孫文希

七巧板、九連環(huán)、華容道，這些中國(guó)傳統(tǒng)的益智游戲你玩過(guò)嗎？這些游戲給我們帶來(lái)了快樂(lè)，也把先人的智慧流傳了下來(lái)，它們的背后，都有一個(gè)堅(jiān)實(shí)的后盾——數(shù)學(xué)。

七巧板——勾股定理

七巧板的歷史可以追溯到我國(guó)先秦的古籍《周髀算經(jīng)》，書中記載有正方形切割術(shù)，并由此證明了勾股定理，《周髀算經(jīng)》中的正方形切割術(shù)是將大正方形切割成四個(gè)同樣大小的三角形和一個(gè)小正方形，這還不是我們現(xiàn)在熟悉的七巧板。

現(xiàn)在的七巧板是經(jīng)過(guò)了一段歷史演變過(guò)程的，宋朝黃伯思發(fā)明了一種用6張小桌子組成的“燕幾”——請(qǐng)客吃飯的小桌子，后來(lái)有人把它改進(jìn)為7張桌子組成的燕幾，可以根據(jù)吃飯人數(shù)的不同，把桌子拼成不同的形狀，比如3人拼成三角形，4人拼成四方形，6人拼成六邊形……這樣用餐時(shí)更加靈活方便，后來(lái)，宋代的燕幾圖到明代發(fā)展為蝶幾圖，到清初再演變成七巧圖，到現(xiàn)在已經(jīng)有2500多年的歷史了，大約18世紀(jì)，七巧板流傳到海外，被歐洲人稱之為“東方魔板”“唐圖”，之后，七巧板得以發(fā)展、改造和創(chuàng)新，成為一種世界性的智力游戲。

七巧板完整圖案為一正方形（圖1）：五塊等腰直角三角形（兩塊小三角形、一塊中型三角形和兩塊大三角形）、一塊正方形和一塊平行四邊形，利用七巧板可以拼成許多圖形，包括人物、動(dòng)物、植物、建筑物、文字等，據(jù)說(shuō)有記載的圖形已超過(guò)1000種，你知道七巧板也可以用來(lái)證明勾股定理嗎？圖2是用兩副同樣大小的七巧板拼成的，在圖中，下部平放的正方形由一副七巧板拼成，上部斜放的2個(gè)正方形由另一副七巧板拼成，這三個(gè)正方形內(nèi)側(cè)圍出一個(gè)直角三角形，因?yàn)樾边吷系拇笳叫蚊娣e等于兩條直角邊上的小直角三角形面積之和，所以我們不難得出這樣的結(jié)論：直角三角形斜邊長(zhǎng)的平方等于兩條直角邊長(zhǎng)的平方和，這正是勾股定理的內(nèi)容。

九連環(huán)——遞歸原理

九連環(huán)主要是由一個(gè)金屬框架和九個(gè)圓環(huán)組成：每個(gè)圓環(huán)上連有一根直桿，而這根直桿則在后面一個(gè)圓環(huán)內(nèi)穿過(guò)，九根直桿的另一端相對(duì)固定，它的玩法就是要將這九個(gè)圓環(huán)從柄上解下來(lái)，西漢大才女卓文君的詩(shī)作里就曾提及九連環(huán)：“一別之后，二地懸念，只說(shuō)三四月，又誰(shuí)知五六年，七弦琴無(wú)心彈，八行書不可傳，九連環(huán)從中折斷，十里長(zhǎng)亭望眼欲穿，百思想，千系念，萬(wàn)般無(wú)奈把郎念，”這說(shuō)明九連環(huán)至少有近兩千年的歷史，

九連環(huán)的每個(gè)環(huán)互相制約，只有第一環(huán)能夠自由上下，要想下/上第n個(gè)環(huán)，就必須滿足兩個(gè)條件（第一個(gè)環(huán)除外）：1.第n-1個(gè)環(huán)在架上;2.第n-1個(gè)環(huán)前面的環(huán)全部不在架上，先以第9環(huán)為目標(biāo)，先拆下它，簡(jiǎn)化為拆一個(gè)8連環(huán)，接著再以第8環(huán)為目標(biāo)，拆下它，簡(jiǎn)化為拆一個(gè)7連環(huán)……以此類推，直至全部拆解，解下九連環(huán)必須要從后面的環(huán)開始下，而先下前面的環(huán)，是為了下后面的環(huán)，前面的環(huán)還要裝上，不算是真正地取下來(lái)。

九連環(huán)的游戲規(guī)則是不是讓人覺(jué)得跟遞歸原理有聯(lián)系呢？遞歸的基本思想是把一個(gè)大的問(wèn)題分解為一個(gè)規(guī)模較小的問(wèn)題，由這些較小問(wèn)題的解，得出大問(wèn)題的解，而這些規(guī)模較小的問(wèn)題，用同樣的方法分解成更小的問(wèn)題，由更小問(wèn)題的解，得出較小的問(wèn)題的解，一層層下去，一般最后總是可以分解到可以直接求解的小問(wèn)題，這就和解九連環(huán)的規(guī)律一模一樣。

解開九連環(huán)至少需要341步，按每步耗時(shí)1-2秒計(jì)算，需要5到10分鐘，如果是八連環(huán)，需要170步，大約4分鐘可以解開;十連環(huán)需要682步，20到40分鐘才能解開，而一個(gè)三十三連環(huán)，每秒鐘一步，也要180多年才能解完呢。

華容道——組合數(shù)學(xué)

曹操敗走華容道是《三國(guó)演義》中的一個(gè)著名故事，華容道游戲即取材于此，華容道屬于滑塊類游戲，就是在一定范圍內(nèi)，按照一定條件移動(dòng)一些稱作“塊”的東西，最后滿足一定的要求，滑塊類游戲究其起源，最早可追溯到中國(guó)古代的“重排九宮”，產(chǎn)生于出現(xiàn)河圖洛書的遠(yuǎn)古時(shí)代，有數(shù)千年歷史。

華容道有幾十種布陣方法，如“橫刀立馬（圖5）”“近在咫尺”“過(guò)五關(guān)（圖6）”“水泄不通”“小燕出巢”等，由華容道的諸多排列方法，可以衍生形成十分復(fù)雜的棋局，棋盤上僅有兩個(gè)小方格空著，玩法就是通過(guò)這兩個(gè)空格移動(dòng)棋子，用最少的步數(shù)把曹操移出華容道，華容道的魅力在于，要預(yù)先想出好幾步才能走出最近的一步，所以，華容道其實(shí)包含著非常復(fù)雜的排列組合計(jì)算。

早在1952年，我國(guó)數(shù)學(xué)家許莼舫在《數(shù)學(xué)漫談》一書中對(duì)華容道游戲就做了細(xì)致的研究，他在試驗(yàn)的基礎(chǔ)上不斷探索，總結(jié)出了100步的解法和幾條游戲規(guī)則，可以概括為：四個(gè)小兵不能分開，一定要兩兩組合在一起;關(guān)羽、曹操等大將在移動(dòng)的過(guò)程中，前面需要兩個(gè)小兵開路;曹操一旦移動(dòng)，后面必須有兩個(gè)追趕的小兵，1964年，《科學(xué)美國(guó)人》雜志上公布了美國(guó)數(shù)學(xué)家馬丁，力Ⅱ德納的新解法，破解了華容道最常見的陣法“橫刀立馬”，僅81步便可成功，這也是華容道已知的最優(yōu)解法，因此，華容道與法國(guó)人發(fā)明的獨(dú)立鉆石、匈牙利人發(fā)明的魔方被并稱為“智力游戲界的三個(gè)奇跡”。