+1=0或x-3=0，

所以x₁=-1，x₂=3。

例2 （2019·江蘇揚(yáng)州）一元二次方程x（x-2）=x-2的根是______。

【分析】先觀察這個方程的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)等號兩邊都有x-2，我們可以移項為x（x-2）-（x-2）=0，因此可以選擇因式分解法（提取公因式）來求解，或者將這個方程化成一般式x²-3x+2=0，選擇公式法或配方法來解。

【答案】x₁=2，x₂=1。

知識點2 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

此類知識點主要有兩類考查形式：（1）判斷該方程有幾個實數(shù)根或兩個實數(shù)根是否相等;（2）一元二次方程的實數(shù)根與系數(shù)間有怎樣的關(guān)系。這類題型可通過b²-4ac的符號來判斷ax²+bx+c=0是否有實數(shù)根或者有幾個實數(shù)根，具體方法如下。

當(dāng)b²-4ac>0時，有兩個不相等的實數(shù)根;

當(dāng)b²-4ac=0時，有兩個相等的實數(shù)根;

當(dāng)b²-4ac<0時，沒有實數(shù)根。

對于一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，也可在了解以下知識的基礎(chǔ)上來解題。

方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個根是x₁、x₂，那么有x₁+x₂=-b/a，x₁·x₂=c/a。

例3 （2019·江蘇淮安）若關(guān)于x的一元二次方程x²+2x-k=0有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍是（ ）。

A.k<-1 B.k>-1

C.k<1 D.k>1

【分析】由信息“方程x²+2x-k=0有兩個不相等的實數(shù)根”可知：當(dāng)b²-4ac>0時，此方程有兩個不相等的實數(shù)根。因此b²-4ac=2²-4×1×（-k）=4+4k>0，即k>-1，故選B。

【答案】B。

例4 （2019·江蘇鹽城）關(guān)于x的一元二次方程x²+kx-2=0（k為實數(shù)）的根的情況是（ ）。

A.有兩個不相等的實數(shù)根

B.有兩個相等的實數(shù)根

B.沒有實數(shù)根

D.不確定

【分析】在此題中，b²-4ac=k²-4×1×（-2）=k²+8>0，因此該方程有兩個不相等的實數(shù)根，選A。

【答案】A。

知識點3 用一元二次方程解決實際問題

一般情況下，我們在認(rèn)真審題的基礎(chǔ)上，可以借助表格、圖表等多種手段來厘清題目中的等量關(guān)系，從而建立關(guān)于x的一元二次方程，再通過解此方程來解決實際問題。

例5 在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A出發(fā)沿AB以1cm/s的速度向點B移動;同時，點O從點B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向點C移動，幾秒鐘后△DPQ的面積等于28cm²？

【分析】對于此類實際問題，我們先要認(rèn)真審題，嘗試找出題目中的等量關(guān)系，再用數(shù)學(xué)符號語言來表示它們，最后寫出關(guān)于所設(shè)未知數(shù)的方程，解方程，從而解決問題。在此題中，我們不妨設(shè)xs后△DPQ的面積為28cm²，然后結(jié)合面積關(guān)系，得到數(shù)量關(guān)系：矩形ABCD的面積-△DAP的面積-△QPB的面積-△QCD的面積=28，從而列出方程。

解：設(shè)xs后△DPQ的面積為28cm²，則△DAP，△QPB，△QCD的面積分別為1/2×12x，1/2×2x×（6-x），1/2×6×（12-2x）。

根據(jù)題意，得

6×12-1/2×12x-1/2×2x×（6-x）-1/2×6×（12-2x）=28，

即x²-6X+8=0.

解這個方程，得x₁=2，x₂=4。

答：2s或4s后△DPQ的面積等于28cm²。