王 磊 陳建文

(1. 盤錦市高級(jí)中學(xué)，遼寧 盤錦 124000； 2. 盤錦市遼東灣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)，遼寧 盤錦 124000)

1 引言

天體運(yùn)動(dòng)是高中物理必修2的內(nèi)容，天體運(yùn)動(dòng)首先從開普勒的三大定律講起.在勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型下，將開普勒第三定律與圓周運(yùn)動(dòng)理論結(jié)合即可推導(dǎo)出牛頓萬有引力公式.哈雷、胡克等物理學(xué)家就是基于這樣的方法推測(cè)太陽(yáng)對(duì)行星的引力與距離平方成反比.但我們知道萬有引力的發(fā)現(xiàn)最終還是歸功于牛頓，因?yàn)橹挥信ｎD完整的證明了在距離平方反比的中心力場(chǎng)下物體的運(yùn)動(dòng)為橢圓.

在好友哈雷的幫助下牛頓于1687年出版了他的劃時(shí)代巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》(以下簡(jiǎn)稱《原理》).在書中，牛頓詳細(xì)的用帶有微分思想的幾何方法論述了平方反比中心作用力下物體的運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓，這部分是《原理》一書中最精彩內(nèi)容之一.其中涵蓋了大量的橢圓幾何問題與微分極限方法.《原理》成書雖已300余年，其用到的幾何知識(shí)與微分思想也基本涵蓋在高中范圍以內(nèi).但我國(guó)讀者想讀懂《原理》一書并不容易.一方面，牛頓模仿歐幾里得的《幾何原本》書寫方式，原理套原理，引理引引理，關(guān)于引力的平方反比的證明，作者為了成書的完備性從最初的幾個(gè)命題證明了幾十個(gè)定理與引理，持續(xù)近半部書的證明使得讀者難以找到清晰的邏輯鏈條.另一方面《原理》書原文為拉丁語(yǔ)，在后人將其用拉丁語(yǔ)譯為英語(yǔ)，傳入我國(guó)再譯為漢語(yǔ)的翻譯過程中失真現(xiàn)象比較嚴(yán)重，當(dāng)下主要幾版譯書在該部分內(nèi)容相關(guān)的如“正矢”、“縱坐標(biāo)”等譯文以及相關(guān)配圖出現(xiàn)嚴(yán)重問題，讓讀者摸不著頭腦.《原理》一書中無論是牛頓開創(chuàng)的微分、極限思想，還是其高超的幾何能力都值得學(xué)生們仔細(xì)品讀.

2 牛頓對(duì)于萬有引力平方反比的論述

2.1 弧的“正矢”正比于時(shí)間平方

圖1

2.2 弧的“正矢”正比于引力

圖2

因?yàn)镃c平行于SB，有△SBc面積等于△SBC面積，又△SAB面積等于△SBc面積，可得△SAB與△SBC面積相等，相同方法下可得△SAB、△SBC、△SCD、△SDE、△SEF面積皆相等，由此可知每隔相同時(shí)間給運(yùn)動(dòng)物體以指向某一特定點(diǎn)S的沖量時(shí)，在該相同時(shí)間間隔Δt內(nèi)，該定點(diǎn)與物體的連線掃過的面積相等，即定點(diǎn)S與物體連線掃過的面積與時(shí)間成正比，或者反過來說時(shí)間與面積成正比.

2.3 橢圓軌道下引力平方反比證明

圖3

圖4

(1)

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(4)