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        交換p群的整群環(huán)以及它的極大序的K1群*

        2020-09-17 01:20:44楊全李唐國平
        中國科學院大學學報 2020年5期

        楊全李,唐國平

        (中國科學院大學數(shù)學科學學院, 北京 100049)

        1 預(yù)備知識

        定義 1.1對階為素數(shù)p的冪的交換群G,由有限生成交換群的結(jié)構(gòu)定理可將G唯一地表示為某些pki階循環(huán)群的直和,i=1,2,…,n,且k1≤k2≤…≤kn,數(shù)組(k1,k2,…,kn)p稱為群G的型。

        證明見文獻[1-3]。

        引理 1.2對代數(shù)數(shù)域F的代數(shù)整數(shù)環(huán)OF,有SK1(OF)=1。

        證明見文獻[4]。

        證明見文獻[5]。

        證明見文獻[6]。

        證明見文獻[7]。

        0→D(Λ)→CL(Λ)→CL(Γ)→0.

        引理 1.6有正合序列

        且有

        (i)

        (ii)

        其中Jp0是Γp0的Jacobson根。

        證明見文獻[10]。

        其中t=t(G)=m-1是G的非平凡循環(huán)子群的個數(shù)。

        證明見文獻[10]。

        證明見文獻[11]。

        2 主要結(jié)果

        定理 2.1若G=Cpn,(n≥0),則

        從而

        于是由引理1.7得

        當n=0時,上式顯然成立。

        定理 2.2當G=Cpn×Cpn,(0≤n)時,則

        =(p+1)ph-1.

        根據(jù)文獻[12]有關(guān)分圓域的判別式的計算公式

        于是在這種情形下有

        由引理1.7得

        =p2q,

        上式對n=0情形顯然成立。

        定理2.3當G=Cpn1×Cpn2,0

        其中

        =(p+1)ph-1.

        =pn1.

        綜上所得有

        于是

        由引理1.7

        =p2q.

        綜合定理2.1~定理2.3的結(jié)果有

        定理 2.4對G=Cpn1×Cpn2,0≤n1≤n2,有

        其中

        對于任意(k1,k2,…,kn)p型的交換群,相應(yīng)的計算公式非常難以給出,然而對下面特殊情形,有

        定理 2.5當G=(Cpn)l,n≥0;l>0時有

        其中

        于是由引理1.7

        =p2q,

        K1(Γ)=(Γ)×⊕SK1(Γ),

        =2.

        =24.

        =212.

        =1.

        =2.

        =24.

        =210.

        (i)由定理2.5可得

        =24,

        (ii)由定理2.5可得

        =211,

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