華雪俠

(咸陽師范學院 物理與電子工程學院，陜西 咸陽 712000)

對于電磁波在介質中的傳播，很多專家學者都進行了研究和討論，給出了靜止各向異性介質的描述[1-4]。一些研究根據Lorentz變換，系統討論了運動各向同性均勻介質的電磁波傳播特征[5-7]。另外一些文獻給出了單軸各向異性介質的狀態(tài)方程的相關變換式[8-9]。但大多數文獻都只對靜止狀態(tài)下的各向異性介質進行探討，對電磁波在運動各向異性介質中傳輸的討論較少。事實上介質往往是各向異性且運動的，因此分析電磁波在運動各向異性介質中的傳播特性是很有必要的。本文在上述文獻整理工作基礎上，利用Lorentz變換矩陣，詳細推導了運動坐標系下的單軸各向異性介質的本構關系，并討論了電磁波在其中的傳輸特征。

1 運動單軸各向異性介質的本構方程

1.1 單軸各向異性介質描述

各向異性介質的本構關系可簡寫為

(1)

考慮單軸各向異性介質，則在直角坐標系中，介電常數和磁導率為對角張量，則媒質參數為

(2)

1.2 運動單軸各向異性介質的本構關系

s系中靜止介質的狀態(tài)方程為

(3)

則相對s′系靜止的介質的狀態(tài)方程為

(4)

利用洛倫茲變換，s系中電磁場變換到s′系中為

(5)

(6)

根據上述公式，可解得運動各向異性介質本構關系：

(7)

式中：

(8)

當兩坐標系相對靜止時，則ν=0，β=0，式(8)則變?yōu)楦飨蛲越橘|，即ε′=ε，μ′=μ。

2 波在運動單軸介質中的傳播特征

2.1 運動單軸各向異性介質本構關系的DB表示

由狀態(tài)方程(5)～方程(7)解得

(9)

設s′系相對于s系以v速度沿z軸運動時，則對于運動單軸各向異性介質有

(10)

則單軸各向異性介質的本構關系的DB表示為

(11)

其中的本構參數為

(12)

由式(2)可知，速度v沿z軸方向，則矩陣元素取決于速度，并且在靜止狀態(tài)下，運動介質為單軸介質的時候，本構關系還是取于上式相應的狀態(tài)方程。

2.2 單軸各向異性介質的波

在各向異性介質中，以D，B表示E，H，即

(13)

用方程形式表示為

(14)

對于靜止單軸介質：

(15)

對于運動單軸介質：

(16)

將運動單軸介質的本構關系CDB轉到KDB系統中，則對應的狀態(tài)方程的本構參數變?yōu)?/p>

(17)

將式(17)代入式(16)中，則可以得到以下方程：

(18)

由直角坐標系系與KDB系的轉換關系可得：

(19)

由此得到傳播參數:

Ⅰ型波：

(20)

(21)

(22)

(23)

Ⅱ型波：

(24)

(25)

(26)

(27)

式中:±號表示方向，“+”表示與介質傳播的方向相同，“-”表示則與介質的傳播方向相反。

即對運動單軸介質V=zv時，有

(28)

(29)

3 結論與分析

在洛侖茲變換的基礎上，利用介質的狀態(tài)方程，各向異性介質的性質，以及KDB系統的轉換關系，詳細地推導了運動單軸各向異性介質的本構方程以及傳播中的參數。下面依據介質運動方向分為三種情況討論：

(1)若介質速度在x軸方向傳播，則kz=0，k矢量為

(30)

(31)

式中：±號表示介質沿x軸正方向和負方向傳播。當β從0增到1時，k從anω/c或者bnω/c增加到無窮大。從而，當介質速度接近于真空中的光速時，沿z軸方向速度為0。

(2)若介質速度在y軸方向傳播，則kz=0，k矢量為

(32)

(33)

當β從0增到1時，k從anω/c或者bnω/c增加到無窮大。從而，當介質速度接近于真空中的光速時，沿z軸方向速度為0。

(3)若介質沿z軸傳播，則kx=ky=0，這時候兩種波轉換為一種波，k則變成為

(34)

式中：對應的介質沿z軸正方向傳播。當β從0增到1時，k從nω/c減為ω/c，對應的波速從c/n增到c。

(35)

式中：對應的介質沿z軸負方向傳播。當β從0增到1/n時，k從-nω/c減為-∞，對應的波速從-c/n增到0。