王軍

摘要：本文以柔性機(jī)械轉(zhuǎn)動臂為研究對象，在優(yōu)化總體目標(biāo)下建立了機(jī)械轉(zhuǎn)動臂結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，考慮了柔性機(jī)械轉(zhuǎn)動臂動態(tài)特性和控制策略的函數(shù)。建立了以臂厚為變量，以臂結(jié)構(gòu)尺寸為約束的臂彎曲模型和末端垂直靜彎曲模型。通過對高速、低速工況下機(jī)械轉(zhuǎn)臂的結(jié)果進(jìn)行對比分析，優(yōu)化后的機(jī)械轉(zhuǎn)臂的重量比增大，剛度和強(qiáng)度提高，整體動力性能明顯改善。

關(guān)鍵詞：柔性關(guān)節(jié);機(jī)械轉(zhuǎn)動臂;優(yōu)化

0 ?引言

20世紀(jì)60年代以來，機(jī)器人越來越廣泛地應(yīng)用于生活的各個領(lǐng)域，對機(jī)械轉(zhuǎn)動臂技術(shù)能力和性能的要求也越來越復(fù)雜多樣[1]。機(jī)械旋轉(zhuǎn)臂常配有扭矩傳感器和帶柔性輪等柔性部件的諧波減速器，以實(shí)現(xiàn)高精度、高傳動效率、高減速比的工作性能[2]。柔性機(jī)械轉(zhuǎn)動臂的小慣量能在工作空間內(nèi)達(dá)到較高的運(yùn)行速度，柔性機(jī)械轉(zhuǎn)動臂重量輕，材料使用少，操作方便。本文基于Spong線性轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)彈簧模型，對柔性關(guān)節(jié)動力學(xué)進(jìn)行了建模，并結(jié)合多剛體動力學(xué)理論和有限元方法建立了工業(yè)機(jī)器人剛?cè)狁詈隙囿w動力學(xué)模型。

1 ?柔性機(jī)械轉(zhuǎn)動臂的動力學(xué)建模

1.1 柔性關(guān)節(jié)建模

串聯(lián)彈性驅(qū)動力學(xué)模型是一種力源模型[3]，它將電機(jī)稱為理想的力輸出源（如圖1所示），盡管這種方法比較精確合理，但模型比較復(fù)雜，尤其是力源，彈性元件的特性等需要深入研究，控制算法的要求也非常高。機(jī)械轉(zhuǎn)動臂的彈性變形主要是臂架變形和關(guān)節(jié)變形，關(guān)節(jié)變形主要是由減速器、皮帶等傳動部件引起的。由于傳送帶傳動比的固定比例，沿徑向直線運(yùn)動到達(dá)水平面的末端。為了提高機(jī)械轉(zhuǎn)臂的運(yùn)動精度，并對獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行更精確的優(yōu)化分析。采用粒子群優(yōu)化算法對機(jī)械轉(zhuǎn)動臂的運(yùn)動（冗余系數(shù)）進(jìn)行優(yōu)化，使轉(zhuǎn)輪臂末端在最小化關(guān)節(jié)控制力矩的同時實(shí)現(xiàn)特定的軌跡運(yùn)動。

1.2 柔性機(jī)械轉(zhuǎn)動臂的驅(qū)動器模型

對于剛性機(jī)械轉(zhuǎn)臂，精確跟蹤關(guān)節(jié)角相當(dāng)于精確跟蹤機(jī)械轉(zhuǎn)臂的最終位置，但結(jié)構(gòu)柔性使柔性臂的轉(zhuǎn)臂變形，難以測量，不易控制。由于配帶和減速器的靈活性，在高速傳遞過程中，各臂不可避免地會產(chǎn)生振動。振動的存在，一方面會降低端手直線運(yùn)動軌跡的精度，另一方面容易導(dǎo)致關(guān)節(jié)的滑落。將柔性體部分的分析結(jié)合剛體的研究方法，另一端受力或扭矩作用，理想情況下在最薄點(diǎn)繞中心軸旋轉(zhuǎn)，通過彈性變形實(shí)現(xiàn)傳遞力或運(yùn)動。

考慮到執(zhí)行單元的動態(tài)特性以及連桿系統(tǒng)，假設(shè)臂由永磁直流電機(jī)驅(qū)動，執(zhí)行單元的動態(tài)特性描述如下[4]：

其中Uc為驅(qū)動器的慣性，Jc為摩擦系數(shù)，Hc為扭矩常量，Hj為電動勢常量，B為轉(zhuǎn)子電阻，δ、za分別為輪毅轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)子電壓。

考慮到關(guān)節(jié)的柔韌性問題，機(jī)械旋轉(zhuǎn)臂的前三種模式均包含腰部扭轉(zhuǎn)振動，前三種固有頻率受腰椎關(guān)節(jié)扭轉(zhuǎn)剛度的影響較大。為了關(guān)節(jié)的輸出位置，輸出扭矩更精確，更穩(wěn)定，因此采用控制內(nèi)環(huán)外部位置的方法。在每個基準(zhǔn)點(diǎn)建立一個坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系與每個基準(zhǔn)點(diǎn)固定連接，使每個基準(zhǔn)點(diǎn)具有方向性。并計算柔性連桿機(jī)轉(zhuǎn)動臂的動能和勢能，然后利用拉格朗日法可以得到機(jī)械轉(zhuǎn)動臂的動力學(xué)方程。提高機(jī)器人的動態(tài)性能，減小執(zhí)行器的幅值，提高作業(yè)中機(jī)器人的精度。

1.3 柔性連桿機(jī)械轉(zhuǎn)動臂的建模

根據(jù)歐拉-伯努利梁理論對柔性連桿機(jī)械旋轉(zhuǎn)臂進(jìn)行建模，得到柔性連桿轉(zhuǎn)動臂系統(tǒng)的偏微分方程[5]。通過假設(shè)描述柔性連桿轉(zhuǎn)動臂彈性振動的模態(tài)方法，建立了有限維模型。然后利用分離變量法將柔性連桿機(jī)轉(zhuǎn)動臂系統(tǒng)的偏微分方程表述為常微分方程。最后，根據(jù)各臂的靜撓度和臂變形引起的端部靜偏移，對臂架結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。根據(jù)工況選擇取值范圍，優(yōu)化模型將區(qū)域內(nèi)單元相對密度作為拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計變量進(jìn)行優(yōu)化，使結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題轉(zhuǎn)化為材料的最優(yōu)分配問題。它可以有效地抑制內(nèi)部和外部對受控沖擊量的干擾。根據(jù)各柔性關(guān)節(jié)的彎曲變形規(guī)律和連接盤的幾何結(jié)構(gòu)，可以得到相鄰兩個地標(biāo)的齊次坐標(biāo)變換矩陣。將機(jī)械轉(zhuǎn)臂的上端定義為根坐標(biāo)系。得到了轉(zhuǎn)動臂的狀態(tài)和控制器參數(shù)，使柔性機(jī)械轉(zhuǎn)臂的機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計與控制方法設(shè)計有機(jī)地結(jié)合起來。

強(qiáng)迫振動下附加關(guān)節(jié)減振設(shè)計的評價方法可以得到強(qiáng)迫振動下目標(biāo)函數(shù)與變量的關(guān)系以及給定阻尼范圍內(nèi)振動位移響應(yīng)的幅頻曲線[6]，假設(shè)柔性連桿機(jī)械轉(zhuǎn)動臂系統(tǒng)的模式可以通過有限數(shù)量的振動模式來合成。關(guān)節(jié)臂的幾何形狀通常基于工作空間來確定范圍可以更小;拉伸或壓縮力會導(dǎo)致彈性變形和位移。由于其受力和位移方向，不存在運(yùn)動耦合現(xiàn)象。因此，在最優(yōu)化機(jī)械轉(zhuǎn)動臂結(jié)構(gòu)時，需要考慮各關(guān)節(jié)剛性的影響，構(gòu)建機(jī)械轉(zhuǎn)動臂多柔體結(jié)合最優(yōu)化模型。

2 ?手臂結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

為了提高機(jī)械轉(zhuǎn)臂的自重比，對機(jī)械轉(zhuǎn)臂的初始設(shè)計進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計，在滿足機(jī)械轉(zhuǎn)臂承載能力的同時，減小了機(jī)械轉(zhuǎn)臂的體質(zhì)量和慣性，改善了動態(tài)性能。在實(shí)際工程應(yīng)用中，可以通過改變機(jī)器人的材料和結(jié)構(gòu)，增加或減少柔性構(gòu)件或改變阻尼特性來達(dá)到調(diào)整機(jī)器人關(guān)節(jié)阻尼的目的[7]。在傳動機(jī)器人末端臂的設(shè)計中，末端臂的等功率和等效扭矩由末端手和負(fù)載參數(shù)決定。

通解幅值隨著時間的增加而減小，諧波響應(yīng)振幅不急劇減小，諧波響應(yīng)存在，振動也同時存在。阻尼增大，一般解振幅衰減時間縮短，通過正運(yùn)動學(xué)得到新姿態(tài)，并將新姿態(tài)與參考位置進(jìn)行比較，得到新的小姿態(tài)變化。設(shè)計方法的有效性將主要取決于權(quán)函數(shù)選擇的相關(guān)性，即所設(shè)計系統(tǒng)的性能是否得到了真實(shí)的反映。優(yōu)化的基本原理是在滿足約束條件下，通過建立優(yōu)化模型，采用各種有效的優(yōu)化方法和迭代計算，找到目標(biāo)函數(shù)的極值，得到最佳設(shè)計方案。

機(jī)械轉(zhuǎn)動臂至少可以作為設(shè)計目標(biāo)在材料區(qū)域內(nèi)進(jìn)行優(yōu)化，并且約束條件是機(jī)械臂末端的總位移小于1.5mm。當(dāng)阻尼值增加到一定值時，振幅開始接近穩(wěn)定值，而不會進(jìn)一步減小。如圖2所示，從曲線走勢得知，振動位移隨阻尼的逐漸增大而逐漸減小。然后阻尼值繼續(xù)增大，振動位移呈現(xiàn)輕微增加。生成的點(diǎn)的數(shù)量，反映終端執(zhí)行器的作業(yè)空間范圍。為了保證有效的跟蹤誤差，盡量縮小設(shè)計所需的靈敏度函數(shù)。有效地抑制了干擾的影響，體現(xiàn)了閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤和彈性振動的抑制特性。對柔性連桿轉(zhuǎn)動臂最直接的影響是機(jī)械轉(zhuǎn)動臂端點(diǎn)的位置不能穩(wěn)定，運(yùn)動誤差不能逐漸收斂，運(yùn)動誤差不能逐漸減小，這使得控制柔性連桿的轉(zhuǎn)動臂變得更加困難。

傳統(tǒng)的控制理論和方法都要求控制對象的精確模型或?qū)ο竽Ｐ偷牟淮_定性和外部擾動滿足特定的假設(shè)，但很難甚至不可能得到控制對象的精確模型。對于關(guān)節(jié)的承載能力，可以通過檢測關(guān)節(jié)與擋板之間的接觸力來間接反映關(guān)節(jié)的承載能力，方法是將擋板放置在關(guān)節(jié)的彎曲方向中[8]。然后生成初期個體群空間，即初期解空間，初期個體群成為計算機(jī)隨機(jī)生成的值。優(yōu)化前后手臂質(zhì)量與傳動機(jī)器人手臂系統(tǒng)固有頻率的比較見表1。

端部總變形隨臂上壁厚度的增加而增大，但當(dāng)上壁厚度大于2mm時，端部總變形基本不變，側(cè)壁厚度對端部總變形影響不大，可以忽略。廣義遞減梯度算法在小位移的情況下具有有效的約束。對于形狀優(yōu)化，網(wǎng)格劃分是不合理的。

3 ?結(jié)論

通過利用柔性關(guān)節(jié)的彈性變形，可以很容易地實(shí)現(xiàn)柔性機(jī)構(gòu)的微量運(yùn)動，但是軸旋轉(zhuǎn)剛性高，可以保證運(yùn)動精度?；诟郊訌?qiáng)迫振動的機(jī)器人末端振幅分析方法，對剛?cè)狁詈瞎I(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)阻尼進(jìn)行了分析，以抑制末端振幅。關(guān)節(jié)剛度的增加會使相應(yīng)的固有頻率增加。考慮到關(guān)節(jié)電機(jī)的電動力學(xué)特性，進(jìn)行了柔性關(guān)節(jié)機(jī)械旋轉(zhuǎn)臂的建模。在機(jī)械轉(zhuǎn)動臂的物理結(jié)構(gòu)上直接實(shí)現(xiàn)有限維，柔性機(jī)械臂的轉(zhuǎn)動臂和執(zhí)行機(jī)構(gòu)被視為一個整體。在拓?fù)渥顑?yōu)化設(shè)計中得到的分布柔軟性式的柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)與同種柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)相比，具有相同的運(yùn)動特性，精度高，誤差小。

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