劉仕倡，王 侃，陳義學

(1.華北電力大學 核科學與工程學院，北京 102206；2.清華大學 工程物理系，北京 102206)

彌散型燃料是將核燃料彌散地分布在非裂變材料(金屬、石墨)中。由于其具有燃料溫度高、燃耗深度深、裂變產(chǎn)物包容性好等特點，廣泛應用于高溫氣冷堆、釷基熔鹽堆、事故容忍燃料、實驗研究堆及核動力艦船。針對彌散型燃料的隨機非均勻特性，國內(nèi)外研究提出了3類方法：重復結構隨機柵格方法、弦長抽樣(CLS)方法和顯式模擬方法。其中顯式模擬方法對燃料顆粒進行隨機堆疊，是采用近似最少的方法。然而，顆粒堆疊最常用的隨機序列添加法的體積填充率上限為38%[1]，無法滿足一些高體積填充率的設計，如全陶瓷微膠囊封裝(FCM)燃料的需求。其他堆疊方法如離散元法步驟復雜且耗時較多。CLS方法無需顯式地描述所有隨機介質，而是在中子輸運過程中對隨機介質的距離(即弦長)和角度進行抽樣。CLS方法的最大優(yōu)勢在于它能簡化幾何建模，提高計算效率。自20世紀90年代直至近年來，Zimmerman等[2]、Ji等[3]、Liang等[4]對CLS方法開展了大量研究，MVP[5]和Serpent[6]等程序亦采用了該方法。自主化堆用蒙特卡羅程序RMC[7]中也開發(fā)了顯式模擬法和CLS方法的相應功能，并對比了不同方法間精度和效率的差別[8-9]。然而，傳統(tǒng)CLS方法在高體積填充率時誤差較大。另外，傳統(tǒng)CLS方法只能描述單種顆粒的填充，無法對多種顆粒(如燃料顆粒和毒物顆粒)混合填充的情況進行模型。本文針對CLS方法的兩大問題，在RMC中開發(fā)改進CLS方法，并采用含彌散燃料的燃料棒算例及含毒物顆粒的高溫堆燃料球算例進行驗證。

1 多種類型顆粒的CLS方法

CLS方法的核心思想是使用概率分布函數(shù)描述隨機介質中顆粒表面的位置。中子到顆粒表面的距離通過抽樣產(chǎn)生而非顯式地對所有顆粒進行建模，在填充隨機幾何的區(qū)域內(nèi)只存在1個顆粒，該顆粒的位置不固定，而是在中子輸運過程中動態(tài)確定，從而可有效減少完全顯式建模的時間消耗。

CLS方法的抽樣過程如圖1所示，分為兩步。

圖1 CLS方法示意圖Fig.1 Schematic diagram of CLS method

第1步確定下一個顆粒表面的入射點A，令中子在離開當前顆粒后，到下一個顆粒表面的距離為λ1，λ1稱為基體的弦長。推導可得基體的平均弦長為式(1)，r為顆粒半徑，PF為顆粒的體積填充率。λ1分布可近似為指數(shù)分布，可得弦長概率分布函數(shù)如式(2)所示。通過式(2)抽樣出λ1，即可確定入射點A。

(1)

(2)

第2步確定下一個顆粒的球心位置(x,y,z)。中子進入顆粒的夾角θ可通過其余弦值μ=cosθ抽樣得到，如式(3)所示，ξ為(0,1)之間的隨機數(shù)。

(3)

得到夾角θ后，根據(jù)A點坐標及顆粒半徑r，可得到球心位置(x,y,z)。

CLS方法的優(yōu)勢在于可達到很高的體積填充率，然而傳統(tǒng)蒙特卡羅程序(如Serpent)中的CLS方法僅能對1種類型的顆粒進行抽樣，無法處理同時填充多種類型顆粒的問題，大幅限制了CLS方法的適用范圍。

本文通過理論推導，提出了多種顆粒類型的CLS方法，并在RMC中進行實現(xiàn)。

假設存在兩種類型的顆粒，半徑分別是r1和r2，則顆粒的弦長分別是4r1/3和4r2/3，填充率為PF1和PF2。假設兩種顆粒抽樣出現(xiàn)的次數(shù)為N1和N2，則抽樣次數(shù)與填充率的關系為：

(4)

可得：

(5)

根據(jù)N1/N2即可得到在弦長抽樣過程中不同類型顆粒抽樣出現(xiàn)的概率，其概率分別為N1/(N1+N2)和N2/(N1+N2)。還需求出平均弦長L，根據(jù)顆粒的總體積填充率PF1+PF2，可得：

(6)

則：

(7)

如果r1=r2，則式(7)退回到式(1)，進而，可推廣到N種顆粒的情況下，平均弦長為：

(8)

第i種顆粒的抽樣概率為：

(9)

在多種顆粒類型的CLS方法中，與圖1不同有兩處，首先是抽樣λ1所用的平均弦長由式(1)改成式(7)，然后根據(jù)式(9)抽樣中子進入的顆粒的類型，如圖2所示，再根據(jù)λ1和該類型顆粒的半徑，確定顆粒的球心位置。

圖2 多種類型顆粒的CLS方法示意圖Fig.2 Schematic diagram of CLS method with polytype particles

2 體積填充率修正方法

傳統(tǒng)CLS方法在高體積填充率時誤差較大，這是由于CLS方法本身的理論假設未考慮顆粒間不能重疊的因素，從而在填充率較高時會產(chǎn)生方法本身的理論誤差。本文提出一種體積填充率的修正方法，保證體積填充率的準確性。步驟如下：

1) 將所有材料設為真空，中子在真空中輸運，不抽樣碰撞距離，因此只能進行穿面，通過設定最大的穿面數(shù)，達到后中子死去；

2) 設置輸入的目標體積填充率為PF1，進行通量統(tǒng)計，從而得到不同柵格的徑跡長度，即得實際體積填充率PF2；

3) 根據(jù)PF1和PF2，可得到新的輸入體積填充率PF3=PF1PF1/PF2；

4) 將輸入體積填充率設置為PF3，重復步驟2，直到輸入體積填充率與蒙特卡羅統(tǒng)計的實際體積填充率的誤差在允許范圍內(nèi)。

通過RMC的體積計算功能，可對CLS方法的輸入體積填充率進行定量修正，從而解決了CLS方法在高體積填充率時輸入填充率與目標填充率不一致的問題，提高了CLS方法的準確性。同時由于RMC的體積計算耗時較少，因此體積填充率修正的耗時與蒙特卡羅輸運計算相比是很少的。

3 結果與分析

采用FCM燃料棒算例及含毒物顆粒的高溫堆燃料球算例，進行中子輸運及燃耗計算，對改進CLS方法進行驗證。除了CLS方法，還采用了顯示建模法作為參考解。需指出的是，CLS方法與燃耗計算結合時，相當于同種類型顆粒合并為1個燃耗區(qū)進行燃耗計算。

3.1 FCM燃料棒算例

第1個算例為FCM燃料六邊形組件算例，該組件以VVER-1000組件為基礎，將其中的UO2燃料棒替換為FCM燃料，即以碳化鈾(UC)為燃料核心的TRISO顆粒，隨機彌散在碳化硅基體中，包殼材料采用FeCrAl，氣隙為氦氣，其參數(shù)列于表1。組件共有160根燃料棒，每根燃料棒有170 417個燃料顆粒，如圖3所示。

表1 FCM燃料六邊形組件參數(shù)Table 1 Parameter of hexagon assembly for FCM fuel

圖3 FCM燃料六邊形組件Fig.3 Hexagon assembly of FCM fuel

在FCM燃料中，顆粒的實際填充率為35.000%。首先對輸入體積填充率進行修改，如表2所列。當輸入填充率達到35.000%時，實際填充率和輸入填充率的相對誤差達到9.065%。根據(jù)PF3=PF1PF1/PF2，利用RMC體積計算的功能，調整輸入填充率為38.660%，從而達到目標填充率。

表2 CLS方法體積修正Table 2 Packing fraction correction of CLS method

然后分別采用顯式建模法和CLS方法進行蒙特卡羅輸運-燃耗計算。由于組件中總燃料顆粒數(shù)達到兩千七百多萬，顯式建模法采用燃耗區(qū)合并策略，將每根燃料棒作為1個整體，將其中的170 417個燃料顆粒合并為同1個燃耗區(qū)，共160個燃耗區(qū)。同樣，CLS方法也有160個燃耗區(qū)。采用3種情況進行對比：顯式建模法、CLS方法(填充率35.000%，記為“CLS_35”)、CLS方法(填充率38.660%，記為“CLS_38”)。kinf對比如圖4所示，圖5為兩種填充率的CLS方法與顯式建模法對比的誤差。計算條件為每代10 000個粒子，200個非活躍代，500個活躍代，kinf統(tǒng)計標準差為0.000 25。

圖4 顯式建模法和CLS方法kinf對比Fig.4 kinf comparison of CLS method and explicit modeling method

圖5 兩種填充率的CLS方法與顯式建模法對比的誤差Fig.5 Error between CLS method and explicit modeling method with two packing fractions

可看出，兩種CLS方法與顯式建模法的誤差均較小，經(jīng)過填充率修正后的CLS方法與顯式建模法更接近，燃耗深度為107.806 MW·d/kg(HM)時，修正后的CLS方法的最大誤差為190.8 pcm。

3.2 含毒物顆粒的高溫堆燃料球算例

第2個算例采用含毒物顆粒的高溫堆燃料球設計，燃料球外圍是反射邊界條件，參數(shù)列于表3，示意圖如圖6所示。

表3 含毒物燃料球參數(shù)Table 3 Parameter of fuel pebble with poison

圖6 含毒物的HTGR燃料球Fig.6 HTGR fuel pebble with poison

計算條件為每代10 000個粒子，50個非活躍代，550個活躍代，kinf統(tǒng)計標準差為0.000 32。采用4種方法對該算例進行計算，分別是顯式建模法、顯式建模法(合并燃耗區(qū))、CLS方法、CLS方法(修正)，其中顯式建模法有11 000個燃耗區(qū)，而其他3個方法均有兩個燃耗區(qū)，分別對應燃料顆粒和毒物顆粒。CLS方法(修正)指根據(jù)實際體積填充率對輸入體積填充率進行調整，分別是燃料顆粒填充率調整為6.117 9%，毒物顆粒填充率調整為0.004 8%。kinf對比如圖7所示，以11 000個燃耗區(qū)的顯式建模法為參考值，kinf差別如圖8所示?？煽闯觯@式建模法(合并燃耗區(qū))的最大誤差為99 pcm，而CLS方法修正后較修正前更接近參考值，修正后CLS方法的最大誤差為169.7 pcm，未修正的CLS方法最大誤差為308.5 pcm。

圖7 含毒物HTGR燃料球的kinfFig.7 kinf of HTGR fuel pebble with poison

圖8 含毒物HTGR燃料球的kinf對比Fig.8 kinf comparison of HTGR fuel pebble with poison

可見，顯式建模法通過合理地合并燃耗區(qū)，可使誤差在3倍統(tǒng)計標準差以內(nèi)。另外，通過填充率修正后的CLS方法可提高計算的精度。

同時，表4比較了不同方法的耗時，可看出，合并燃耗區(qū)的顯式建模法是不合并的顯式建模法輸運計算耗時的63.27%，燃耗計算耗時的0.31%；而CLS方法是不合并的顯式建模法輸運計算耗時的47.55%，燃耗計算耗時的0.31%?？梢?，合并燃耗區(qū)后，輸運和燃耗計算耗時均大幅縮減。合并燃耗區(qū)時，CLS方法輸運計算的效率較帶網(wǎng)格加速的顯式建模法的要高，耗時是其75.16%。

表4 含毒物燃料球算例計算時間對比Table 4 Calculation time comparison of fuel pebble with poison

4 結論

針對CLS方法的兩大問題，本文在自主化堆用蒙特卡羅程序RMC中開發(fā)了改進CLS方法，包括多種類型顆粒處理及體積填充率修正方法。結果表明，該方法可解決多種顆粒混合填充的問題，并且可保證體積填充率的準確性，為彌散燃料的臨界及燃耗計算提供了高效、精確的方法。