張文娟

化歸思想是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡(jiǎn)稱.在解題中靈活運(yùn)用化歸思想，可以使問(wèn)題由難化易，由繁化簡(jiǎn).化歸思想不僅是一種基本的思維策略，也是一種常用的解題方法，其關(guān)鍵是把問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成另一種形式來(lái)進(jìn)行解答.常見(jiàn)化歸思想的應(yīng)用有數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化、常量與變量之間的轉(zhuǎn)化、相等與不相等之間的轉(zhuǎn)化等.本文結(jié)合實(shí)例，來(lái)探討一下化歸思想在解高中數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用.

一、數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)的兩種形式.利用圖形可以使問(wèn)題變得更加直觀，結(jié)合數(shù)量關(guān)系式可以把問(wèn)題中的內(nèi)在關(guān)系呈現(xiàn)出來(lái)，兩者之間相輔相成、不可分割.因此，在解題時(shí)，我們要利用化歸思想，靈活進(jìn)行數(shù)量關(guān)系式與圖形之間的轉(zhuǎn)化，提升解題的效率.

例1.已知a[>]0，b[>]0，且a≠b.試比較[a2+b22]和[2aba+b]的大小.

解析：如圖，設(shè)[BC、AC]的長(zhǎng)度分別為[a]、[b].因?yàn)閇a≠b]，不妨設(shè)[a>b]，以[a]，[b]為直角邊，作直角三角形[ΔABC]，則斜邊[AB=a2+b2]，設(shè)[CM]、[CD]分別是[ΔABC]的[BC]邊上的中線和角平分線，則[CM=a2+b22]，

由三角形的面積公式可得

[12a?CDsin45°+12b?CDsin45°=12ab]，

解得[CD=2aba+b].

顯然，當(dāng) [a≠b]時(shí)，[CM>CD]，

所以[a2+b22>2aba+b].

該解法主要是利用化歸思想，通過(guò)數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題來(lái)求解，該方法直觀、便捷.本題也可以采用代數(shù)方法來(lái)求解.

二、常量與變量之間的轉(zhuǎn)化

有些問(wèn)題較為復(fù)雜，含有很多與常量、變量相關(guān)的問(wèn)題，此時(shí)，我們?nèi)裟軐⒊Ａ?、變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，有利于轉(zhuǎn)換解題的思路，優(yōu)化解題的方案.由于變量是一個(gè)不確定的量，所以在解題時(shí)，為了便于解題，我們可以利用化歸思想，將變量視為常量，或者將變量轉(zhuǎn)化為常量來(lái)求解.

例2.已知兩點(diǎn)A（-1，0），B（0，2），點(diǎn)P是圓（x-1）2+y2=1上任意一點(diǎn)，則△PAB面積的最大值與最小值分別是（ ）.

解析：由于P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，我們無(wú)法確定它的位置，需要利用化歸思想，將這個(gè)變量轉(zhuǎn)化為常量，利用半徑以及圓心到直線AB的距離來(lái)求解.

解：由題知，圓的半徑為1，直線AB的方程為[x-1+y2=1]，即2x-y+2=0，

圓心（1，0）到直線AB的距離[d=2+25=455]，則點(diǎn)P到直線AB的距離最大值為[455+1]，最小值為[455-1]，

又[|AB|=5]，則[（S△PAB）max=12×5×455+1=12（4+5）]，

[（S△PAB）min][=][12][×][5][×]（[455-1）][=][12（4-5）].

三、相等與不相等之間的轉(zhuǎn)化

相等與不相等之間的轉(zhuǎn)化，常用于解答與不等式或者與等式有關(guān)的最值問(wèn)題.在解題時(shí)，我們運(yùn)用化歸思想，將相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為不相等關(guān)系，然后利用基本不等式、柯西不等式等來(lái)解答，或?qū)⒉幌嗟汝P(guān)系轉(zhuǎn)化相等關(guān)系，利用方程思想來(lái)解答.

例3.已知a，b都是正實(shí)數(shù)，且a+b=2，求證：[a2a+1+b2b+1≥1].

證明：∵[a>0]，[b>0]，[a+b=2]，

∴[a2a+1+b2b+1-1=a2（b+1）+b2（a+1）-（a+1）（b+1）（a+1）（b+1）]

[=a2b+a2+b2a+b2-ab-a-b-1（a+1）（b+1）=1-ab（a+1）（b+1）].

∵[a+b=2≥2ab]，∴[ab≤1].

∴[1-ab（a+1）（b+1）≥0]，∴[a2a+1+b2b+1≥1].

在解答本題的過(guò)程中，我們利用化歸思想，根據(jù)相等關(guān)系式a+b=2，以及完全平方公式，通過(guò)通分將[a2a+1+b2b+1]化簡(jiǎn)，然后利用基本不等式來(lái)證明不等式[a2a+1+b2b+1≥1]成立.

總之，化歸思想在解答數(shù)學(xué)題中應(yīng)用廣泛，是一種靈活、簡(jiǎn)便的解題方式.在運(yùn)用化歸思想時(shí)，同學(xué)們要注意展開(kāi)聯(lián)想，根據(jù)題目的已知條件或結(jié)論靈活進(jìn)行等價(jià)變換，從而找準(zhǔn)解題的方向.

（作者單位：江蘇省高郵市臨澤中學(xué)? ）